財務管理第三章貨幣時間價值

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向一位失學兒童捐款。小王向這位失學兒童每年捐款1000元，幫助這位失學兒童從小學1年級讀完九年義務教育。假設每年定期存款利率都是2%，則小王九年捐款在2003年底相當于多少錢？小王的捐款可用下圖表示：1000100010001000100010001000100010001995199619971998199920002001200220032004上圖中，每個結點的1000元表示每年年底的捐款，9年捐款的終值，相當于將1999-2003年每年底的捐款1000元都計算到2003年年底終值，然后再求和。后付年金的終值，主要是指將每筆年終收付的款項，計算到最后一筆收付款發(fā)生時間的終值，再計算它們的和。設有一項后付年金，它的期限為n，金額為A，利率為i，則可用下圖表示AAA…………A0123…………nA（1+i）n-nA（1+i）n-2A（1+i）n-1分別計算每一年收付款的終值，則第1年收付款終值FV1=A（1+i）n-1第2年收付款終值FV2=A（1+i）n-2……第n年收付款終值FVn=A（1+i）n-n年金終值FVA=FV1+FV2+……+FVn=A（1+i）n-1+A（1+i）n-2+……+A（1+i）n-n=A[（1+i）n-1+（1+i）n-2+……+（1+i）+1]按上式計算年金終值，比較復雜。我們可以計算出它的簡化公式。FVA（1+i）=A[（1+i）n-1+（1+i）n-2+……+（1+i）+1]（1+i）=A[（1+i）n+（1+i）n-1+……+（1+i）2+（1+i）]FVA（1+i）-FVA=A[（1+i）n+（1+i）n-1+..+（1+i）2+（1+i）]-A[（1+i）n-1+（1+i）n-2+..+（1+i）+1]=A[（1+i）n-1]iFVA=A[（1+i）n-1]FVA=A[（1+i）n-1]/i上式中，[（1+i）n-1]/i被稱為后付年金終值，用FVIFAi，n表示，由于計算比較復雜，人們一般用電子計算機編制程序計算。上例中，小王的九年捐款終值計算如下：FVA=A[（1+i）n-1]/i=1000·FVIFA2%，91000[（1+2%）9-1]/2%=1000×9.7546=9754.6元。例5．（礦石開發(fā)招標問題）秘魯國家礦業(yè)公司決定將其西南部的一處礦產(chǎn)開采權公開拍賣，因此它向世界各國煤炭企業(yè)招標開礦。英國的托特納姆公司和西班牙巴塞羅那公司的投標書最具有競爭力。托特納姆公司的投標書顯示，該公司如取得開采權，從獲得開采權的第1年開始，每年末向秘魯政府交納10億美元的開采費，直到10年后開采結束。巴塞羅那公司的投標書表示，該公司在取得開采權時，直接付給秘魯政府40億美元，在8年后開采結束，再付給60億美元。如秘魯政府要求的開礦年投資回報率達到15%，問秘魯政府應接受哪個政府的投標？要回答上述問題，主要是要比較兩個公司給秘魯政府的開采權收入的大小。但由于兩個公司支付開采權費用的時間不同，因此不能直接比較，而應比較這些支出在第10年終值的大小。試分析如下：托特納姆公司的方案對秘魯政府來說是一筆年收款10億美元的10年年金，其終值計算如下：FVA=A[（1+i）n-1]/i=10·FVIFA15%，1010[（1+15%）10-1]/15%=10×20.304=203.04億美元。巴塞羅那公司的方案對秘魯政府來說是兩筆收款，分別計算其終值：第1筆收款（40億美元）的終值=40×（1+15%）10=40×4.0456=161.824億美元第2筆收款（60億美元）的終值=60×（1+15%）2=60×1.3225=79.35億美元合計終值241.174億美元。根據(jù)以上計算結果，秘魯政府應接受巴塞羅那公司的投標。（二）后付年金的現(xiàn)值后付年金的現(xiàn)值計算在現(xiàn)實生活中也比較常見。比如，錢小姐最近準備買房，走看了好幾家開發(fā)商的售房方案一個方案是A開發(fā)商出售一套100平方米的住房，要求首期支付10萬元，然后分6年每年支付3萬元，年底支付。