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文檔簡介
2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù),,且,則()A.3 B.3或7 C.5 D.5或82.的展開式中的系數(shù)是()A.160 B.240 C.280 D.3203.設(shè)點是橢圓上的一點,是橢圓的兩個焦點,若,則()A. B. C. D.4.設(shè)雙曲線(a>0,b>0)的右焦點為F,右頂點為A,過F作AF的垂線與雙曲線交于B,C兩點,過B,C分別作AC,AB的垂線交于點D.若D到直線BC的距離小于,則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是()A.B.C.D.5.如圖,在四邊形中,,,,,,則的長度為()A. B.C. D.6.若x∈(0,1),a=lnx,b=,c=elnx,則a,b,c的大小關(guān)系為()A.b>c>a B.c>b>a C.a(chǎn)>b>c D.b>a>c7.已知雙曲線的右焦點為,過的直線交雙曲線的漸近線于兩點,且直線的傾斜角是漸近線傾斜角的2倍,若,則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.8.已知正三角形的邊長為2,為邊的中點,、分別為邊、上的動點,并滿足,則的取值范圍是()A. B. C. D.9.函數(shù)的部分圖象如圖所示,則的單調(diào)遞增區(qū)間為()A. B.C. D.10.下列函數(shù)中,值域為R且為奇函數(shù)的是()A. B. C. D.11.已知,,若,則實數(shù)的值是()A.-1 B.7 C.1 D.1或712.已知是定義在上的奇函數(shù),且當時,.若,則的解集是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.(5分)某膳食營養(yǎng)科研機構(gòu)為研究牛蛙體內(nèi)的維生素E和鋅、硒等微量元素(這些元素可以延緩衰老,還能起到抗癌的效果)對人體的作用,現(xiàn)從只雌蛙和只雄蛙中任選只牛蛙進行抽樣試驗,則選出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是____________.14.設(shè)函數(shù),則滿足的的取值范圍為________.15.實數(shù),滿足,如果目標函數(shù)的最小值為,則的最小值為_______.16.在△ABC中,∠BAC=,AD為∠BAC的角平分線,且,若AB=2,則BC=_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知多面體中,、均垂直于平面,,,,是的中點.(1)求證:平面;(2)求直線與平面所成角的正弦值.18.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若,設(shè),證明:,,使.19.(12分)某早餐店對一款新口味的酸奶進行了一段時間試銷,定價為元/瓶.酸奶在試銷售期間足量供應(yīng),每天的銷售數(shù)據(jù)按照,,,分組,得到如下頻率分布直方圖,以不同銷量的頻率估計概率.從試銷售期間任選三天,求其中至少有一天的酸奶銷量大于瓶的概率;試銷結(jié)束后,這款酸奶正式上市,廠家只提供整箱批發(fā):大箱每箱瓶,批發(fā)成本元;小箱每箱瓶,批發(fā)成本元.由于酸奶保質(zhì)期短,當天未賣出的只能作廢.該早餐店以試銷售期間的銷量作為參考,決定每天僅批發(fā)一箱(計算時每個分組取中間值作為代表,比如銷量為時看作銷量為瓶).①設(shè)早餐店批發(fā)一大箱時,當天這款酸奶的利潤為隨機變量,批發(fā)一小箱時,當天這款酸奶的利潤為隨機變量,求和的分布列和數(shù)學(xué)期望;②以利潤作為決策依據(jù),該早餐店應(yīng)每天批發(fā)一大箱還是一小箱?注:銷售額=銷量×定價;利潤=銷售額-批發(fā)成本.20.(12分)某社區(qū)服務(wù)中心計劃按月訂購一種酸奶,每天進貨量相同,進貨成本每瓶5元,售價每瓶7元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗,每天需求量與當天最高氣溫(單位:攝氏度℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為600瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間,需求量為500瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為300瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:最高氣溫天數(shù)414362763以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)求六月份這種酸奶一天的需求量(單位:瓶)的分布列;(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為(單位:元),當六月份這種酸奶一天的進貨量為(單位:瓶)時,的數(shù)學(xué)期望的取值范圍?21.