聚焦中考第二章6節(jié)

人教數(shù)學第二章方程與不等式第6講一次方程與方程組要點梳理

1．定義(1)含有未知數(shù)的

叫做方程；(2)只含有

未知數(shù)，且含未知數(shù)的項的次數(shù)是

，這樣的整式方程叫做一元一次方程；(3)含有兩個未知數(shù)，且含未知數(shù)的項的次數(shù)為1，這樣的整式方程叫做二元一次方程．(4)將兩個或兩個以上的方程聯(lián)立在一起，就構(gòu)成了一個方程組．如果方程組中含有

，且含未知數(shù)的項的次數(shù)都是

，這樣的方程組叫做二元一次方程組．等式一個一次兩個未知數(shù)一次要點梳理

2．方程的解(1)能夠使方程左右兩邊

未知數(shù)的值，叫做方程的解．求方程解的過程叫做解方程．(2)二元一次方程的解：適合二元一次方程的一組未知數(shù)的值．(3)二元一次方程組的解：二元一次方程組中兩個方程的公共解．相等的要點梳理

3．解法(1)解一元一次方程主要有以下步驟：；；；_

；未知數(shù)的系數(shù)化為1.(2)解二元一次方程組的基本思想是

，有

與

．即把多元方程通過、、換元等方法轉(zhuǎn)化為一元方程來解．去分母去括號移項合并同類項消元代入消元法加減消元法加減代入一個防范在解一元一次方程時，經(jīng)常用到兩個相乘：一是去分母時，方程兩邊同乘以分母的最小公倍數(shù)；二是將分母化為整數(shù)時，把分母、分子同乘以10n.這兩個“同乘以”有著本質(zhì)的區(qū)別，一個用的是等式的性質(zhì)，一個用的是分數(shù)的基本性質(zhì)，兩者不可混淆．一個思想化歸思想，解二元一次方程組的基本思想是“消元”，即化“二元”為“一元”，這種方法體現(xiàn)了數(shù)學研究中的化歸思想，具體地說，就是把“新知識”轉(zhuǎn)化為“舊知識”，把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”，把“復(fù)雜問題”轉(zhuǎn)化為“簡單問題”，本部分的二元一次方程組問題一般通過“消元”轉(zhuǎn)化為一元一次方程問題解決．兩個方法(1)代入消元法；(2)加減消元法．1．(2014·咸寧)若代數(shù)式x＋4的值是2，則x等于()A．2

B．－2

C．6

D．－6B2．(2014·無錫)某文具店一支鉛筆的售價為1.2元，一支圓珠筆的售價為2元．該店在六一兒童節(jié)舉行文具優(yōu)惠售賣活動，鉛筆按原價打8折出售，圓珠筆按原價打9折出售，結(jié)果兩種筆共賣出60支，賣得金額87元．若設(shè)鉛筆賣出x支，則依題意可列得的一元一次方程為()A．1.2×0.8x＋2×0.9(60＋x)＝87B．1.2×0.8x＋2×0.9(60－x)＝87C．2×0.9x＋1.2×0.8(60＋x)＝87D．2×0.9x＋1.2×0.8(60－x)＝87B3．(2014·撫州)已知a，b滿足方程組?íì2a－b＝2，a＋2b＝6，則3a＋b的值為(

)

A．8

B．4

C．－4

D．－8

4．(2014·襄陽)若方程mx＋ny＝6的兩個解是?íìx＝1，y＝1，?íìx＝2，y＝－1，則m，n的值為(

)

A．4，2

B．2，4

C．－4，－2

D．－2，－4

AA5．(2014·紹興)如圖①，天平呈平衡狀態(tài)，其中左側(cè)秤盤中有一袋玻璃球，右側(cè)秤盤中也有一袋玻璃球，還有2個各20克的砝碼．現(xiàn)將左側(cè)袋中一顆玻璃球移至右側(cè)秤盤，并拿走右側(cè)秤盤的1個砝碼后，天平仍呈平衡狀態(tài)，如圖②，則被移動的玻璃球的質(zhì)量為()A．10克B．15克C．20克D．25克A一元一次方程的解法

【例1】

解下列方程：

(1)12x－45＝710；

(2)x－x－12＝2－x＋23；

解：(1)5x－8＝7，5x＝8＋7，5x＝15，∴x＝3(2)6x－3(x－1)＝12－2(x＋2)，6x－3x＋3＝12－2x－4，5x＝5，∴x＝1(3)7x－12[x－12(x－1)]＝23(x－1)；

(4)3[2x－1－3(2x－1)]＝5.

【點評】

(1)去括號可用分配律，注意符號，勿漏乘；含有多重括號的，按去括號法則逐層去括號；(2)去分母，方程兩邊同乘各分母的最小公倍數(shù)時，不要漏乘沒有分母的項(特別是常數(shù)項)，若分子是多項式，則要把它看成一個整體加上括號；(3)解方程后要代回去檢驗解是否正確；(4)當遇到方程中反復(fù)出現(xiàn)相同的部分時，可以將這個相同部分看作一個整體來進行運算，從而使運算簡便．1．解方程：

(1)3－57x＝135；

(2)2x－16＝5x＋18；

(3)x＋24＝2x－36＋1.

