線性代數(shù)行列式的展開計(jì)算

線性代數(shù)行列式的展開計(jì)算第1頁，共57頁，2023年，2月20日，星期二第2頁，共57頁，2023年，2月20日，星期二決這個(gè)問題,先學(xué)習(xí)余子式和代數(shù)余子式的概念.一般來說,低階行列式的計(jì)算比高階行列式的計(jì)算要簡便,于是,自然地考慮用低階行列式來表示高階行列式的問題.本節(jié)我們要解決的問題是,如何把高階行列式降為低階行列式,從而把高階行列式的計(jì)算轉(zhuǎn)化為低階行列式的計(jì)算.為了解第3頁，共57頁，2023年，2月20日，星期二第三節(jié)行列式按行（列）展開一、余子式與代數(shù)余子式二、行列式按行（列）展開法則三、小結(jié)第4頁，共57頁，2023年，2月20日，星期二例如一、余子式與代數(shù)余子式第5頁，共57頁，2023年，2月20日，星期二啟示:三階行列式可按第一行“展開”.對式適當(dāng)重新組合,易見該三階行列式也可按第一列“展開”.第6頁，共57頁，2023年，2月20日，星期二余子式和代數(shù)余子式Aij

叫做元素aij

的代數(shù)余子式.定義

在n

階行列式中,把元素aij

所在的第i

行和第

j

列劃去后,剩下的元素按它們在原行列式中的相對位置組成的n–1階行列式叫做元素aij的余子式,記作Mij;Aij=(–1)i+jMij,記第7頁，共57頁，2023年，2月20日，星期二在階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去后，留下來的階行列式叫做元素的余子式，記作叫做元素的代數(shù)余子式．例如第8頁，共57頁，2023年，2月20日，星期二第9頁，共57頁，2023年，2月20日，星期二引理一個(gè)階行列式，如果其中第行所有元素除外都為零，那末這行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即．例如第10頁，共57頁，2023年，2月20日，星期二定理1

行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即二、行列式按行（列）展開法則這個(gè)定理叫做行列式按行（列）展開法則.第11頁，共57頁，2023年，2月20日，星期二證明第12頁，共57頁，2023年，2月20日，星期二例1計(jì)算行列式解按第二行展開，得第13頁，共57頁，2023年，2月20日，星期二例2試按第三列展開計(jì)算行列式解將按第三列展開,則有其中第14頁，共57頁，2023年，2月20日，星期二解其中所以第15頁，共57頁，2023年，2月20日，星期二例3第16頁，共57頁，2023年，2月20日，星期二第17頁，共57頁，2023年，2月20日，星期二例4計(jì)算行列式解第18頁，共57頁，2023年，2月20日，星期二第19頁，共57頁，2023年，2月20日，星期二例5證明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式的每列都是某一個(gè)數(shù)的不同方冪，且自上而下方冪次數(shù)由0遞增至n-1第20頁，共57頁，2023年，2月20日，星期二證明對

n

作歸納法.當(dāng)n=2時(shí)，結(jié)論成立.設(shè)對于n–1階范德蒙德行列式結(jié)論成立，現(xiàn)在來看

n階的情形.在n階范德蒙德行列式中，第n

行減去第n–1行的a1

倍，第n–1行減去第

n–2行的a1

倍.也就是由下而上依次地從每一行減去它上一行的a1

倍，有第21頁，共57頁，2023年，2月20日，星期二按第1列展開，并把列的公因子(ai–a1)提出，得第22頁，共57頁，2023年，2月20日，星期二上式右端行列式是n–1階范德蒙德行列式，按歸納法假設(shè)，它等于所有(ai–aj)因子的乘積，其中2≤

j<i

≤

n.故證畢第23頁，共57頁，2023年，2月20日，星期二例6計(jì)算解第24頁，共57頁，2023年，2月20日，星期二推論

行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.即ai1Aj1+ai2Aj2+···+ainAjn

=0,i

j

,或

a1iA1j

+a2iA2j+···+aniAnj=0,i

j.第25頁，共57頁，2023年，2月20日，星期二有關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)：或其中第26頁，共57頁，2023年，2月20日，星期二例取第一行元素第27頁，共57頁，2023年，2月20日，星期二思考第四行各元素余子式之和為分析以表示中元素的余子式，則有第28頁，共57頁，2023年，2月20日，星期二1.行列式按行（列）展開法則是把高階行列式的計(jì)算化為低階行列式計(jì)算的重要工具.

三、小結(jié)第29頁，共57頁，2023年，2月20日，星期二1.

直接用定義公式計(jì)算;

2.

利用性質(zhì)化為三角行列式;

3.

利用展開式定理降階.到現(xiàn)在為止,我們已能計(jì)算任意階的行列式.行列式的計(jì)算是我們這一章的重點(diǎn),也是同學(xué)們必須掌握的基本技能.行列式有以下三種計(jì)算方法:第30頁，共57頁，2023年，2月20日，星期二行列式時(shí),應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況靈活選擇計(jì)算方法.