錢小姐很想知道每年付3萬元相當于現(xiàn)在多少錢，好讓她與現(xiàn)在2000元/平方米的市場價格進行比較。在財務管理學中，計算后付年金的現(xiàn)值，就是將后付年金的每一筆收付款折算為現(xiàn)值在求和。設有一筆后付年金，每年收付款金額為A，期限為n期，利率為i，則后付年金的現(xiàn)值如下圖所示：AAA…………A0123…………nA（1+i）-1A（1+i）-2……A（1+i）-n如上圖所示，后付年金現(xiàn)值PVA=A（1+i）-1+A（1+i）-2+……+A（1+i）-n按照以上公式計算顯然比較麻煩，我們可以對該公式進行推導。將上述等式兩邊同時乘以（1+i），得（1+i）PVA=[A（1+i）-1+A（1+i）-2+……+A（1+i）-n]（1+i）=[A+A（1+i）-1+A（1+i）-2+……+A（1+i）-n+1]（1+i）PVA-PVA=[A+A（1+i）-1+A（1+i）-2+……+A（1+i）-n+1]-[A（1+i）-1+A（1+i）-2+……+A（1+i）-n]=iPVA=A-A（1+i）-n=A[1-（1+i）-n]PVA=A[1-（1+i）-n]/i如果不用數(shù)學推導，我們從年金的終值公式也能算出年金現(xiàn)值公式。設有一筆后付年金，每年收付款金額為A，期限為n期，利率為i，則年金終值為FVA=A[（1+i）n-1]/i。將該終值折算為現(xiàn)值，則PV={A[（1+i）n-1]/i}（1+i）n=A[1-（1+i）-n]/i。上式中，[1-（1+i）-n]/i被稱為年金現(xiàn)值系數(shù)，用PVIFAi，n表示。比如PVIFA6%，6表示[1-（1+6%）-6]/6%。人們可以通過計算機編制程序進行計算。根據(jù)上述公式，設錢小姐的住房貸款年利率為6%，則6年每年付3萬元的現(xiàn)值為：PV=3·PVIFA6%，6=3×4.9173=14.7915萬元二、先付年金的貨幣價值計算與后付年金不同，先付年金（AnnuityDue）是指每次收付款的時間不是在年末，而是在年初。先付年金在現(xiàn)實生活中也很多。比如，租房戶每個月在月初支付房租，學生在學期開學支付學費，等等。先付年金貨幣時間價值的計算包括兩個方面：終值和現(xiàn)值。（一）先付年金終值先付年金的終值和后付年金終值的計算思想相似，都是將每次收付款折算到某一時點的終值，然后再將這些終值求和。但由于先付年金和后付年金的收付款時間不同，因此二者的計算方法有所區(qū)別。我們首先將二者的貨幣收付時間用下圖表示：AAA…………A0123…………n后付年金示意圖AAA…………A0123…………n先付年金示意圖從上圖中我們可看出，先付年金和后付年金相比，相當于整個現(xiàn)金收付向前提前了一年，因此與后付年金相比，先付年金的終值要大一個年度的復利增加。我們現(xiàn)在推導先付年金的終值計算公式。AAA…………A0123…………n-1nA（1+i）……A（1+i）n-1A（1+i）n從上圖可看出，先付年金的終值FVAD=FV0+FV1+FV2+……+FVn-1=A（1+i）n+A（1+i）n-1+A（1+i）n-2+……+A（1+i）1等式兩邊同時乘以（1+i）-1，得FVAD（1+i）1=A（1+i）n-1+A（1+i）n-2+……+A（1+i）0=A（1+i）n-1+A（1+i）n-2+……+A（1+i）n-n=FVA=A[（1+i）n-1]/i因此，F(xiàn)VAD={A[（1+i）n-1]/i}（1+i），即先付年金與后付年金相比，只增加了一個（1+i）的乘數(shù)。例7（專營權使用費問題）孫女士看到在鄰近的城市中，一種品牌的火鍋餐館生意很火暴。她也想在自己所在的縣城開一個火鍋餐館，于是找到業(yè)內(nèi)認識進行咨詢?；撕芏鄷r間，她終于聯(lián)系到了火鍋餐館的中國總部，總部工作人員告訴她，如果她要加入火鍋餐館的經(jīng)營隊伍，必須一次性支付50萬元，并按該火鍋品牌的經(jīng)營模式和經(jīng)營范圍營業(yè)。