二分法教學(xué)案

用二分法求方程的近似解word格式-可編輯-感謝下載支持

一、教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)選自新人教Ａ版必修１第三章第一節(jié)的第二課時(shí)，是利用前一節(jié)課中的函數(shù)的零點(diǎn)

和方程的根的關(guān)系來(lái)才解方程的根，而如何求得函數(shù)的零點(diǎn)，就是本節(jié)課的主要內(nèi)容。這里

要求學(xué)生懂得二分法的求解的過(guò)程，理解二分法求解的原理，更重要的是，為必修3算法提

供了技術(shù)支持。同時(shí)讓學(xué)生對(duì)函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合思想以及逼近的數(shù)學(xué)思想有了進(jìn)

一步的認(rèn)識(shí)。

二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析

同學(xué)們有了第一節(jié)課的基礎(chǔ)，對(duì)函數(shù)的零點(diǎn)具備基本的認(rèn)識(shí)；而通過(guò)生活中的案例來(lái)接

觸二分的思想，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生明白數(shù)學(xué)就在身邊，數(shù)學(xué)無(wú)處不在的。

三、教學(xué)目標(biāo)

1.通過(guò)具體實(shí)例理解二分法的概念，掌握運(yùn)用二分法求簡(jiǎn)單方程近似解的方法，從中體

會(huì)函數(shù)的零點(diǎn)與方程根之間的聯(lián)系及其在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用；

2.能借助計(jì)算器用二分法求方程的近似解，讓學(xué)生能夠初步了解逼近思想；體會(huì)數(shù)學(xué)逼

近過(guò)程，感受精確與近似的相對(duì)統(tǒng)一；

四、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

1．教學(xué)重點(diǎn)：用“二分法”求方程的近似解，使學(xué)生體會(huì)函數(shù)零點(diǎn)與方程根之間的

聯(lián)系，初步形成用函數(shù)觀(guān)點(diǎn)處理問(wèn)題的意識(shí)．

2．教學(xué)難點(diǎn)：方程近似解所在起始區(qū)間的確定，近似解與精確度的關(guān)系。

五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

（一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題

體會(huì)一分為二的“逼近”思想

問(wèn)題1：在班級(jí)舉辦的新年晚會(huì)上，有一支有100個(gè)小彩燈組成的串聯(lián)彩燈電路突然不

亮了，知道只有一個(gè)燈泡燒毀，如何迅速找出燒掉的燈炮并換掉，讓歡樂(lè)的氣氛得以繼續(xù)？

（這個(gè)問(wèn)題會(huì)讓學(xué)生有身臨其境的感覺(jué)）

[學(xué)情預(yù)設(shè)]學(xué)生獨(dú)立思可能的解決方法：

思路1：用萬(wàn)用表按順序一個(gè)一個(gè)燈泡去測(cè)試．

思路2：通過(guò)先找到中間的燈泡，測(cè)試兩次，這樣就剩下50個(gè)燈泡，以此類(lèi)推不用幾

次即可找出燒毀的燈泡。

老師從思路2入手，引導(dǎo)學(xué)生解決問(wèn)題：

如圖，首先找到中間燈炮的接點(diǎn)A51．用萬(wàn)用表測(cè)量A1與A51之間的電阻，如果指針

不動(dòng)，說(shuō)明電阻無(wú)窮大，燒毀的燈光就在A1與A51之間，否則燒毀的燈光就在A52與A101

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之間，若是在A1至A51之間，再測(cè)量A1至A26之間和A26至A51之間，找出燒毀燈泡所在

的電路段，以此類(lèi)推．每查一次，可以把待查的線(xiàn)路長(zhǎng)度縮減一半，如此查下去，不用幾次，

就可以燒毀的燈光．

接下來(lái)教師現(xiàn)場(chǎng)演示測(cè)量過(guò)程．

在一條線(xiàn)段上找某個(gè)特定點(diǎn)，可以通過(guò)取中點(diǎn)的方法逐步縮小特定點(diǎn)所在的范圍（即二

分法思想）．

[設(shè)計(jì)意圖]從實(shí)際問(wèn)題入手，現(xiàn)場(chǎng)演示用二分法思想查找燒毀的燈泡，通過(guò)演示讓學(xué)

生初步體會(huì)二分法的算法思想與方法,說(shuō)明二分法原理源于現(xiàn)實(shí)生活，并在現(xiàn)實(shí)生活中廣泛

應(yīng)用．

（二）師生探究,構(gòu)建新知

問(wèn)題2：現(xiàn)在我把燒毀的燈泡比作函數(shù)f(x)lnx2x6的零點(diǎn)，請(qǐng)同學(xué)們先猜想它的

零點(diǎn)大概是什么？

1．教師引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算f(2)，f(3)的值，以及f(x)lnx2x6在（2,3）是否有定義。

計(jì)算結(jié)果：f(x)lnx2x6在（2,3）是連續(xù)函數(shù)，而且f(2)＜0，f(3)＞0.