行列式的計(jì)算在這三種方法中,方法1

主要用于理論分析,很少用來計(jì)算具體的行列式,但對于低階行列式(如二階、三階)或有很多零元素的高階行列式,有時(shí)也可用此方法來計(jì)算;方法2

適用于行列式的階不確定的高階行列式的計(jì)算;方法3

主要用于階為已知的高階行列式的計(jì)算.當(dāng)然在計(jì)算一個(gè)下面看幾個(gè)例子.第31頁，共57頁，2023年，2月20日，星期二

下面舉幾個(gè)n

階行列式計(jì)算的例子.

例設(shè)證明遞推關(guān)系式

Dn

=nDn-1-

n-1n-1Dn-2(n>2).第32頁，共57頁，2023年，2月20日，星期二按Dn

的第n

列展開,

得證明第33頁，共57頁，2023年，2月20日，星期二展開,即為上式中n

的代數(shù)余子式是與Dn

同類型的n-1階行列式Dn-1

,而對n-1

的余子式按第n-1行第34頁，共57頁，2023年，2月20日，星期二

n-1Dn-2

,

至此我們得到Dn

=nDn-1-n-1n-1Dn-2

.

證畢關(guān)系式在計(jì)算數(shù)學(xué)中常被引用.Dn

是常見的n

階三對角行列式,所證的遞推第35頁，共57頁，2023年，2月20日，星期二

例計(jì)算n

階行列式第36頁，共57頁，2023年，2月20日，星期二=D1+(n-1)=n+1.這是一個(gè)三對角行列式,

在這里i

=2,i

=i

=1(

i=1,2,···,n),由果可得

Dn=2Dn-1

-

Dn-2.適當(dāng)移項(xiàng)可得關(guān)于Dn

的遞推關(guān)系式Dn

-

Dn-1=Dn-1

-

Dn-2=Dn-2

-

Dn-3=···=D2

-

D1.因

D2=4-1=3,D1=2,D2

-

D1=1,所以Dn=Dn-1+1=(Dn-2+1)+1=···

的結(jié)解第37頁，共57頁，2023年，2月20日，星期二第四節(jié)Cramer法則一、非齊次與齊次線性方程組的概念二、Cramer法則三、小結(jié)第38頁，共57頁，2023年，2月20日，星期二設(shè)線性方程組則稱此方程組為非

齊次線性方程組;此時(shí)稱方程組為齊次線性方程組.一、齊次與非齊次線性方程組的概念第39頁，共57頁，2023年，2月20日，星期二二、Cramer法則定理1

如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，即第40頁，共57頁，2023年，2月20日，星期二其中Di是把系數(shù)行列式D中第i

列的元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的n階行列式，即那么線性方程組有解，并且解是唯一的，解可以表為第41頁，共57頁，2023年，2月20日，星期二例1

用Cramer法則解方程組解:第42頁，共57頁，2023年，2月20日，星期二第43頁，共57頁，2023年，2月20日，星期二89-50第44頁，共57頁，2023年，2月20日，星期二第45頁，共57頁，2023年，2月20日，星期二程的個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)不等時(shí),

就不能用克拉通過上述例子,

我們看到用克拉默法則求解線性方程組時(shí),要計(jì)算n+1個(gè)n

階行列式,這個(gè)計(jì)算量是相當(dāng)大的,

所以,

在具體求解線性方程組時(shí),

很少用克拉默法則.另外,

當(dāng)方程組中方默法則求解.第46頁，共57頁，2023年，2月20日，星期二但這并不影響克拉默法則在線性方程組理論中的重要地位.克拉默法則不僅給出了方程組有唯一解的條件,

并且給出了方程組的解與方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的關(guān)系.第47頁，共57頁，2023年，2月20日，星期二

定理1

如果線性方程組克拉默法則可敘述為下面的重要定理.式D

0,

則(1)一定有解,

且解是唯一的.二、線性方程組有解的條件定理1

的逆否定理為:定理1′如果線性方程組(1)

無解或有無窮個(gè)不同的解,則它的系數(shù)行列式必為零.的系數(shù)行列第48頁，共57頁，2023年，2月20日，星期二全為零時(shí),

線性方程組(1)叫做齊次線性方程組.線性方程組b1

,

b2

,

···

,

bn不全為零時(shí),線性方程組(1)

叫做非齊次線性方程組;當(dāng)b1

,

b2

,

···

,

bn

右端的常數(shù)項(xiàng)第49頁，共57頁，2023年，2月20日，星期二對于齊次線性方程組(2)x1=x2=···=xn=0

一定是它的解,這個(gè)解叫做齊次線性方程組(2)

的零解.第50頁，共57頁，2023年，2月20日，星期二

定理2′如果齊次線性方程組(2)有非零如果一組不全為零的數(shù)是做齊次線性方程組(2)的非零解.

齊次線性方程組(2)一定有零解,但不一定有非零解.對于齊次線性方程組(2)

有以下定理.

定理2

如果齊次線性方程組(2)的系數(shù)行列式D

0,則齊次線性方程組(2)沒有非零解.解,則它的系數(shù)行列式必為零.的解,則它叫第51頁，共57頁，2023年，2月20日，星期二例2

問取何值時(shí)，齊次方程組有非零解？解第52頁，共57頁，2023年，2月20日，星期二齊次方程組有非零解，則所以