分形整合過(guò)程在經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

分形整合過(guò)程在經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用鄒新月鄒新月，1965出生，湖南新化人，湘潭工學(xué)院副教授，博士，研究方向：數(shù)量經(jīng)濟(jì)理論與應(yīng)用，鄒新月，1965出生，湖南新化人，湘潭工學(xué)院副教授，博士，研究方向：數(shù)量經(jīng)濟(jì)理論與應(yīng)用，電話：（0732）8290411（H）8290046（O）（1湘潭工學(xué)院411201,2上海大學(xué)200072）摘要本文首先采用一個(gè)分形整合模型——誤差逗留模型（Error-DurationModel）仔細(xì)推導(dǎo)了分形時(shí)間序列過(guò)程的性質(zhì)，特別是序列自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，表明分形整合過(guò)程與常規(guī)的時(shí)間序列分析工具有很大的不同，然后以一個(gè)實(shí)際的時(shí)間序列為例，說(shuō)明了分形整合過(guò)程在經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用比傳統(tǒng)的分析工具有較好的預(yù)測(cè)精度。關(guān)鍵字分形分形整合誤差逗留模型1引言經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)（特別是經(jīng)濟(jì)生活中的時(shí)間序列）的辨識(shí)、建模、估計(jì)和預(yù)測(cè)一直是統(tǒng)計(jì)學(xué)家，尤其是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)家們重點(diǎn)研究的對(duì)象。人們只有更準(zhǔn)確地揭示出經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)的內(nèi)在規(guī)律，才能正確把握經(jīng)濟(jì)變量之間的本質(zhì)聯(lián)系，完整地弄清市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的運(yùn)作范式，從而為經(jīng)濟(jì)主管部門提供客觀的決策依據(jù)。眾所周知，回歸分析和時(shí)間序列分析方法過(guò)去是、今后仍然是經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域研究的主要工具，特別是自ENGLE（1982）提出ARCH模型之后，時(shí)間序列分析方法又拓寬了一大步，出現(xiàn)了諸如ARCH、ARIMA、GARCH、EGARCH、EGARCH-M等模型，這些模型較之以前的模型更接近經(jīng)濟(jì)生活的實(shí)際，所以取得了更好的效果。但是近二十年的實(shí)證研究又表明上述方法與真實(shí)的模型之間仍然有一定的不容忽視的差距，或者說(shuō)其殘差不能完全歸結(jié)為隨機(jī)噪聲。為解決這個(gè)問(wèn)題，需要人們繼續(xù)拓寬視野，從更廣的角度、更深的層次來(lái)把握經(jīng)濟(jì)規(guī)律的內(nèi)涵，這正是實(shí)證研究自身發(fā)展的需要；另一方面，從LORENZ提出的“蝴蝶效應(yīng)”，到HURST發(fā)現(xiàn)的R/S分析，再到MANDOLBROT分形幾何學(xué)的創(chuàng)立，又為統(tǒng)計(jì)學(xué)家的實(shí)證研究奠定了理論基礎(chǔ)，兩者的有機(jī)結(jié)合就開(kāi)創(chuàng)了分形整合過(guò)程或者說(shuō)是時(shí)間序列長(zhǎng)程相關(guān)性的研究，出現(xiàn)了ARFIMA、FIGARCH、ARFIMA-GARCH等模型，甚至是GARMA、ARFISMA（文獻(xiàn)[1]）等模型，該領(lǐng)域的研究一直是時(shí)間序列分析的重點(diǎn)，在西方計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析的研究中仍然是方興未艾，因?yàn)樵擃I(lǐng)域尚未解決的問(wèn)題比已經(jīng)解決的問(wèn)題還要多得多，這也許就是其魅力之所在。國(guó)內(nèi)學(xué)者在該領(lǐng)域的研究也比較活躍，公開(kāi)發(fā)出現(xiàn)了許多研究成果（文獻(xiàn)[4]、[5]、[6]），如文獻(xiàn)[6]的理論推廣，文獻(xiàn)[4]利用FIGARCH模型對(duì)股市長(zhǎng)記憶性的實(shí)證分析等等。本文試圖以誤差逗留模型（Error-DurationModel）來(lái)仔細(xì)推導(dǎo)分形整合過(guò)程產(chǎn)生的機(jī)制和相關(guān)的性質(zhì)，以及時(shí)間序列長(zhǎng)程相關(guān)性的判別方法，最后通過(guò)一個(gè)實(shí)例說(shuō)明分形整合過(guò)程在經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用。