孫女士提出現(xiàn)在沒有這么多現(xiàn)金，可否分次支付，得到的答復是如果分次支付，必須從開業(yè)那年起，每年年初支付20萬元，付3年。三年中如果有一年沒有按期付款，則總部將停止專營權的授予。假設孫女士現(xiàn)在身無分文，需要到銀行貸款開業(yè)，而按照孫女士所在縣城有關扶持下崗職工創(chuàng)業(yè)投資的計劃，她可以獲得年利率為5%的貸款扶植，孫女士現(xiàn)在應該一次支付還是分次支付呢？對孫女士來說，如果一次支付，則相當于付現(xiàn)值50萬元；而若分次支付，則相當于一個3年的先付年金，孫女士應該把這個先付年金折算為3年后的終值，再與50萬元的3年終值進行比較，才能發(fā)現(xiàn)哪個方案更有利。如果分次支付，則其3年終值為：FVAD=20×FVIFA5%，3×（1+5%）=20×3.1525×1.05=66.2025如果一次支付，則其3年的終值為50×FVIF5%，3=50×1.1576=57.88萬元相比之下，一次支付效果更好。（二）先付年金現(xiàn)值先付年金的現(xiàn)值和后付年金現(xiàn)值的計算思想相似，都是將每次收付款折算到現(xiàn)在的現(xiàn)值，然后再將這些現(xiàn)值求和。但由于先付年金和后付年金的收付款時間不同，因此二者的計算方法有所區(qū)別。我們用圖形來表示先付年金的現(xiàn)值計算如下：AAA…………A0123…………n-1nAA（1+i）-1A（1+i）-2……A（1+i）-（n-1）因為先付年金首次支付在年初，因此可以將它看成是現(xiàn)值，價值為A（1+i）0，從第二年初到第n-1年初支付的年金，相當于第1年末到n-2年末的后付年金，因此可以將這部分按n-1年的后付年金現(xiàn)值計算，因此先付年金的現(xiàn)值為PVAD=A+A[1-（1+i）-n+1]/i=A{1+[1-（1+i）-n+1]/i}例8（住房補貼問題）周教授是中國科學院院士，一日接到一家上市公司的邀請函，邀請他作為公司的技術顧問，指導開發(fā)新產(chǎn)品。邀請函的具體條件如下：（1）每個月來公司指導工作一天；（2）每年聘金10萬元；（3）提供公司所在A市住房一套，價值80萬元；（4）在公司至少工作5年。周教授對以上工作待遇很感興趣，對公司開發(fā)的新產(chǎn)品也很有研究，決定應聘。但他不想接受住房，因為每月工作一天，只需要住公司招待所就可以了，這樣住房沒有專人照顧，因此他向公司提出，能否將住房改為住房補貼。公司研究了周教授的請求，決定可以每年年初給周教授補貼20萬元房貼。收到公司的通知后，周教授又猶豫起來。如果向公司要住房，可以將其出售，扣除售價5%的契稅和手續(xù)費，他可以獲得76萬元，而若接受房貼，則每年年初可獲得20萬元。假設每年存款利率2%，則周教授應如何選擇呢？要解決上述問題，主要是要比較周教授每年收到20萬元的現(xiàn)值與售房76萬元的大小問題。由于房貼每年年初發(fā)放，因此對周教授來說是一個先付年金。其現(xiàn)值計算如下：PVAD=A{1+[1-（1+i）-n+1]/i}=20×（PVIFA2%，5+1）=20×（4.7135+1）=20×5.7135=114.27萬元從這一點來說，周教授應該接受房貼。如果周教授本身是一個企業(yè)的業(yè)主，其企業(yè)的投資回報率為32%，則周教授應如何選擇呢？在投資回報率為32%的條件下，每年20萬的住房補貼現(xiàn)值為：PVAD=A{1+[1-（1+i）-n+1]/i}=20×（PVIFA32%，5+1）=20×（2.3452+1）=20×3.3452=66.904萬元在這種情況下，周教授應接受住房。三、永續(xù)年金一般的年金都有一個有限的期限，但在現(xiàn)實生活中，有些年金很難確定它的收付款何時結束。比如一個股東持有一個企業(yè)的股票，如果該企業(yè)每年每股股利相同，那么只要該企業(yè)不被清算，這種股利總會支付下去，很難確定它的最后期限。