現(xiàn)代控制理論第3版

現(xiàn)代控制理論第3版第1頁(yè)/共29頁(yè)4.1李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義4.1.1系統(tǒng)狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)及平衡狀態(tài)設(shè)所研究系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為（1）

式中，為維狀態(tài)矢量；為與同維的矢量函數(shù)，它是工的各元素和時(shí)間的函數(shù)。一般地，為時(shí)變的非線性函數(shù)。如果不顯含，則為定常的非線性系統(tǒng)。設(shè)方程式(1)在給定初始條件下，有唯一解：（2）式中，為表示在初始時(shí)刻時(shí)的狀態(tài)；是從第2頁(yè)/共29頁(yè)開始觀察的時(shí)間變量。

式(2)實(shí)際上描述了系統(tǒng)式(1)在n維狀態(tài)空間中從初始條件出發(fā)的一條狀態(tài)運(yùn)動(dòng)的軌跡，簡(jiǎn)稱系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)或狀態(tài)軌線。

若系統(tǒng)式(1)存在狀態(tài)矢量

，對(duì)所有，都使：成立，則稱為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。（3）

對(duì)于一個(gè)任意系統(tǒng)，不一定都存在平衡狀態(tài)，有時(shí)即使存在也未必是唯一的，例如對(duì)線性定常系統(tǒng)：

當(dāng)A為非奇異矩陣時(shí)，滿足的解是系統(tǒng)唯一存在的一個(gè)平衡狀態(tài)。而當(dāng)A為奇異矩陣時(shí)，則系統(tǒng)將有無(wú)窮多個(gè)平衡狀態(tài)。（4）第3頁(yè)/共29頁(yè)

對(duì)非線性系統(tǒng)，通?？捎幸粋€(gè)或多個(gè)平衡狀態(tài)。它們是由方程式(3)所確定的常值解．例加系系統(tǒng)：就有三個(gè)平衡狀態(tài)：

由于任意一個(gè)已知的平衡狀態(tài)，都可以通過(guò)坐標(biāo)變換將其移到坐標(biāo)原點(diǎn)處。所以今后將只討論系統(tǒng)在坐標(biāo)原點(diǎn)處的穩(wěn)定性就可以了。4.1.2穩(wěn)定性的幾個(gè)定義第4頁(yè)/共29頁(yè)

若用表示狀態(tài)矢量與平衡狀態(tài)的距離，用點(diǎn)集表示以為中心為半徑的超球體，那么，則表示：（5）式中，為歐幾里德范數(shù)。在n維狀態(tài)空間中，有：（6）

當(dāng)很小時(shí)，則稱為的鄰域。因此，若有，則意味著同理，若方程式(1)的解位于球域內(nèi)，便有：第5頁(yè)/共29頁(yè)（7）

式(7)表明齊次方程式(1)內(nèi)初態(tài)或短暫擾動(dòng)所引起的自由響應(yīng)是有界的。李雅普諾夫根據(jù)系統(tǒng)自由響應(yīng)是否有界把系統(tǒng)的穩(wěn)定性定義為四種情況。1．李雅普諾夫意義下穩(wěn)定2．漸近穩(wěn)定3．大范圍漸近穩(wěn)定4．不穩(wěn)定第6頁(yè)/共29頁(yè)4.2李雅普諾夫第一法4.2.1線性系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)線性定常系統(tǒng)（1）

平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定的充要條件是矩陣A的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部。

以上討論的都是指系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性，或稱內(nèi)部穩(wěn)定性。但從工程意義上看，往往更重視系統(tǒng)的輸出穩(wěn)定性。

如果系統(tǒng)對(duì)于有界輸入所引起的輸出

是有界的，則稱系統(tǒng)為輸出穩(wěn)定。

線性定常系統(tǒng)輸出穩(wěn)定的充要條件是其傳遞函數(shù)：第7頁(yè)/共29頁(yè)的極點(diǎn)全部位于s的左半平面。（2）4.2.2非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：（3）

為其平衡狀態(tài)；為與同維的矢量函數(shù)，且對(duì)工具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。

