第二章線性時不變系統(tǒng)

分析LTI系統(tǒng)時，問題的實質是什么？

1）信號的分解：即以什么樣的信號作為基本信號單元，如何用基本信號單元來表示任意信號；2）如何得到LTI系統(tǒng)對基本單元信號的響應?；拘盘枂卧獞獫M足以下要求是什么？

1）盡可能簡單，并且用它的線性組合能夠表示盡可能廣泛的信號；

2）LTI系統(tǒng)對這種信號的響應易于求的。2.0

引言1現(xiàn)在是1頁\一共有41頁\編輯于星期四則若對LTI系統(tǒng)的分析有哪些方法？時域分析法、頻域分析法和變換域分析法，分別對應時域、頻域、變換域。如果解決了上述幾個問題，任意信號通過線性時不變系統(tǒng)，都可以用下列步驟來解決:2.0

引言2現(xiàn)在是2頁\一共有41頁\編輯于星期四本章主要內容信號的時域分解——用表示任意信號；

系統(tǒng)的時域分析——卷積運算（卷積和、卷積積分）；用微分和差分方程描述的因果LTI系統(tǒng)；LTI系統(tǒng)的框圖結構表示。信號的時域分解——用表示任意信號；

系統(tǒng)的時域分析——卷積運算（卷積和、卷積積分）；用微分和差分方程描述的因果LTI系統(tǒng)；LTI系統(tǒng)的框圖結構表示。第二章主要內容3現(xiàn)在是3頁\一共有41頁\編輯于星期四2.1離散時間LTI系統(tǒng)：卷積和

（Convolutionsum）

對任何離散時間信號，如果每次從其中取出一個點，就可以將整個信號拆開來，每次取出的一個點都可以表示為不同加權、不同位置的單位脈沖。所以任意一個離散時間信號都可看作一串單個脈沖來想象。

例如：2.1離散時間LTI系統(tǒng)：卷積和一、用單位脈沖表示離散時間信號

下圖為用多個單位脈沖表示一個離散時間系統(tǒng)：4現(xiàn)在是4頁\一共有41頁\編輯于星期四2.1離散時間LTI系統(tǒng)：卷積和5現(xiàn)在是5頁\一共有41頁\編輯于星期四設線性時不變系統(tǒng)的單位沖激響應為

，即：二.卷積和（Convolutionsum）2.1離散時間LTI系統(tǒng)：卷積和則由時不變性：由線性系統(tǒng)性質：結論：對時不變系統(tǒng)，若已知單位沖激響應，則：單位脈沖相應已知，則任意輸入的輸出就可求出6現(xiàn)在是6頁\一共有41頁\編輯于星期四上式表明:一個LTI系統(tǒng)可以完全由它的單位脈沖響應來表征，這種求得系統(tǒng)響應的運算關系稱為卷積和（Theconvolutionsum）。2.1離散時間LTI系統(tǒng)：卷積和三.卷積和的計算

1.主要方法：圖解法、列表法、解析法（數(shù)值解析等）

2.運算的步驟（一般情況下，已知）：通常采用圖解和解析法相結合。完成卷積運算，確定被求和函數(shù)、求和上下限，一般分三步完成運算。7現(xiàn)在是7頁\一共有41頁\編輯于星期四例1

已知，求LTI系統(tǒng)對輸入信號的響應。2.1離散時間LTI系統(tǒng)：卷積和1).由，k軸上其非零取值區(qū)間是固定的；2).3).將從左到右移動，分步確定隨著n的變化，被求和函數(shù)的非零區(qū)間，確定求和上下限的k值。注意：此時的n可以看成一個常數(shù)8現(xiàn)在是8頁\一共有41頁\編輯于星期四解：采用圖解法

通過圖形確定反轉移位信號非零區(qū)間，對于確定卷積和計算的區(qū)段及各區(qū)段求和的上下限是很有用的(見P65例2.5)，

這種方法一般分5個求和區(qū)間進行計算。2.1離散時間LTI系統(tǒng)：卷積和...9現(xiàn)在是9頁\一共有41頁\編輯于星期四例2采用列表法z觀察卷積和運算式子過程，可以發(fā)現(xiàn)：與所有的各點都要遍乘一次；