教師演示：模擬毛線(xiàn)大致畫(huà)出函數(shù)曲線(xiàn)，因?yàn)閒(2)＜0，f(3)＞0.所以橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)

在x軸下方，橫從標(biāo)為3的點(diǎn)在x軸上方，將毛線(xiàn)的兩端分別固定在x軸的上方或下方，無(wú)

論毛線(xiàn)如何放置，始終與x軸交于2至3之間

結(jié)論：實(shí)際上在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，如果兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值是異號(hào)的，那么函數(shù)圖象

就一定與x軸相交，即方程f(x)0在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)解（即上節(jié)課的函數(shù)零點(diǎn)存在性定

理，為下面的學(xué)習(xí)提供理論基礎(chǔ)）．引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)”和“形”兩個(gè)角度去體會(huì)函數(shù)零點(diǎn)的

意義，掌握常見(jiàn)函數(shù)零點(diǎn)的求法，明確二分法的適用范圍．也就是f(x)lnx2x6在區(qū)間

（2，3）內(nèi)有零點(diǎn)。

2．我們已經(jīng)知道，函數(shù)f(x)lnx2x6在區(qū)間（2，3）內(nèi)有零點(diǎn)，且f(2)＜0，f(3)

＞0.進(jìn)一步的問(wèn)題是，如何找出這個(gè)零點(diǎn)？

合作探究：學(xué)生先按四人小組探究.（倡導(dǎo)學(xué)生積極交流、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，有助

于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性）

學(xué)生的結(jié)論：如果能夠?qū)⒘泓c(diǎn)所在的范圍盡量縮小，經(jīng)過(guò)多次以后，我們可以得到零點(diǎn).

教師問(wèn)：要經(jīng)過(guò)多少次縮小范圍呢？

學(xué)生：因?yàn)槲覀冞@節(jié)課的課題是求近似解，近似解有精確度問(wèn)題，所以只要指定精確度，

就可以解決這個(gè)問(wèn)題。

師問(wèn)：那如何縮小范圍呢？

這個(gè)問(wèn)題學(xué)生可能有兩種回答：

1.通過(guò)“取中點(diǎn)”的方法逐步縮小零點(diǎn)所在的范圍。

2.通過(guò)“取三等分點(diǎn)或四等分點(diǎn)”等方法逐步縮小零點(diǎn)所在的范圍，因?yàn)樗吹搅苏覠?/p>

毀燈泡的過(guò)程中，中間點(diǎn)并不中間。

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教師總結(jié)：很好，一個(gè)直觀(guān)的想法是:如果能夠?qū)⒘泓c(diǎn)所在的范圍盡量縮小，那么在一

定精確度的要求下，可以得到零點(diǎn)的近似值.其實(shí)“取中點(diǎn)”和“取三等分點(diǎn)或四等分點(diǎn)”

都能實(shí)現(xiàn)縮小零點(diǎn)所在的范圍.但是在同樣可以實(shí)現(xiàn)縮小零點(diǎn)所在范圍的前提下，“取中點(diǎn)”

的方法比取“三等分點(diǎn)或四等分點(diǎn)”的方法更簡(jiǎn)便.因此，為了方便，下面通過(guò)“取中點(diǎn)”

的方法逐步縮小零點(diǎn)所在的范圍.

ab

引導(dǎo)學(xué)生分析理解求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn)的方法x．

2

合作探究：（學(xué)生4人一組互相配合，事先確定好精確度，一人按計(jì)算器，一人記錄過(guò)

程．另1人確定每次計(jì)算得到的零點(diǎn)所在的區(qū)間，最后一人監(jiān)督計(jì)算結(jié)果是否符合要求，即

區(qū)間的長(zhǎng)度是否<=精確度，若是即得到近似值。）

步驟一：取區(qū)間(2，3)的中點(diǎn)2.5，用計(jì)算器算得f(2.5)0.0840.

由f(3)＞0，得知f(2.5)f(3)0，所以零點(diǎn)在區(qū)間(2.5，3)內(nèi)。

步驟二：取區(qū)間(2.5，3)的中點(diǎn)2.75，用計(jì)算器算得f(2.75)0.5120.因?yàn)?/p>

f(2.5)f(2.75)0，所以零點(diǎn)在區(qū)間(2.5，2.75)內(nèi).