為討論系統(tǒng)在處的穩(wěn)定性，可將非線性矢量函數(shù)在鄰域內(nèi)展成泰勒級(jí)數(shù)，得：（4）第8頁(yè)/共29頁(yè)式中，為級(jí)數(shù)展開式中的高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。而（5）稱為雅可比(Jacohian)矩陣。

若令，并取式(4)的一次近似式，可得系統(tǒng)的線性化方程：

（6）第9頁(yè)/共29頁(yè)

在一次近似的基礎(chǔ)上，李雅普諾夫給出下述結(jié)論：1)如果方程式(6)中系數(shù)矩陣A的所有特征值都具有負(fù)實(shí)部，則原非線性系統(tǒng)式(3)在平衡狀態(tài)，是漸近穩(wěn)定的，而且系統(tǒng)的穩(wěn)定性與無(wú)關(guān)。2)如果

A的特征值，至少有一個(gè)具有正實(shí)部，則原非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。3)如果A的特征值，至少有一個(gè)的實(shí)部為零。系統(tǒng)處于臨界情況，那么原非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性將取決于高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，而不能由A的特征值符號(hào)來(lái)確定。第10頁(yè)/共29頁(yè)

設(shè)為由維矢量所定義的標(biāo)量函數(shù)，，且在處恒有。4.3李雅普諾夫第二法

李雅普諾夫第二法又稱直接法。它的基本思路不是通過(guò)求解系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，而是借助于一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)來(lái)直接對(duì)系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性做出判斷。它是從能量觀點(diǎn)進(jìn)行穩(wěn)定性分析的。4.3.1預(yù)備知識(shí)1.標(biāo)量函數(shù)的符號(hào)性質(zhì)所有在域中的任何非零矢量，如果：第11頁(yè)/共29頁(yè)2．二次型標(biāo)量函數(shù)

二次型函數(shù)在李雅普諾夫第二方法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性中起著很重要的作用。設(shè)為n個(gè)變量，定義二次型標(biāo)量函數(shù)為：（8）第12頁(yè)/共29頁(yè)矩陣P的符號(hào)性質(zhì)定義如下：設(shè)P為實(shí)對(duì)稱方陣，為由P所決定的二次型函數(shù)。3．希爾維斯特判據(jù)設(shè)實(shí)對(duì)陣矩陣：

由此可見，矩陣P的符號(hào)性質(zhì)與由其所決定的二次型函數(shù)的符號(hào)性質(zhì)完全一致。因此，要判別的符號(hào)只要判別P的符號(hào)即可。而后者可由希爾維斯特(Sylvester)判據(jù)進(jìn)行判定。第13頁(yè)/共29頁(yè)（9）為其各階順序主子行列式：（10）矩陣定號(hào)性的充要條件是：第14頁(yè)/共29頁(yè)4.3.2幾個(gè)穩(wěn)定性判據(jù)用李雅普諾夫第二法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，可概括為以下幾個(gè)穩(wěn)定性判據(jù)。平衡狀態(tài)為。

設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：（11）如果存在一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，它滿足：第15頁(yè)/共29頁(yè)2)是正定的，即當(dāng)。3)沿狀態(tài)軌跡方向計(jì)算的時(shí)間導(dǎo)數(shù)分別滿足下列條件：①若為半負(fù)定，那么平衡狀態(tài)為在李雅普諾夫意義下穩(wěn)定。此稱穩(wěn)定判據(jù)。②若為負(fù)定；或者雖然為半負(fù)定．但對(duì)任意初始狀態(tài)來(lái)說(shuō)，除去外，對(duì)不恒為零。那么原點(diǎn)平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。如果進(jìn)一步還，則系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。此稱漸近穩(wěn)定判據(jù)。1)對(duì)所有z都具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。第16頁(yè)/共29頁(yè)4.3.3對(duì)李雅普諾夫函數(shù)的討論1)是滿足穩(wěn)定性判據(jù)條件的一個(gè)正定的標(biāo)量函數(shù)，且對(duì)x應(yīng)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。2)對(duì)于一個(gè)給定系統(tǒng)，如果是可找到的，那么通常是非唯一的，但這并不影響結(jié)論的一致性。3)的最簡(jiǎn)單形式是二次型函數(shù)：4)如果為二次型，且可表示為：③若為正定，那么平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。此稱不穩(wěn)定判據(jù)。第17頁(yè)/共29頁(yè)6)由于構(gòu)造函數(shù)需要較多技巧，因此，李雅普諾夫第二法主要用于確定那些使用別的方法無(wú)效或難以判別其穩(wěn)定性的問(wèn)題。例如高階的非線性系統(tǒng)或時(shí)變系統(tǒng)。5)函數(shù)只表示系統(tǒng)在平衡狀態(tài)附近某鄰域內(nèi)局部運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定情況，絲毫不能提供域外運(yùn)動(dòng)的任何信息。（12）第18頁(yè)/共29頁(yè)4.4李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用4.4.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判據(jù)設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)為：