在遍乘后，各點相加時，根據(jù)，參與相加的各點都具有與的變量之和為的特點。

2.1離散時間LTI系統(tǒng)：卷積和優(yōu)點：計算非常簡單。缺點：①只適用于兩個有限長序列的卷積和；②一般情況下，無法寫出的封閉表達式。10現(xiàn)在是10頁\一共有41頁\編輯于星期四0t單位距形脈沖定義0t一.用(t)

表示連續(xù)時間信號x(t)§2.2連續(xù)時間LTI系統(tǒng)：卷積積分2.2連續(xù)時間LTI系統(tǒng)：卷積積分11現(xiàn)在是11頁\一共有41頁\編輯于星期四第個矩形可表示為：這些矩形迭加起來就成為階梯形信號，即：將x(t)用一系列的矩形脈沖近似。2.2連續(xù)時間LTI系統(tǒng)：卷積積分12現(xiàn)在是12頁\一共有41頁\編輯于星期四當時，，，，，于是：表明：任何連續(xù)時間信號都可以被分解為無數(shù)多個移位加權的單位沖激信號的線性組合。2.2連續(xù)時間LTI系統(tǒng)：卷積積分13現(xiàn)在是13頁\一共有41頁\編輯于星期四上式表明：LTI系統(tǒng)可以完全由它的單位脈沖響應來表征。這種求得系統(tǒng)響應的運算關系稱為卷積積分（Theconvolutionintegral）。對于LTI系統(tǒng)的時不變性，若二.卷積積分（Theconvolutionintegral）即，若根據(jù)線性性質：則2.2連續(xù)時間LTI系統(tǒng)：卷積積分定義卷積積分：14現(xiàn)在是14頁\一共有41頁\編輯于星期四卷積積分的計算

卷積積分與卷積和類似，求解的方法有圖解法、解析法和數(shù)值解法。運算步驟如下：2.2連續(xù)時間LTI系統(tǒng)：卷積積分1).由，k軸上其非零取值區(qū)間是固定的；2).由3).將從左到右移動，隨著t的變化，分步確定積分的上下限。

注意：t看成常數(shù)，求的上下限。，非零區(qū)間隨t而變化；15現(xiàn)在是15頁\一共有41頁\編輯于星期四例1:

解:

2.2連續(xù)時間LTI系統(tǒng)：卷積積分16現(xiàn)在是16頁\一共有41頁\編輯于星期四例

2:已知解:2.2連續(xù)時間LTI系統(tǒng)：卷積積分，求（1）（2）（3）t取不同值時，將從左到右移動，根據(jù)不同的非零重疊區(qū)域，確定每種情況的積分上下限。，分以下幾步求解：17現(xiàn)在是17頁\一共有41頁\編輯于星期四①當時，②當時，③當時，④當時，⑤當時，2.2連續(xù)時間LTI系統(tǒng)：卷積積分18現(xiàn)在是18頁\一共有41頁\編輯于星期四§2.3線性時不變系統(tǒng)的性質一、卷積積分與卷積和的性質設k’＝n－k則k＝n－k’同理2.3線性時不變系統(tǒng)的性質1.交換律19現(xiàn)在是19頁\一共有41頁\編輯于星期四可以看出，單位沖激響應是，輸入信號是，或者單位沖激響應是，輸入信號是，它們最后的響應相同。根據(jù)交換律2.3線性時不變系統(tǒng)的性質20現(xiàn)在是20頁\一共有41頁\編輯于星期四2.分配律根據(jù)分配律可得：