我們將這種無限期定額收付的年金稱為永續(xù)年金。（一）永續(xù)年金的終值永續(xù)年金的終值可以看成是一個n無窮大的后付年金的終值，則永續(xù)年金終值計算如下：FVA（n=∞）=A[（1+i）n-1]/i當n趨向無窮大時，由于A、i都是有界量，（1+i）n趨向無窮大，因此FVA（n=∞）=A[（1+i）n-1]/i趨向無窮大。（二）永續(xù)年金的現(xiàn)值永續(xù)年金的現(xiàn)值可以看成是一個n無窮大后付年金的現(xiàn)值，則永續(xù)年金現(xiàn)值計算如下：PVA（n=∞）=A[1-（1+i）-n]/i當n趨向無窮大時，由于A、i都是有界量，（1+i）-n趨向無窮小，因此PVA（n=∞）=A[1-（1+i）-n]/i趨向A/i。例9（獎學金問題）歸國華僑吳先生想支持家鄉(xiāng)建設，特地在祖籍所在縣設立獎學金。獎學金每年發(fā)放一次，獎勵每年高考的文理科狀元各10000元。獎學金的基金保存在縣中國銀行支行。銀行一年的定期存款利率為2%。問吳先生要投資多少錢作為獎勵基金？由于每年都要拿出20000元，因此獎學金的性質(zhì)是一項永續(xù)年金，其現(xiàn)值應為：20000/2%=1000000元。也就是說，吳先生要存入1000000元，作為基金，才能保證這一獎學金的成功運行。第四節(jié)貨幣時間價值計算中的特殊問題在前兩節(jié)中，我們主要討論了貨幣時間價值計算的基本問題，即一次性收付款的終值和現(xiàn)值，以及年金的終值和現(xiàn)值的計算問題。但在現(xiàn)實的經(jīng)濟生活中，由于現(xiàn)金流量的不規(guī)則以及時間分布的不統(tǒng)一，使得貨幣時間價值的計算很復雜。本節(jié)我們主要討論一些特殊問題。一、未知復利期限問題在現(xiàn)實的經(jīng)濟生活中，常常有這樣的現(xiàn)象，就是在一定的貨幣時間價值條件下，不能確定多長時間的增值才能實現(xiàn)一定量貨幣金額的終期目標。比如，小張想每年存1000元，在銀行利率為2%的條件下，存多少期才能保證本利和超過50000元，以償還欠朋友的債務。又如，李小姐想在若干年后存蓄200000元購買一套住房，如果現(xiàn)在存100000元，在銀行利率為5%的條件下，需要存多少年，才能實現(xiàn)上述本利和達到200000元的目標。在財務學上，我們把上述問題稱為未知復利期限問題。它們的共同特點是：在確定貨幣收付的規(guī)律、金額和利率的條件下，如何確定合適的期限，使貨幣增值達到一定的終值目標。（一）一次性收付款期限問題例9，下崗職工鄭先生現(xiàn)有存款80000元，他決定趁現(xiàn)在還有勞動能力，先找工作糊口，將80000元存起來，存到200000元時再取出，保證自己的養(yǎng)老。假設銀行一年存款利率為8%，問鄭先生要存多少年？設要存n年，則必有：80000×FVIF8%，n=200000FVIF8%，n=2.5，即（1+8%）n=2.5計算n比較麻煩，可采用試誤法當n=12時，（1+8%）n=2.5182當n=11時，（1+8%）n=2.3316因此，n必在11和12之間，設n=11.906，則（1+8%）n=2.50001（二）年金收付款期限問題例10，小陳是位農(nóng)村男青年，初中畢業(yè)后出去打工，一年后學徒期滿，成為一名稱職的木工，如一年在外打工，每年收入扣除生活費，可凈得6000元。小陳的家鄉(xiāng)比較落后，婚嫁喜事比較麻煩。小陳估算一下，一個男青年結一次婚，需要總共花費50000元，如果小陳每年打工，存入銀行6000元，銀行年存款利率為2%，那么小陳還要打工多少年，才能使他到期的存款能滿足結婚需要？設需要打工n年，則有：6000×FVIFA2%，n=50000FVIFA2%，n=8.3333仍采用試誤法，設n=8，則FVIFA2%，n=8.5830設n=7，則FVIFA2%，n=7.4343因此可見，n在7-8之間，設n=7.5，則FVIFA2%，n=[1.027.5-1]/0.02=8.0057所以，小陳至少要存7.5年，才能保證存款能滿足結婚需要。