(12分)表示,中的最大值,如,己知函數(shù),.(1)設(shè),求函數(shù)在上的零點個數(shù);(2)試探討是否存在實數(shù),使得對恒成立?若存在,求的取值范圍;若不存在,說明理由.22.(10分)設(shè)橢圓E:(a,b>0)過M(2,),N(,1)兩點,O為坐標原點,(1)求橢圓E的方程;(2)是否存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且?若存在,寫出該圓的方程,若不存在說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
根據(jù)函數(shù)的對稱軸以及函數(shù)值,可得結(jié)果.【詳解】函數(shù),若,則的圖象關(guān)于對稱,又,所以或,所以的值是7或3.故選:B.【點睛】本題考查的是三角函數(shù)的概念及性質(zhì)和函數(shù)的對稱性問題,屬基礎(chǔ)題2、C【解析】
首先把看作為一個整體,進而利用二項展開式求得的系數(shù),再求的展開式中的系數(shù),二者相乘即可求解.【詳解】由二項展開式的通項公式可得的第項為,令,則,又的第為,令,則,所以的系數(shù)是.故選:C【點睛】本題考查二項展開式指定項的系數(shù),掌握二項展開式的通項是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】∵∵∴∵,∴∴故選B點睛:本題主要考查利用橢圓的簡單性質(zhì)及橢圓的定義.求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問題時要結(jié)合圖形進行分析,既使不畫出圖形,思考時也要聯(lián)想到圖形,當涉及頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時,要理清它們之間的關(guān)系,挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.4、A【解析】
由題意,根據(jù)雙曲線的對稱性知在軸上,設(shè),則由得:,因為到直線的距離小于,所以,即,所以雙曲線漸近線斜率,故選A.5、D【解析】
設(shè),在中,由余弦定理得,從而求得,再由由正弦定理得,求得,然后在中,用余弦定理求解.【詳解】設(shè),在中,由余弦定理得,則,從而,由正弦定理得,即,從而,在中,由余弦定理得:,則.故選:D【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用,還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運算求解的能力,屬于中檔題.6、A【解析】
利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接求解.【詳解】∵x∈(0,1),∴a=lnx<0,b=()lnx>()0=1,0<c=elnx<e0=1,∴a,b,c的大小關(guān)系為b>c>a.故選:A.【點睛】本題考查三個數(shù)的大小的判斷,考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,是基礎(chǔ)題.7、B【解析】
先求出直線l的方程為y(x﹣c),與y=±x聯(lián)立,可得A,B的縱坐標,利用,求出a,b的關(guān)系,即可求出該雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線1(a>b>0)的漸近線方程為y=±x,∵直線l的傾斜角是漸近線OA傾斜角的2倍,∴kl,∴直線l的方程為y(x﹣c),與y=±x聯(lián)立,可得y或y,∵,∴2?,∴ab,∴c=2b,∴e.故選B.【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì),考查向量知識,考查學(xué)生的計算能力,屬于中檔題.8、A【解析】
建立平面直角坐標系,求出直線,設(shè)出點,通過,找出與的關(guān)系.通過數(shù)量積的坐標表示,將表示成與的關(guān)系式,消元,轉(zhuǎn)化成或的二次函數(shù),利用二次函數(shù)的相關(guān)知識,求出其值域,即為的取值范圍.【詳解】以D為原點,BC所在直線為軸,AD所在直線為軸建系,設(shè),則直線,設(shè)點,所以由得,即,所以,由及,解得,由二次函數(shù)的圖像知,,所以的取值范圍是.故選A.【點睛】本題主要考查解析法在向量中的應(yīng)用,以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的運用.9、D【解析】