兩個LTI系統(tǒng)并聯(lián)，其總的單位脈沖響應等于各子系統(tǒng)單位脈沖響應之和。2.3線性時不變系統(tǒng)的性質21現(xiàn)在是21頁\一共有41頁\編輯于星期四3.結合律根據(jù)結合律可得：兩個LTI系統(tǒng)級聯(lián)時，系統(tǒng)總的單位沖激脈沖響應等于各子系統(tǒng)單位沖激脈沖響應的卷積。2.3線性時不變系統(tǒng)的性質22現(xiàn)在是22頁\一共有41頁\編輯于星期四

由于卷積滿足交換律，因此，系統(tǒng)級聯(lián)的先后次序可以調換。具體的推導過程看課本P78頁。注意：①上述結論都是針對LTI而言的；②卷積運算必須收斂。2.3線性時不變系統(tǒng)的性質結論：LTI系統(tǒng)總響應與系統(tǒng)級聯(lián)的次序無關。23現(xiàn)在是23頁\一共有41頁\編輯于星期四如果交換級聯(lián)順序，那么由于輸入信號與h2單元的卷積不收斂，因而實際中這樣的系統(tǒng)是不存在的。例①

對于由兩個單元級聯(lián)構成的非線性系統(tǒng)如下：系統(tǒng)總的響應發(fā)生了變化，所以級聯(lián)的無序性只適用于線性系統(tǒng)，同時也要求時不變性（書題2.51）。平方乘2乘2平方例②

對于的LTI系統(tǒng)，當時，交換兩個級聯(lián)單元的順序后2.3線性時不變系統(tǒng)的性質24現(xiàn)在是24頁\一共有41頁\編輯于星期四

③時移特性。4.卷積的其他性質

若則，卷積積分滿足下列特性：①微分特性；②積分特性；

③時移特性。②和特性；

若

，則卷積和滿足下列特性：①差分特性；

2.3線性時不變系統(tǒng)的性質25現(xiàn)在是25頁\一共有41頁\編輯于星期四信號平移:單位沖激響應等于(t)的系統(tǒng)是恒等系統(tǒng):2.3線性時不變系統(tǒng)的性質26現(xiàn)在是26頁\一共有41頁\編輯于星期四5.卷積性質的應用舉例

解：這里利用卷積的積分微分性質。例如前面例題中的積分，已知

求:

2.3線性時不變系統(tǒng)的性質27現(xiàn)在是27頁\一共有41頁\編輯于星期四此時無記憶系統(tǒng)：在時刻，都只能和時刻的輸入有關。二、LTI系統(tǒng)的性質LTI系統(tǒng)具有記憶、可逆、因果、穩(wěn)定性時，單位沖激響應的特點。2.3線性時不變系統(tǒng)的性質1.記憶性可知，無記憶系統(tǒng)的單位脈沖響應為:00結論：如果LTI系統(tǒng)的單位沖激響應不是沖激函數(shù)，則系統(tǒng)是記憶的。當K=1時，系統(tǒng)是恒等系統(tǒng)。由28現(xiàn)在是28頁\一共有41頁\編輯于星期四例如①延時器是可逆的LTI系統(tǒng)，其，其逆系統(tǒng)是

2.可逆性

如果LTI系統(tǒng)是可逆的，一定存在一個逆系統(tǒng)，且該逆系統(tǒng)也是LTI系統(tǒng)，它們級聯(lián)起來構成一個恒等系統(tǒng)。如圖：因而有

③另：差分器不是可逆系統(tǒng)。

顯然有：②累加器是可逆LTI系統(tǒng)，其，逆系統(tǒng)顯然有：2.3線性時不變系統(tǒng)的性質29現(xiàn)在是29頁\一共有41頁\編輯于星期四對連續(xù)時間LTI系統(tǒng)，是LTI系統(tǒng)具有因果性的充要條件。3.因果性

當LTI系統(tǒng)是因果系統(tǒng)時，在任何時刻，都只能取決于時刻及其以前的輸入，即和式中所有的項都必須為零，由離散LTI系統(tǒng)具有因果性的充要條件0可知2.3線性時不變系統(tǒng)的性質30現(xiàn)在是30頁\一共有41頁\編輯于星期四4.穩(wěn)定性