文章主要由兩個(gè)部分組成，第一部分是誤差逗留模型的相關(guān)推導(dǎo)，第二部分就是利用所得到的性質(zhì)來(lái)分析企業(yè)生存期的長(zhǎng)短對(duì)就業(yè)的影響，指出這種影響遠(yuǎn)非ARCH或GARCH模型可以描述的。2誤差逗留模型（Error-DurationModel）的推導(dǎo)設(shè)是一獨(dú)立同分布的誤差序列，且為常數(shù)，假設(shè)誤差逗留期為隨機(jī)變量，即的生存期為[，]，再定義關(guān)于的生存示性函數(shù)為：,并設(shè)對(duì)于所有的，有和相互獨(dú)立。用表示生存期為的概率，即，顯然為單調(diào)非增序列，為方便起見(jiàn)，可取。表示在期及以前所有誤差的累計(jì)誤差總和，即。如果{}的自協(xié)方差存在，不妨用{}表示（k為時(shí)滯），則下式成立：（1）或者如果用{}來(lái)表示，也就是說(shuō)下式成立：（2）同樣，如果{}的自協(xié)方差存在（B為后移算子），不妨用{}表示，則有下式成立：（3）下面我們給出（1）、（3）兩式的證明。根據(jù)自協(xié)方差定義式，有：由假設(shè)和相互獨(dú)立（）可知：（），顯然由可推知又因?yàn)楹?，以及與相互獨(dú)立的假設(shè)，得到，展開(kāi)就得到式（1）。同樣對(duì)于的自協(xié)方差，由以下兩式相減得到：，以及，兩式中只有的系數(shù)不同時(shí)為0，并且，所以：，再由的定義式即有（3）式成立。在誤差逗留模型滿足一定的條件下，以上我們得到了每個(gè)誤差生存概率與誤差總和的自協(xié)方差（或）之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。顯然這里誤差逗留模型對(duì)應(yīng)于，長(zhǎng)程相關(guān)性對(duì)應(yīng)于（或），那么或者說(shuō)滿足怎樣的條件，就是分形整合過(guò)程呢？關(guān)于長(zhǎng)程相關(guān)性的定義已有許多種形式，嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義式可參見(jiàn)國(guó)外文獻(xiàn)[1]或國(guó)內(nèi)文獻(xiàn)[7]，這里我們直接采用的定義式，即：如果，就說(shuō)具有長(zhǎng)程相關(guān)性，或者說(shuō)是分形整合過(guò)程。其等價(jià)定義式可以表示為。由此我們可以很容易得到：如果參數(shù)，，則具有長(zhǎng)程相關(guān)性，甚至只要滿足：對(duì)某個(gè)常數(shù)和參數(shù)，有極限成立即可。直觀說(shuō)來(lái)，如果逗留誤差的生存概率減少的速度比下降的速度來(lái)得慢的話，就是分形整合過(guò)程；如果生存概率減少的速度比還要緩慢的話，則不僅僅只是分形整合過(guò)程，而且還是非平穩(wěn)過(guò)程。需要指明的是，分形整合過(guò)程有一個(gè)顯著的特征就是，雖然為單調(diào)非增序列，但比率卻是單調(diào)非減的，甚至以1作為該比率序列的上確界。為了說(shuō)明分形整合過(guò)程與AR過(guò)程在時(shí)間序列預(yù)測(cè)中的本質(zhì)區(qū)別，這里分別選用模型，，和，以比較兩者的自相關(guān)系數(shù)遞減的快慢速率，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1。從表中顯示的數(shù)據(jù)可以看到，在分形整合模型中，參數(shù)的符號(hào)決定了自相關(guān)系數(shù)的符號(hào)，而且正相關(guān)系數(shù)對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)程相關(guān)性顯得尤為突出；雖然模型和的一階滯后相關(guān)系數(shù)均為0.5,但滯后10階時(shí)兩者就已經(jīng)相差235倍,這就說(shuō)明用AR模型來(lái)描述分形整合過(guò)程時(shí)，誤差太大，對(duì)有長(zhǎng)程相關(guān)性的時(shí)間序列的預(yù)測(cè)必須用分形整合過(guò)程方法，以提高預(yù)測(cè)精度。表1兩模型自相關(guān)系數(shù)模型LagK10.500-0.2500.50020.400-0.0710.25030.350-0.0360.12540.318-0.0220.06350.295-0.0150.031100.235-0.0050.001250.173-0.0012.98E-8500.137-3.24E-48.88E-161000.109-1.02E-47.89E-313應(yīng)用實(shí)例一個(gè)國(guó)家就業(yè)率的高低是反映該國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平的一項(xiàng)重要指標(biāo)，對(duì)該指標(biāo)作出準(zhǔn)確預(yù)測(cè)無(wú)疑有著極其重要的意義，下面結(jié)合文獻(xiàn)[3]的資料來(lái)說(shuō)明分形整合過(guò)程在經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)中的重要作用。影響就業(yè)率的因素有企業(yè)規(guī)模和企業(yè)數(shù)量，為方便計(jì)，本例假定企業(yè)規(guī)模是一樣的。