結(jié)論:由于(2,3)(2.5,3)(2.5,2.75)，所以零點(diǎn)所在的范圍確實(shí)越來(lái)越小了.如果重復(fù)

上述步驟，在一定精確度下，我們可以在有限次重復(fù)上述步驟后，將所得的零點(diǎn)所在區(qū)間內(nèi)

的任一點(diǎn)作為函數(shù)零點(diǎn)的近似值．特別地，可以將區(qū)間內(nèi)的任一點(diǎn)作為函數(shù)零點(diǎn)的近似值．

引導(dǎo)學(xué)生利用計(jì)算器邊操作邊認(rèn)識(shí)，通過(guò)小組合作探究，得出教科書(shū)上的表3—2，讓

學(xué)生有更多的時(shí)間來(lái)思考與體會(huì)二分法實(shí)質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生合作學(xué)習(xí)的良好品質(zhì)．

教師總結(jié)：只要滿(mǎn)足以下幾條：1.閉區(qū)間[a,b]連續(xù)，2。端點(diǎn)的函數(shù)值異號(hào)，就可以用

以二分法。

給出定義：對(duì)于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且滿(mǎn)足f(a)·f(b)0的函數(shù)yf(x)，通過(guò)

不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得

到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．

給定精確度，用二分法求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)近似值的步驟如下：

1、確定區(qū)間[a，b]，驗(yàn)證f(a)·f(b)0，給定精確度；

2、求區(qū)間(a，b)的中點(diǎn)c；

3、計(jì)算f(c)：

（1）若f(c)=0，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；

（2）若f(a)·f(c)<0，則令b=c（此時(shí)零點(diǎn)x(a,c)）；

0

（3）若f(c)·f(b)<0，則令a=c（此時(shí)零點(diǎn)x(c,b)）；

0

4、判斷是否達(dá)到精確度：

即若|ab|，則得到零點(diǎn)零點(diǎn)值a（或b）；否則重復(fù)步驟2—4．

利用二分法求方程近似解的過(guò)程，可以簡(jiǎn)約地用下圖表示．

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初始區(qū)

取區(qū)間中點(diǎn)

中點(diǎn)函數(shù)值為零

是

否

取新區(qū)間

滿(mǎn)足精確度

否

是

結(jié)束

（三）例題剖析，鞏固新知

例：借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)用二分法求方程2x3x7的近似解（精確度0.1）.

兩人一組，一人用計(jì)算器求值，一人記錄結(jié)果；學(xué)生講解縮小區(qū)間的方法和過(guò)程，教師

點(diǎn)評(píng).

本例鼓勵(lì)學(xué)生自行嘗試，讓學(xué)生體驗(yàn)解題遇阻時(shí)的困惑以及解決問(wèn)題的快樂(lè).此例讓學(xué)

生體會(huì)用二分法來(lái)求方程近似解的完整過(guò)程，進(jìn)一步鞏固二分法的思想方法.

小結(jié)用二分法求方程零的步驟：

1構(gòu)造對(duì)應(yīng)的函數(shù)，強(qiáng)調(diào)一邊應(yīng)化為零，否則求出結(jié)果就不是方程的根。

2.求出函數(shù)的零點(diǎn)，該零點(diǎn)即是原方程的根。

[設(shè)計(jì)意圖]及時(shí)鞏固二分法的解題步驟,讓學(xué)生體會(huì)二分法是求方程近似解的有效方

法.解題過(guò)程中也起到了溫故轉(zhuǎn)化思想的作用．同時(shí)強(qiáng)化了方程的根與函數(shù)零點(diǎn)之間的關(guān)系。

思考：是否所有的零點(diǎn)都可以用二分法來(lái)解呢？

學(xué)生討論，教師總結(jié)用二分法求解的條件——異號(hào)，連續(xù)。

（四）嘗試練習(xí)，檢驗(yàn)成果

1、下列函數(shù)中能用二分法求零點(diǎn)的是（）.

y

。ox

(A)

(B)(C)(D)

[設(shè)計(jì)意圖]讓學(xué)生明確二分法的適用范圍.

2、用二分法求圖象是連續(xù)不斷的函數(shù)yf(x)在x∈(1,2)內(nèi)零點(diǎn)近似值的過(guò)程中得到

f(1)0,f(1.5)0,f(1.25)0,則函數(shù)的零點(diǎn)落在區(qū)間（）.

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(A)（1,1.25）(B)（1.25,1.5）(C)（1.5,2）(D)不能確定

[設(shè)計(jì)意圖]讓學(xué)生進(jìn)一步明確縮小零點(diǎn)所在范圍的方法.

（五）課堂小結(jié)，回顧反思

學(xué)生歸納，互相補(bǔ)充，老師總結(jié)：

1、理解二分法的定義和思想，用二分法可以求函數(shù)的零點(diǎn)近似值，但要保證該函數(shù)在

零點(diǎn)所在的區(qū)間內(nèi)是連續(xù)不斷，而且端點(diǎn)函數(shù)值要異號(hào)。

2、用二分法求方程的近似解的步驟.

[設(shè)計(jì)意圖]幫助學(xué)生梳理知識(shí),形成完整的知識(shí)結(jié)構(gòu).同時(shí)讓學(xué)生知道理解二分法定義

是關(guān)鍵，掌握二分法解題的步驟是前提，實(shí)際應(yīng)用是深化.

（六）課外作業(yè)

借助計(jì)算器或計(jì)算，用二分法求方程