根據(jù)穩(wěn)定性的定義，若系統(tǒng)穩(wěn)定，則必有界。可知離散時間LTI系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：同理連續(xù)時間LTI系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：若有界，設2.3線性時不變系統(tǒng)的性質31現(xiàn)在是31頁\一共有41頁\編輯于星期四在工程實際中，也常用單位階躍響應來描述LTI系統(tǒng)，單位階躍響應就是系統(tǒng)對或所產生的響應。LTI系統(tǒng)的特性也可以用它的單位階躍響應來描述。5.LTI系統(tǒng)的單位階躍響應由則對離散系統(tǒng)2.3線性時不變系統(tǒng)的性質32現(xiàn)在是32頁\一共有41頁\編輯于星期四求解該微分方程，通常是求出一個特解

和通解，則§2.4用微分和差分方程描述的因果LTI系統(tǒng)(ThecausalLTISystemsdescribedbydifferentialanddifferenceequation)其中均為常數(shù)其中，①特解是與輸入同類型的函數(shù)，

②通解是齊次方程的解的解。一線性常系數(shù)微分方程

（Linearconstant-coefficient

differentialequation）特解所對應的這一部分響應稱為受迫響應或強迫響應。齊次解所對應的部分由于與輸入信號無關，也稱為系統(tǒng)的自然響應。33現(xiàn)在是33頁\一共有41頁\編輯于星期四例2.14

已知LTI系統(tǒng)，求當輸入為時，系統(tǒng)的響應P85解：①設特解代入系統(tǒng)方程得：②設通解代入系統(tǒng)對應齊次方程得：系數(shù)B待定34現(xiàn)在是34頁\一共有41頁\編輯于星期四分析：當微分方程描述系統(tǒng)是線性時不變系統(tǒng)，而線性系統(tǒng)必須滿足：零輸入——零輸出。觀察輸入，可知，輸入是在時刻加入的，所以t＝0時的輸出2.4用微分和差分方程描述的因果LTI系統(tǒng)結論：1.通解可用特征根方法求解；2.

在信號加入時刻，給出的零附加條件，稱為零初始條件；3LCCDE具有一組全部為零的初始條件，可以描述一個LTI因果系統(tǒng)，這組條件是：稱該系統(tǒng)初始是靜止的或最初是松弛的。4.如果LCCDE具有一組非零的初始條件，則可以證明它所描述的系統(tǒng)是增量線性的。35現(xiàn)在是35頁\一共有41頁\編輯于星期四一般的線性常系數(shù)差分方程（LCCDE）可表示為：

它也可以通過求出一個特解和一個通解(即齊次解)來求解。要確定齊次解需要一組附加條件；特解都是與輸入信號具有相同函數(shù)形式的。二線性常系數(shù)差分方程（LCCDE）:(Linearconstant-coefficientdifferenceequation)2.4用微分和差分方程描述的因果LTI系統(tǒng)

增量線性系統(tǒng)響應的討論：分為零狀態(tài)響應和零輸入響應。零輸入響應由于與輸入信號無關，因此它屬于自然響應；零狀態(tài)響應既與輸入信號有關，也與系統(tǒng)特性有關，因而它包含了受迫響應，也包含有一部分自然響應。36現(xiàn)在是36頁\一共有41頁\編輯于星期四線性常系數(shù)差分方程還可以采用迭代的方法求解，將方程改寫為：2.4用微分和差分方程描述的因果LTI系統(tǒng)可以看出，要求出，不僅要知道所有的，還要知道

,這就是一組初始條件。進而，又可以通過和求得，依次類推可求出。②①則可由求得，進而由它們依次推出時的所有解。由于上述差分方程可以通過遞推求解，因而稱為遞歸方程（recursiveequation）.37現(xiàn)在是37頁\一共有41頁\編輯于星期四當時，差分方程變?yōu)椋捍藭r,求解方程不再需要迭代運算，因而稱為非遞歸