任何一個(gè)企業(yè)都有創(chuàng)立、發(fā)展、衰落直至消亡的過(guò)程，所以可把它看作是前文中的一個(gè)誤差逗留模型，那么一個(gè)企業(yè)的生存概率有怎樣的規(guī)律呢？如果是一個(gè)AR過(guò)程，那么一個(gè)企業(yè)在第i年的與在第2*i年的應(yīng)該滿足平方關(guān)系，即，但文獻(xiàn)[3]的統(tǒng)計(jì)資料顯示有，=0.246，顯然不符合AR模型的要求?，F(xiàn)假設(shè)企業(yè)生存過(guò)程是一個(gè)分形整合過(guò)程，即，、為參數(shù)。在時(shí)間標(biāo)度不變的前提下，由等式可得，分別取、，求得參數(shù)，然后根據(jù)求得的和值分別計(jì)算對(duì)應(yīng)的值，擬合結(jié)果見(jiàn)表2，對(duì)應(yīng)的圖形顯示如圖1。表2分形整合過(guò)程擬合原始數(shù)據(jù)的離差分析K(1)()(2)/(3)(4)(5)(6)(4)-(2)(5)-(2)(6)-(2)10.8120.8121.2471.3991.3580.4350.5870.54620.6520.8030.7650.8290.8120.1130.1770.1630.5380.8260.5750.6100.6010.0370.0720.06340.4610.8570.4690.4910.4860.0080.0300.02550.4010.8680.4010.4150.41100.0140.0160.3570.8910.3530.3620.359-0.0040.0050.00270.3220.9020.3160.3220.321-0.0060.00-0.00180.2920.9080.2880.2910.290-0.004-0.001-0.00290.2660.9110.2650.2660.266-0.00100100.2460.9230.2460.2460.246000★★★數(shù)列（2）

數(shù)列（4）╋╋╋數(shù)列（5）△△△數(shù)列（6）圖1原始數(shù)列（2）與擬合數(shù)列（4）、（5）、（6）的比較從以上圖表可知，三類分形整合過(guò)程都有較高的擬合精度，在K>3以后離差不超過(guò)5%，而在K>5以后離差不超過(guò)1%，可見(jiàn)利用分形整合過(guò)程可以提高對(duì)經(jīng)濟(jì)變量預(yù)測(cè)的精度。4結(jié)論通過(guò)上述分析過(guò)程，我們可以得出分形整合過(guò)程與常規(guī)的時(shí)間序列分析工具有很大的不同，且分形整合過(guò)程在經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用比傳統(tǒng)的分析工具有較好的預(yù)測(cè)精度，特別是對(duì)于經(jīng)濟(jì)生活中那些具有長(zhǎng)程相關(guān)性的時(shí)間序列必須用分形整合過(guò)程的方法來(lái)預(yù)測(cè)，才能準(zhǔn)確地揭示出經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)的內(nèi)在規(guī)律，把握經(jīng)濟(jì)變量之間的本質(zhì)聯(lián)系，為經(jīng)濟(jì)主管部門的理性決策提供科學(xué)的證據(jù)。參考文獻(xiàn)Baillie,R.T.,LongMemoryProcessesandFractionalIntegrationinEconomics.JournalofEconometrics,1996(73):5-59Geweke,J.,S.Porter-Hudak,TheEstimationandApplicationofLongMemoryTimeSeriesModels.JournalofTimeSeriesAnalysis,1983(4):221-238Nucci,A.R.TheDemographyofBusinessClosings.SmallBusinessEconomics,1999(12):25-39湯果,何曉群,顧嵐.FIGARCH模型對(duì)股市收益長(zhǎng)記憶性的實(shí)證分析.統(tǒng)計(jì)研究,1999(7)張世英,劉菁.長(zhǎng)記憶性時(shí)間序列及其預(yù)測(cè).預(yù)測(cè),1999(3)李漢東,張世英.自回歸條件異方差的持續(xù)性研究.預(yù)測(cè),2000(1)7．黃登仕,李后強(qiáng).非線性經(jīng)濟(jì)學(xué)的理論和方法.四川大學(xué)出版社,1992InternationalBusiness&ManagementCollegeofShanghaiZouxinyue(XiangtanInstituteTechnology,Hunan,411201)Lvxianjin(ShanghaiAbstractThisarticleusesamodel,Error-DurationModel,toinferthecharactersoftime-sequence-procedure,especiallythecharactersofthesequence’sself-relevantCoefficient,andindicatestheprocedurehaslargedifferencewithregulartime-sequenceanaly