則平衡狀態(tài)為大范圍漸近穩(wěn)定的充要條件是：A的特征根均具有負(fù)實(shí)部。（1）4.4.2線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判據(jù)設(shè)線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程為：（2）第19頁(yè)/共29頁(yè)

則系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處大范圍漸近穩(wěn)定的充要條件為：對(duì)于任意給定的連續(xù)對(duì)稱正定矩陣，必存在一個(gè)連續(xù)對(duì)稱正定矩陣，滿足：而系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)為：（3）（4）證明設(shè)李雅普諾夫函數(shù)取為：式中，為連續(xù)的正定對(duì)稱矩陣。取V（x,t）對(duì)時(shí)間的全導(dǎo)數(shù)，得：第20頁(yè)/共29頁(yè)即（5）式中

由穩(wěn)定性判據(jù)可知，當(dāng)為正定對(duì)稱矩陣時(shí)，若也是一個(gè)正定對(duì)稱矩陣，則是負(fù)定的，于是系統(tǒng)的平衡點(diǎn)便是漸近穩(wěn)定的。

式(3)是黎卡提(Riccati)矩陣微分方程的特殊情況，其解為：第21頁(yè)/共29頁(yè)特別地，當(dāng)取時(shí)，則得：

式中，為系統(tǒng)式(2)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；為矩陣微分方程式(3)的初始條件。（6）（7）

式(7)表明，當(dāng)選取正定矩陣時(shí)，可由函計(jì)算出；再根據(jù)是否具有連續(xù)、對(duì)稱、正定性來(lái)判別線性時(shí)變系統(tǒng)的穩(wěn)定性。4.4.3線性定常離散時(shí)間系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判據(jù)設(shè)線性定常離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：（8）第22頁(yè)/共29頁(yè)4.4.4線性時(shí)變離散系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判據(jù)設(shè)線性時(shí)變離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：（9）

則平衡狀態(tài)為大范圍漸近穩(wěn)定的充要條件是，對(duì)于任意給定的正定實(shí)對(duì)稱矩陣，必存在一個(gè)正定的實(shí)對(duì)稱矩陣，使得：

則平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定的充要條件為：G的特征根均在單位開圓盤內(nèi)。（10）成立。并且（11）是系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)。第23頁(yè)/共29頁(yè)4.5李雅普諾夫方法在非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用

從前面分析可知，線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性具有全局性質(zhì)，而且穩(wěn)定判據(jù)的條件是充分必要的。但是，非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性卻可能只具有局部性質(zhì)。4.5.1雅町比(Jacobian)矩陣法

雅可比矩陣法，亦稱克拉索夫斯基(Krasovski)法，二者表達(dá)形式略有不同，但基本思路是一致的。實(shí)際上，它們都是尋找線性系統(tǒng)李雅普諾夫函數(shù)方法的一種推廣。設(shè)非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：（12）

式中，為維狀態(tài)矢量；為與同維的非線性矢量函數(shù)。第24頁(yè)/共29頁(yè)

假設(shè)原點(diǎn)是平衡狀態(tài)，對(duì)可微，系統(tǒng)的雅可比矩陣為：（13）

則系統(tǒng)在原點(diǎn)漸近穩(wěn)定的充分條件是：任給正定實(shí)對(duì)稱陣P，使下列矩陣第25頁(yè)/共29頁(yè)