由圖象可以求出周期,得到,根據(jù)圖象過點可求,根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出單調(diào)增區(qū)間即可.【詳解】由圖象知,所以,,又圖象過點,所以,故可取,所以令,解得所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為故選:.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),利用“五點法”求函數(shù)解析式,屬于中檔題.10、C【解析】
依次判斷函數(shù)的值域和奇偶性得到答案.【詳解】A.,值域為,非奇非偶函數(shù),排除;B.,值域為,奇函數(shù),排除;C.,值域為,奇函數(shù),滿足;D.,值域為,非奇非偶函數(shù),排除;故選:.【點睛】本題考查了函數(shù)的值域和奇偶性,意在考查學(xué)生對于函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.11、C【解析】
根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標運算,化簡即可求得的值.【詳解】由平面向量數(shù)量積的坐標運算,代入化簡可得.∴解得.故選:C.【點睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標運算,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】
利用函數(shù)奇偶性可求得在時的解析式和,進而構(gòu)造出不等式求得結(jié)果.【詳解】為定義在上的奇函數(shù),.當時,,,為奇函數(shù),,由得:或;綜上所述:若,則的解集為.故選:.【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用,涉及到利用函數(shù)奇偶性求解對稱區(qū)間的解析式;易錯點是忽略奇函數(shù)在處有意義時,的情況.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
記只雌蛙分別為,只雄蛙分別為,從中任選只牛蛙進行抽樣試驗,其基本事件為,共15個,選出的只牛蛙中至少有只雄蛙包含的基本事件為,共9個,故選出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是.14、【解析】
當時,函數(shù)單調(diào)遞增,當時,函數(shù)為常數(shù),故需滿足,且,解得答案.【詳解】,當時,函數(shù)單調(diào)遞增,當時,函數(shù)為常數(shù),需滿足,且,解得.故答案為:.【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式,意在考查學(xué)生對于函數(shù)性質(zhì)的靈活運用.15、【解析】
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域,利用目標函數(shù)的最小值為,確定出的值,進而確定出C點坐標,結(jié)合目標函數(shù)幾何意義,從而求得結(jié)果.【詳解】先做的區(qū)域如圖可知在三角形ABC區(qū)域內(nèi),由得可知,直線的截距最大時,取得最小值,此時直線為,作出直線,交于A點,由圖象可知,目標函數(shù)在該點取得最小值,所以直線也過A點,由,得,代入,得,所以點C的坐標為.等價于點與原點連線的斜率,所以當點為點C時,取得最小值,最小值為,故答案為:.【點睛】該題考查的是有關(guān)線性規(guī)劃的問題,在解題的過程中,注意正確畫出約束條件對應(yīng)的可行域,根據(jù)最值求出參數(shù),結(jié)合分式型目標函數(shù)的意義求得最優(yōu)解,屬于中檔題目.16、【解析】
由,求出長度關(guān)系,利用角平分線以及面積關(guān)系,求出邊,再由余弦定理,即可求解.【詳解】,,,,.故答案為:.【點睛】本題考查共線向量的應(yīng)用、面積公式、余弦定理解三角形,考查計算求解能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2).【解析】
(1)取的中點,連接、,推導(dǎo)出四邊形為平行四邊形,可得出,由此能證明平面;(2)由,得平面,則點到平面的距離等于點到平面的距離,在平面內(nèi)過點作于點,就是到平面的距離,也就是點到平面的距離,由此能求出直線與平面所成角的正弦值.【詳解】(1)取的中點,連接、,、分別為、的中點,則且,、均垂直于平面,且,則,且,所以,四邊形為平行四邊形,則,平面,平面,因此,平面;(2)由,平面,平面,平面,點到平面的距離等于點到平面的距離,在平面內(nèi)過點作于點,平面,平面,,,,平面,即就是到平面的距離,也就是點到平面的距離,設(shè),則到平面的距離,,因此,直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查線面平行的證明,考查線面角的正弦值的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想,是中檔題.18、(1)見解析;(2)證明見解析.【解析】
