第六講微分方程模型

第六講微分方程模型第1頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一

§3.1

小船行走路線問題

§3.2

單種群模型與人口問題

§3.3交通管理中的黃燈問題

附：

數(shù)學(xué)建模常用軟件簡介第2頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一0圖3.1.1§3.1小船行走路線問題一小船從河邊某點(diǎn)駛向?qū)Π洞a頭,若考慮水的流速影響,船行走的路線如何?如圖3.1.1建立坐標(biāo)系

問題(1)水流方向?yàn)閥軸正向，速度大小為a;

模型假設(shè)(2)船在A處,輪船勻速行駛,速度為b,為了到達(dá)碼頭,總是朝向碼頭O前進(jìn)；(3)船行走的路線為(4)河寬為l米.第3頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一在曲線y=y(x)上任取一點(diǎn)P(x,y),因?yàn)樗鞣较驗(yàn)閥軸正向，大小為a,所以水流速度向量0圖3.1.1劃船方向指向原點(diǎn)O(0,0)，大小為b.

模型建立劃船速度向量；水流速度向量；船行速度向量第4頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一所以劃船速度向量

因此船行速度向量

0圖3.1.1第5頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一(1)由船行速度向量的方向?yàn)榇新肪€的切線方向，所以有或0圖3.1.1于是我們的問題是求上述方程滿足條件的解.（2）第6頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一由，可求出任意常數(shù).方程(1)是齊次方程，由齊次方程解法得

模型求解（*）此外,有（**）(1)第7頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一當(dāng)x=0時確有y=0，故小船一定能到達(dá)碼頭.思考：這條路線是最優(yōu)路線嗎？若不是，考慮最優(yōu)路線．應(yīng)以時間最短為標(biāo)準(zhǔn).最佳路線應(yīng)是O到A的直線.由(*)、(**)可解出第8頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一

動植物種群本身是離散變量，談不到可微性，但由于突然增加或減少的只是單一個體或少數(shù)幾個個體，與全體數(shù)量相比，這種增量是很微小的，所以我們可以近似地假設(shè)大規(guī)模種群隨時間是連續(xù)地甚至是可微地在變化，進(jìn)而可以引用微分方程這一數(shù)學(xué)工具來研究.§3.2單種群模型與人口問題模型1Malthus模型這個模型的基本假設(shè)：在人口自然增長過程中，人口的凈增長率為常數(shù),即單位時間內(nèi)人口增量與當(dāng)時的人口總量成正比.英國人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家馬爾薩斯(Malthus,1766—1834)于1798年提出了著名的人口指數(shù)增長模型．第9頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一根據(jù)Malthus的假設(shè),在t到t+△t時間內(nèi)人口的增長量為設(shè)時刻t的人口數(shù)為p(t),t=t0時的人口數(shù)為p0,人口增長率為r如何建立Malthus的數(shù)學(xué)模型呢?令△t→0,p(t)滿足方程（3）第10頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一這個問題的解為(3)是一個線性微分方程，稱為Malthus模型.

模型中的參數(shù)p0,r可用所給數(shù)據(jù)用最小二乘法擬合得到（第六章討論）．

如果r>0，上式表明人口將以指數(shù)規(guī)律無限增長．特別地，當(dāng)t→+∞時,p(t)→+∞

,這似乎不太可能．

另外，此模型雖然與十九世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)的人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以很好地吻合．但是當(dāng)人們用十九世紀(jì)以后許多國家的人口統(tǒng)計(jì)資料與Malthus模型比較時，卻發(fā)現(xiàn)了很大的差異．附錄列出了美國十九世紀(jì)、二十世紀(jì)的人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)與這個模型比較的結(jié)果．第11頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一

用這個模型預(yù)報的結(jié)果遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了實(shí)際人口的增長．引起誤差的原因是10年增長率估計(jì)過高．

按照附錄中第2列給出的實(shí)際人口可以算出，19世紀(jì)100年和20世紀(jì)前80年的10年增長率分別為0.266和0.137，遠(yuǎn)小于1790到1800年的增長率0.307．

這個事實(shí)對r是常數(shù)的基本假設(shè)提出了異議.

產(chǎn)生上述現(xiàn)象的主要原因是，隨著人口的增加，自然資源、環(huán)境條件等因素對人口繼續(xù)增加的抑制作用越來越顯著，如果人口較少時(相對于資源而言)人口增長率還可以看作常數(shù)的話，那么當(dāng)人口增加到一定數(shù)量后,增長率就會隨著人口的繼續(xù)增加而逐漸減少.許多國家人口增長的實(shí)際情況完全證實(shí)了這一點(diǎn).我們不妨利用附錄第2列給出的數(shù)據(jù)計(jì)算一下美國人口每10年的增長率,可以知道大致是逐漸下降的.第12頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一將增長率r表示為人口p(t)的函數(shù)r(p),按照前面的分析,r(p)是p的減函數(shù).一個最簡單的假定是：設(shè)r(p)是p的線性函數(shù)，即此模型是荷蘭生物學(xué)家Verhulst于十九世紀(jì)中葉提出．模型２Logistic模型修改假設(shè)：

為了使人口預(yù)報特別是長期預(yù)報更好地符合實(shí)際情況，必須修改Malthus模型關(guān)于人口增長率是常數(shù)這個基本假設(shè).從而得到Logistic模型.第13頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一這里r相當(dāng)于p=0時的增長率，稱固有增長率．為確定系數(shù)s的意義，引入自然資源和環(huán)境條件所能容納的最大人口容量pm，稱最大人口容量．當(dāng)p=pm時增長率為零，即r(pm

