第六講初等變換與初等矩陣

第六講初等變換與初等矩陣1第1頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣本次課講：第三章第一節(jié)和第二節(jié)下次課講：第三章第三節(jié)第四節(jié)下次上課時(shí)交作業(yè)第17頁(yè)到第18頁(yè)2第2頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期一一、分塊矩陣——1.分塊矩陣的概念將矩陣用若干條縱線(xiàn)和橫線(xiàn)分成許多小矩陣，每一個(gè)小矩陣稱(chēng)為的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣稱(chēng)為分塊矩陣如第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣3第3頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則

分塊矩陣運(yùn)算把握2點(diǎn)，第一，子塊當(dāng)元素看可運(yùn)算，第二，子塊當(dāng)矩陣看也可運(yùn)算。如：設(shè)矩陣A與B為同型矩陣，采用相同的分塊法，有其中與為同型矩陣，那么第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣4第4頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4.分塊對(duì)角矩陣：設(shè)A

為n階矩陣，如果A的對(duì)角線(xiàn)分塊矩陣為方陣，且只在對(duì)角線(xiàn)上有非零子塊，其余子塊都為零矩陣，即其中都是方陣，那么稱(chēng)為分塊對(duì)角矩陣。分塊對(duì)角矩陣有下列性質(zhì)：（b）若則并有（a)OO第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣5第5頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期一若且子塊均可逆，則B可逆，且同理，容易驗(yàn)證如下結(jié)論第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣6第6頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.分塊運(yùn)算的作用1.分塊運(yùn)算使得矩陣結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，利于詮釋一些問(wèn)題和概念記如按分塊矩陣的記法或利用矩陣乘法，此方程組可記作將B按列分塊第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣7第7頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期一若將系數(shù)矩陣A

按行分成m

塊，則線(xiàn)性方程組可記作這就相當(dāng)于把每個(gè)方程記作若將系數(shù)矩陣A

按列分成n

塊，則線(xiàn)性方程組可記作即第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣8第8頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例1（2004、4）第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣9第9頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣10第10頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣11第11頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣12第12頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（1）行階梯形矩陣及其特點(diǎn)（i）可畫(huà)出一條階梯線(xiàn)，每個(gè)臺(tái)階只有一行，（ii）階梯的首元非零，階梯下全為零。二、幾類(lèi)特殊矩陣——行階梯、行最簡(jiǎn)與標(biāo)準(zhǔn)型矩陣（2）行最簡(jiǎn)形矩陣及其特點(diǎn)（i）是一個(gè)行階梯形矩陣；（ii）非零行的第一個(gè)非零元為1，該元素所在的列的其它元素都為0，如：為行最簡(jiǎn)形矩陣第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣13第13頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（3）矩陣的標(biāo)準(zhǔn)型形如其中為

r

階單位矩陣。的矩陣稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣，如：就是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣14第14頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期一簡(jiǎn)要概括特點(diǎn)：1.行階梯的3個(gè)特點(diǎn)：1.畫(huà)成階梯，且每階梯首元不為0；2.每階梯1行；3.階梯下全為0。

2.行最簡(jiǎn)3個(gè)特征：1.是行階梯；2.首元為1，3.1所在列余元為0變換的逆變換就是本身；變換的逆變換是（或記作）；2.初等變換性質(zhì)1）可逆性：即矩陣的三種初等變換都是可逆的變換的逆變換是或記作）。三、初等變換1.定義第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣15第15頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2）等價(jià)性：矩陣之間的等價(jià)關(guān)系具有下列特征：（i）反身性A~A；（ii）對(duì)稱(chēng)性若A~B，則B~A；（iii）傳遞性若A~B，B~C，則A~C.如果矩陣A

經(jīng)有限次初等變換變成矩陣

B，就稱(chēng)矩陣A

與矩陣B等價(jià)，記作A~B.3.初等變換的作用：（1）一個(gè)矩陣的行最簡(jiǎn)形矩陣是唯一確定的；（2）一個(gè)矩陣的行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)是唯一確定的。矩陣A行階梯形矩陣和行最簡(jiǎn)形矩陣；有限次初等行變換1.2.對(duì)行最簡(jiǎn)形矩陣施以初等列變換，可以變成標(biāo)準(zhǔn)形。即第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣16第16頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例如：第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣17第17頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.如果把線(xiàn)性方程組的系數(shù)與常數(shù)看成一個(gè)線(xiàn)性方程組的增廣矩陣，則初等變換與方程組的代數(shù)消元法完全一致。就是說(shuō)，經(jīng)過(guò)初等行變換，增廣矩陣表示的線(xiàn)性方程與原方程組同解。如方程組：這一方程組與原方程組同解第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣18第18頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例1:化成行最簡(jiǎn)形.設(shè)把解:第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣19第19頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期一四、初等矩陣的概念定義4由單位矩陣

E

經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣稱(chēng)為初等矩陣。（1）對(duì)調(diào)兩行或?qū)φ{(diào)兩列：注意記法：E(i,j)把單位矩陣中第i,j兩行對(duì)調(diào)(),得初等矩陣第i

行第j

行初等矩陣分3類(lèi)1.初等矩陣的概念第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣20第20頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（2）以數(shù)k≠0

乘某行或某列以數(shù)k≠0乘單位矩陣的第

i

行（），得初等矩陣第i

行第i

行第j

行（3）以數(shù)k

乘某行（列）加到另一行（列）上去第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣21第21頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（1）變換的逆變換就是其本身，則（2）變換的逆變換是，則（3）變換的逆變換是，則初等變換對(duì)應(yīng)著初等矩陣，由初等變換可逆知初等矩陣可逆，且初等變換的逆變換對(duì)應(yīng)著相應(yīng)初等矩陣的逆矩陣：2.初等矩陣的可逆性第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣22第22頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1.A的1次初等行變換是A的左邊乘一個(gè)初等矩陣五、初等變換與初等矩陣，初等矩陣與逆矩陣（這里僅就第一類(lèi)兩行互換與第三類(lèi)行初等變換的情形給出證明）第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣23第23頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期一證明：設(shè)A經(jīng)過(guò)一次第3類(lèi)行初等變換rij（k）后變成B，記作：A~B，這B也是m*n陣，將A、B按行分塊，則有第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣24第24頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣25第25頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期一定理：方陣

A

可逆的充要條件是存在有限個(gè)初等矩陣2.任一可逆矩陣均是k個(gè)初等矩陣之積1)充分性：若存在有限個(gè)初等矩陣證:第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣26第26頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2)必要性：設(shè)A可逆，因任何矩陣經(jīng)初等變換均可變成初等矩陣，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)形矩陣為F,則F經(jīng)有限次初等變換可以變成A,由定理1，即存在有限個(gè)初等矩陣第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣27第27頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期一由該定理，顯然可推出如下重要結(jié)論：推論：系列初等行變換恒等于一可逆矩陣五、系列初等行變換等同于A(yíng)左邊乘一可逆矩陣第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣28第28頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣29第29頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期一同樣討論列的情況：可得到如下結(jié)論：初等列變換第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣30第30頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例2設(shè)求解第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣31第31頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期一所以5.用初等變換求解方程組我們采用利用初等變換求逆矩陣同樣的辦法求解線(xiàn)性方程組AX=b,這里，假定A是方陣且可逆第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣32第32頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣33第33頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例3求矩陣X，使AX=b1，AX＝b2其中第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣34第34頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期一可對(duì)矩陣作初等列變換，使初等列變換如果要解形如的方程組，且A可逆，則或?qū)仃嚦醯刃凶儞Q，使初等行變換即