(1),分,,,四種情況討論即可;(2)問題轉(zhuǎn)化為,利用導(dǎo)數(shù)找到與即可證明.【詳解】(1).①當時,恒成立,當時,;當時,,所以,在上是減函數(shù),在上是增函數(shù).②當時,,.當時,;當時,;當時,,所以,在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),在上是減函數(shù).③當時,,則在上是減函數(shù).④當時,,當時,;當時,;當時,,所以,在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),在上是減函數(shù).(2)由題意,得.由(1)知,當,時,,.令,,故在上是減函數(shù),有,所以,從而.,,則,令,顯然在上是增函數(shù),且,,所以存在使,且在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),,所以,所以,命題成立.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及證明不等式的問題,考查學(xué)生邏輯推理能力,是一道較難的題.19、;①詳見解析;②應(yīng)該批發(fā)一大箱.【解析】
酸奶每天銷量大于瓶的概率為,不大于瓶的概率為,設(shè)“試銷售期間任選三天,其中至少有一天的酸奶銷量大于瓶”為事件,則表示“這三天酸奶的銷量都不大于瓶”.利用對立事件概率公式求解即可.①若早餐店批發(fā)一大箱,批發(fā)成本為元,依題意,銷量有,,,四種情況,分別求出相應(yīng)概率,列出分布列,求出的數(shù)學(xué)期望,若早餐店批發(fā)一小箱,批發(fā)成本為元,依題意,銷量有,兩種情況,分別求出相應(yīng)概率,由此求出的分布列和數(shù)學(xué)期望;②根據(jù)①中的計算結(jié)果,,從而早餐應(yīng)該批發(fā)一大箱.【詳解】解:根據(jù)圖中數(shù)據(jù),酸奶每天銷量大于瓶的概率為,不大于瓶的概率為.設(shè)“試銷售期間任選三天,其中至少有一天的酸奶銷量大于瓶”為事件,則表示“這三天酸奶的銷量都不大于瓶”.所以.①若早餐店批發(fā)一大箱,批發(fā)成本為元,依題意,銷量有,,,四種情況.當銷量為瓶時,利潤為元;當銷量為瓶時,利潤為元;當銷量為瓶時,利潤為元;當銷量為瓶時,利潤為元.隨機變量的分布列為所以(元)若早餐店批發(fā)一小箱,批發(fā)成本為元,依題意,銷量有,兩種情況.當銷量為瓶時,利潤為元;當銷量為瓶時,利潤為元.隨機變量的分布列為所以(元).②根據(jù)①中的計算結(jié)果,,所以早餐店應(yīng)該批發(fā)一大箱.【點睛】本題考查概率,離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法,考查古典概型、對立事件概率計算公式等基礎(chǔ)知識,屬于中檔題.20、(1)見解析;(2)【解析】
(1)X的可能取值為300,500,600,結(jié)合題意及表格數(shù)據(jù)計算對應(yīng)概率,即得解;(2)由題意得,分,及,分別得到y(tǒng)與n的函數(shù)關(guān)系式,得到對應(yīng)的分布列,分析即得解.【詳解】(1)由題意:X的可能取值為300,500,600故:六月份這種酸奶一天的需求量(單位:瓶)的分布列為300500600(2)由題意得.1°.當時,利潤此時利潤的分布列為.2.時,利潤此時利潤的分布列為.綜上的數(shù)學(xué)期望的取值范圍是.【點睛】本題考查了函數(shù)與概率統(tǒng)計綜合,考查了學(xué)生綜合分析,數(shù)據(jù)處理,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題.21、(1)個;(1)存在,.【解析】試題分析:(1)設(shè),對其求導(dǎo),及最小值,從而得到的解析式,進一步求值域即可;(1)分別對和兩種情況進行討論,得到的解析式,進一步構(gòu)造,通過求導(dǎo)得到最值,得到滿足條件的的范圍.試題解析:(1)設(shè),.............1分令,得遞增;令,得遞減,.................1分∴,∴,即,∴.............3分設(shè),結(jié)合與在上圖象可知,這兩個函數(shù)的圖象在上有兩個交點,即在上零點的個數(shù)為1...........................5分(或由方程在上有兩根可得)(1)假設(shè)存在實數(shù),使得對恒成立,則,對恒成立,即,對恒成立,................................6分①設(shè),令,得遞增;令,得遞減,∴,當即時,,∴,∵,∴4.故當時,對恒成立,.......................8分當即時,在上遞減,∴.∵,∴,故當時,對恒成立............................10分②若對恒成立,則,∴..........
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