(2)4(2x－1)＝3(5x＋1)，8x－4＝15x＋3，－7x＝7，∴x＝－1(3)3(x＋2)＝2(2x－3)＋12，3x－4x＝－6＋12－6，－x＝0，∴x＝0二元一次方程(組)的解法【例2】(1)方程x＋2y＝5的正整數(shù)解有(

B

)

A．一組

B．二組

C．三組

D．四組

(2)(2014·威海)解方程組：??í?ì3x－5y＝3，x2－y3＝1.

【點評】

(1)解二元一次方程組的方法要根據(jù)方程組的特點靈活選擇，當方程組中一個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值是1或一個方程的常數(shù)項為0時，用代入法較方便；當兩個方程中同一個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等或成整數(shù)倍時，用加減法較方便；當方程組中同一個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值不相等，且不成整數(shù)倍時，把一個(或兩個)方程的兩邊同乘適當?shù)臄?shù)，使兩個方程中某一個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等，仍然選用加減法比較簡便；(2)用加減消元法時，選擇方程組中同一個未知數(shù)的系數(shù)絕對值的最小公倍數(shù)較小的未知數(shù)消元，這樣會使運算量較小，提高準確率．2．解方程組：

(1)(2012·廣東)?íìx－y＝4，①3x＋y＝16；②

(2)???í??ì718（x＋y）＝1，①34x＋79（x＋y）＝5；②

(3)1－6x＝3y－x2＝x＋2y3.

已知方程(組)解的特征，求待定系數(shù)【例3】

(1)若關(guān)于x，y的二元一次方程組?íìx＋y＝5k，x－y＝9k的解也是二元一次方程2x＋3y＝6的解，則k的值是(

)

A．－34

B.34

C.43

D．－43

B(2)已知方程組?íì2x－3y＝3，ax＋by＝－1與?íì3x＋2y＝11，2ax＋3by＝3的解相同，求a，b的值．

【點評】

(1)先將待定系數(shù)看成已知數(shù)，解這個方程組，再將求得的含待定系數(shù)的解代入方程中，便轉(zhuǎn)化成一個關(guān)于k的一元一次方程；(2)幾個方程(組)同解，可選擇兩個含已知系數(shù)的組成二元一次方程組求得未知數(shù)的解，然后將方程組的解代入含待定系數(shù)的另外的方程(或方程組)，解方程即可．3．(1)已知方程組?íì2x＋3y＝n，3x＋5y＝n＋2的解x，y的和為12，求n的值；

(2)當m取什么值時，方程x＋2y＝2，2x＋y＝7，mx－y＝0有公共解；

(3)已知關(guān)于x，y的二元一次方程(a－1)x＋(a＋2)y＋5－2a＝0，當a每取一個值時，就有一個方程，而這些方程有一個公共解，試求出這個公共解．

解：(1)解方程組??í?ì2x＋3y＝n，①3x＋5y＝n＋2，②得??í?ìx＝2n－6，y＝－n＋4.又∵x＋y＝12，∴(2n－6)＋(－n＋4)＝12，n＝14

(2)∵??í?ìx＋2y＝2，2x＋y＝7，∴??í?ìx＝4，y＝－1.代入mx－y＝0，得4m＋1＝0，

m＝－14

(3)解法一：取a＝1，得3y＋3＝0，y＝－1，取a＝－2，得－3x＋9＝0，x＝3，∴??í?ìx＝3y＝－1

解法二：整理得(x＋y－2)a＝x－2y－5，∴??í?ìx＋y－2＝0，x－2y－5＝0，解得??í?ìx＝3y＝－1

試題

已知方程組??í?ì4x－y＋3z＝0，2x＋y＋6z＝0，且xyz≠0，求x∶y∶z的值．

審題視角

在一個方程組中，當方程的個數(shù)小于未知數(shù)的個數(shù)，一般情況下是不能確定求出未知數(shù)的具體數(shù)值的．方程組??í?ì4x－y＋3z＝0，2x＋y＋6z＝0中有兩個三元一次方程一般不能得到確定解．要求三個元的比值可分別從求三個元中兩兩之間的關(guān)系入手，或抓住方程個數(shù)比未知數(shù)少1這個難點，設(shè)法轉(zhuǎn)化為二元一次方程組．

規(guī)范答題

解法一：將z視為字母系數(shù)，原方程組化為?íì4x－y＝－3z，2x＋y＝－6z.解這個“二元”一次方程組，得??í?ìx＝－32z，y＝－3z.因z不為零，所以x∶y∶z＝(－32z)∶(－3z)∶z＝(－32)∶(－3)∶1＝3∶6∶(－2)．

解法二：?íì4x－y＋3z＝0，①2x＋y＋6z＝0，②

①×2－②，得6x－3y＝0.

因x，y不為零，可得x∶y＝1∶2，

仿此消去x，得y∶z＝3∶(－1)．

利用比例性質(zhì)：x∶y＝1∶2＝3∶6，

y∶z＝3∶(－1)＝6∶(－2)，

所以x∶y∶z＝3∶6∶(－2)．

答題思路第一步：通過某種轉(zhuǎn)化手段，把其中某一個字母視為字母系數(shù)，把問題歸結(jié)為能解決的問題——二元一次方程組；第二步：用代入法或加減法解這個“二元”一次方程組，也就是用其中同一個字母來表示另外兩個字母；第三步：求這些字母的比值；第四步：反思回顧