)=0，由此可確定出s=r/pm

.顯然對于任意的p>0

，增長率r(p)<r.其中r,p是根據(jù)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)或經(jīng)驗(yàn)確定的常數(shù)．人口增長率r(p)可表示為第14頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一（上式表示增長率r(p)與人口尚未實(shí)現(xiàn)部分（對最大容量Pm而言）的比成正比，比例系數(shù)為固有增長率r.）(4)按照上述假定,（3）應(yīng)修改為（3）第15頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一（4）式稱為Logistic模型．其解為(5)由解(5),可得出人口總數(shù)具有如下規(guī)律:①當(dāng)t→∞時,p(t)→Pm，即無論人口初值如何，人口總是趨于極限值Pm.②當(dāng)0＜p0＜pm時,所以p(t)是時間t的單調(diào)遞增函數(shù)，又第16頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一當(dāng)時，顯然，當(dāng)時，，曲線向上凹；曲線向下凹.第17頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一注：1、本節(jié)討論的人口模型，原則上可適用于其他生物種群，如森林中的樹木，池塘中的魚等，Logistic模型在生物數(shù)量的分析和預(yù)測中有著廣泛的應(yīng)用.人口增長速度dp/dt

由增變減，在pm/2處最大，即在人口總數(shù)達(dá)到極限值一半以前是加速生長時期，過這一點(diǎn)以后，生長的速度逐漸變小，并且遲早會達(dá)到零，這是減速生長時期．結(jié)論：第18頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一2、Malthus模型和Logistic模型只考慮了人口總數(shù)和總的增長率，不涉及年齡結(jié)構(gòu)．事實(shí)上，在人口預(yù)測中人口按年齡分布狀況是十分重要的，因?yàn)椴煌挲g人的生育率和死亡率有著很大的差別．兩個國家或地區(qū)目前人口總數(shù)一樣，如果一個國家或地區(qū)年輕人的比例高于另一國家或地區(qū)，那么二者人口的發(fā)展?fàn)顩r將大不一樣．因此考慮人口模型時，除了時間變量外，年齡是另一個自變量，得到一個偏微分方程．第19頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一在十字路口的交通管理中，亮紅燈之前，要亮一段時間黃燈，這是為了讓那些正行駛在十字路口上或距十字路口太近以致無法停下的車輛通過路口，那么，黃燈應(yīng)亮多長時間？司機(jī)反應(yīng)：決定停車（必須有足夠的停車距離）和通過路口（必須有足夠的時間通過路口，此時一直勻速行駛）．§3.3交通管理中的黃燈問題問題分析黃燈狀態(tài)應(yīng)該持續(xù)的時間包括駕駛員的決定時間（反應(yīng)時間）、他通過十字路口的時間和停車距離的駕駛時間．第20頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一建模與求解

T1－駕駛員反應(yīng)時間T2－汽車通過十字路口的時間T3―停車距離的駕駛時間，則T=T1+T2+T3為黃燈應(yīng)亮的時間，記下面計(jì)算T2，T3設(shè)法定行駛速度為v0,十字路口的長度為I，典型的車身長度為L.第21頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一設(shè)m為汽車質(zhì)量，f為剎車摩擦系數(shù)，x(t)為行駛距離，剎車制動力為fmg(g為重力加速度)由牛頓第二定律，剎車過程滿足下述運(yùn)動過程(1)因?yàn)檐嚨奈膊勘仨毻ㄟ^路口，這樣通過路口的實(shí)際長度就是I+L，所以汽車通過十字路口的時間為：為了計(jì)算T3，需要求出停車距離：第22頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一對方程(1)積分一次,并代入條件

令末速dx/dt=0，得剎車所用時間為對(2)再積分一次，并代入條件(2)，得，得第23頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一．將t1=v0/fg代入上式，得停車距離為所以駕駛員的反應(yīng)時間，可根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)或經(jīng)驗(yàn)得到，通?？杉俣椋泵耄@樣求得黃燈應(yīng)亮的時間為第24頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一1）Matlab2）Lindo/Lingo3）Mathematica數(shù)學(xué)建模常用的三種數(shù)學(xué)軟件第25頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一1）MatlabMatlab的含義是矩陣實(shí)驗(yàn)室(MatrixLaboratory)，是美國MathWork公司于1982年推出的一套高性能的數(shù)值計(jì)算和高性能化軟件、它集數(shù)值分析、矩陣計(jì)算、信號處理和圖形顯示于一體.構(gòu)成一個方便的、界面友好的用戶環(huán)境.到目前為止，它已發(fā)展成為國際上最新優(yōu)秀的科技軟件之一.

優(yōu)點(diǎn)：大型矩陣運(yùn)算功能非常強(qiáng)，構(gòu)造個人適用函數(shù)很方便，屬于數(shù)值計(jì)算型軟件，對處理大批數(shù)據(jù)效率高.因此，非常適合大型工程技術(shù)中使用.

缺點(diǎn)：輸出界面稍差，符號運(yùn)算功能也顯得弱一些.再一個就是這個軟件所占內(nèi)存太大，按現(xiàn)在流行的版本6.5，占硬盤空間近1個G，對計(jì)算機(jī)的硬件要求較高.第26頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一例1：利用Matlab解微分方程

格式：dsolve(‘s’,’s1’,’s2’,…,’x’)其中s為方程