二、未知利率問題未知利率問題也是經(jīng)濟生活中經(jīng)常出現(xiàn)的問題。例如，小張向小羅借款，本金10000元，3年后償還15000元，則小張借款的實際利率為多少？又如，小孟向小王借款，本金100000元，但小王要求三年內(nèi)每年歸還4000元，則小望要求的實際利率是多少？上述這些問題就是未知利率問題，它的基本特點是，在已知現(xiàn)金收付的規(guī)律、終值和現(xiàn)值的基礎上，要求確定內(nèi)含的利率。對于上述問題，可以用終值或現(xiàn)值的計算公式，反推利率的數(shù)值。（一）一次收付款的利率確定問題例11，張先生要在一個街道十字路口開辦一個餐館，于是找到十字路口的一家小賣部，提出要求承租該小賣部三年。小賣部的業(yè)主徐先生因小賣部受附近超市的影響，生意清淡，也愿意清盤讓張先生開餐館，但提出應一次支付三年的使用費30000元。張先生覺得現(xiàn)在一次拿3萬元比較困難，因此請求能否緩期支付。徐先生同意三年后支付，但金額為50000元，若銀行的貸款利率為5%，則張先生是否應三年后付款？要解決這個問題，可以先算出張先生三年后付款和現(xiàn)在付款金額之間的利息率，再同銀行貸款利率比較，若高于貸款利率，則應貸款然后現(xiàn)在支付，而若低于貸款利率則應三年后支付。如何計算內(nèi)含利率呢？設內(nèi)含利率為i，則有：30000×（1+i）3=50000（1+i）3=1.6667設i=18%，則（1+i）3=1.643032設i=19%，則（1+i）3=1.68519因此i在18%和19%之間，取i=18.55%，則（1+i）3=1.6661從以上計算可看出，徐先生3年之間的要價差隱含利率為18.55%，遠比銀行貸款利率高，因此張先生應該貸款支付這一筆使用費。（二）年金收付款的利率確定問題例12，仍以上例，假定徐先生要求張先生不是三年后一次支付，而是三年每年支付12000元，那么張先生是一次付清還是分三次付清呢？要回答這個問題，主要的關鍵是比較分次付款的隱含利率和銀行貸款利率的大小。分次付款，對張先生來說就是一項年金，設其利率為i，則有：30000=12000×PVIFAi，3PVIFAi，3=2.5仍用試誤法，當i=10%時，PVIFAi，3=2.4869當i=9%時，PVIFAi，3=2.5313因此可以估計利率在9%-10%，大于銀行貸款利率，所以張先生應該貸款。這個問題也可從另一個角度去解釋，也就是，如果張先生用貸款來支付現(xiàn)在的30000元，其未來支付的貸款本利的終值是否超過每年12000元年金的終值?，F(xiàn)在貸款30000元，三年后本利和為30000×（1+5%）3=30000×1.157625=34728.75元。每年支付12000元，三年后本利和為12000×FVIFA5%，3=12000×3.1525=37830元，顯然年金的終值大于一次支付的終值。從這一點看，張先生應該一次支付而不是分三次支付。三、不等額系列收付款問題在計算系列收付款的貨幣時間價值時，我們可以用年金計算方法來計算等額系列收付款，但對于不等額的系列收付款，我們就不能直接用年金計算公式來計算，而必須另外找其他方法。例13，李先生準備將自己的孩子送到寄宿學校，以鍛煉孩子的獨立性，也給自己多一些事業(yè)上的時間。他打聽到本市一家有名的民辦學校，得知其九年義務教育的學費如下表：（單位：萬元）年級123456789學費223344556李先生想現(xiàn)在存一筆錢，能保證孩子以后的教育費用，假設銀行一年存款利率為2%，問李先生現(xiàn)在要存多少錢？要想回答這個問題，只要把以后各年將要支付的現(xiàn)金折算為現(xiàn)值就可以了，但因為各年教育收費不同，因此學費支出不是一項年金。對于這種不等額系列支付，只好將每一筆付款單獨計算現(xiàn)值，再求出這些現(xiàn)值的和，計算如下：年級123456789合計學費22334455634現(xiàn)值系數(shù)（i=2%）0.98040.97120.94230.92380.90570.8880.86060.85350.8368NA現(xiàn)值1.96081.94242.82692.77143.62283.5524.3034.26755.020830.27因此，李先生要準備30萬元，才能保證孩子的后續(xù)教育。對于期限比較多的系列不等額收付款，一般可采用Excel表格進行計算，這樣既準確又快捷，也可以通過編制小的數(shù)學軟件進行計算。四、一年內(nèi)多次計息的問題張先生于2005年1月1日存入1000元，存期3個月，4月1日到期后，又轉(zhuǎn)存3個月，如此往復，直到2006年1月1日取出，則到期本利和為多少？由于月利率為1.425%，因此三個月為4.275%，則1年后存款的本利和為：1000×（1+0.004275）4=1.01720×1000=1017.201年后的利息為17.20，年利率為17.20/1000=1.72%，與表格中1.71%的年利率不相等。為什么會出現(xiàn)這種情況呢？這是因為表格中的1.71%是按每個月的單利計算方法計算的（1.71%=0.1425%×12），而我們計算出來的實際利率1.72%是按每三個月復利一次計算出來的，因此這二者有差別。（一）名義利率如果在計算利息時，每年計算n次，則我們將沒有經(jīng)過復利計算，而是根據(jù)具體計算利息期限的利息率乘以年計息次數(shù)算出來的利息率成為名義利率。比如，A公司債券半年計算一次利息，半年的票面利率為5%，則一年的名義利率為5%×2=10%。在利息計算方法按單利計算的條件下，名義利率與實際利率相同，但在復利計算方法下，名義利率要小于實際利率。（二）實際利率實際利率是指當一筆資金的利息計算不是一年一次，而是一年多次的情況下，由于采用復利計算利息而計算出來的實際利息率。設一筆資金的名義利率為i，每年計息n次，則每次計算利息的利息率為i/n，這相當于每年復利n次，每次復利的利率為i/n。設某人初始存款為A，則年后存款本利和為A（1+i/n）n，實際利率為[A（1+i/n）n-A]/A=（1+i/n）n-1。例14.自2005年10月15日起，我國境內(nèi)美元存款利率如下：期限活期1個月3個月6個月1年利率（%）0.77501.752.252.3752.5楊先生做出口生意獲得美元10000元，他不想將這些美元花掉，而想存下來以備不時之需，因此將美元存入銀行，問楊先生應如何儲蓄才能保證實際利率最大？要解決這個問題，首先要計算各種不同儲蓄方式在1年內(nèi)增值的程度，計算1年的實際利率進行比較。現(xiàn)列表計算如下：期限活期1個月3個月6個月1年利率（%）0.7751.752.252.3752.5年初存款100100100100100年末利息0.77523.149.314.812.5實際利率（%）0.077523.149.314.812.5上表中，年末利息行是根據(jù)存款利率復利計算來的，比如1個月期的存款利率1.75%，1年后的利息為100×（1+1.75%）12-100=23.14。從上表計算可看出，存一個月期，到期轉(zhuǎn)存利率最大。第五節(jié)財務管理中貨幣時間價值的計算問題企業(yè)財務管理中，貨幣時間價值的計算是基礎，在投資決策、資本成本的計算中起重要作用。本節(jié)我們先列舉出一些財務管理中經(jīng)常出現(xiàn)的貨幣時間價值計算問題。一、增長率問題在企業(yè)經(jīng)營中，經(jīng)常出現(xiàn)固定增長率的現(xiàn)象。比如，銷售收入按一定比例固定增長，股票的每股股利按規(guī)定比例增長，等等。我們來看一個例子：吳先生的公司今年銷售收入100萬，5年后銷售收入可實現(xiàn)1000萬，則吳先生的公司銷售收入固定增長比例是多少？要解決上述問題，首先要弄清楚固定增長率問題的實質(zhì)。設某一財務項目期初值為A，n期后期末值為B，則固定增長率i是指A按i的比率每年固定增長，n年末增長至B。如從貨幣時間價值的計算角度看，則A為現(xiàn)值，B為終值，i為年利率，n為復利期限。因此我們可以