數(shù)列問題 2 等比數(shù)列的基本性質(zhì)

數(shù)列講義等比數(shù)列的基本性質(zhì)6-問題5.2等比數(shù)列一、等比數(shù)列的定義和證明方法：1、等比數(shù)列的定義：在數(shù)列{an}中，若對于任意兩項an，an-1（n≥2，n∈N*）都有（q≠0），則數(shù)列{an}為等比數(shù)列.2、等比數(shù)列的證明方法：（1）定義法：在數(shù)列{an}中，若對于任意兩項an，an-1（n≥2，n∈N*）都有（q≠0），則數(shù)列{an}為等比數(shù)列.（2）等比中項法：在數(shù)列在數(shù)列{an}中，若存在任意三項有：，則數(shù)列{an}為等比數(shù)列；（3）通項公式法：若數(shù)列{an}滿足an=a1·qn-1，則數(shù)列{an}為等比數(shù)列.3、等比數(shù)列的通項公式：（1）等比數(shù)列的通項公式為an=a1·qn-1，其變形形式為an=am·qn-m；公比q=，或者.當(dāng)a1>0，且q>1時，數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，0<q＜1時，數(shù)列為遞減數(shù)列，q=1時，數(shù)列為常數(shù)列；當(dāng)a1<0，且q>1時，數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，0<q<1時，數(shù)列為遞增數(shù)列；當(dāng)q=-1時，數(shù)列{an}為符號正負(fù)交替的擺動數(shù)列.【例題1】【寧波市2015屆高三上學(xué)期期末考試，文10】若正項等比數(shù)列滿足，，則公比，．【變式訓(xùn)練】【浙江省2015屆高三第一次五校聯(lián)考，文16】設(shè)，，關(guān)于的方程的四個實根構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列，若，則的取值范圍是．【變式訓(xùn)練】【2014學(xué)年度第一學(xué)期五校聯(lián)考高三數(shù)學(xué)期中試卷理10】在中，分別為的對邊，若、、依次成等比數(shù)列，則角B的取值范圍是（）A．B．C．D．二、等比數(shù)列的通項公式的性質(zhì)：1、若實數(shù)m,n,p,q滿足：m+n=p+q，則：；特別的，若m+n=2p，則：；2、若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則下標(biāo)成等差數(shù)列的新數(shù)列仍然成等比數(shù)列；3、若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，則數(shù)列{panqbn}還是等比數(shù)列；三、等比數(shù)列的求和公式：（一）等比數(shù)列{an}的前n項和的推導(dǎo)方法——錯位相減法：這種方法適用于一個數(shù)列為等差數(shù)列乘以等比數(shù)列的情況.，也可以寫作：【例題2】【浙江省2015屆高三第一次五校聯(lián)考，文9】設(shè)是定義在上的恒不為零的函數(shù)，對任意實數(shù)，，都有，若，，則數(shù)列的前項和的取值范圍是（）A.B.C.D.【變式訓(xùn)練】【浙大附中2015年高考全真模擬試卷理9】已知等比數(shù)列的公比為，前項和為，若成等差數(shù)列，且，則，，.【例題3】【2015屆吉林省東北師大附中高三上學(xué)期第三次摸底考試18】已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列，且，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）令，不等式的解集為，求所有的和.【變式訓(xùn)練】【2015屆廣東省惠州一中（惠州市）高三第三次調(diào)研考試（201501）】已知數(shù)列的前項和，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，是否存在，使得、、成等比數(shù)列．若存在，求出所有符合條件的值；若不存在，請說明理由．（二）求和公式的若干性質(zhì)：在等比數(shù)列{an}中，Sn表示數(shù)列{an}的前n項和，（1）Sm+n=Sn+qnSm；（2）若Sk，S2k–Sk，，均不為0，則，成等比數(shù)列；（3）奇偶項問題：若等比數(shù)列{an}共有2n項，則：，若等比數(shù)列{an}共有2n+1項，則：【例題4】【湖州市2015屆高三第三次教學(xué)質(zhì)量調(diào)測，文4】等比數(shù)列的前項和為,已知,且,則實數(shù)的值為A．B．C．D．【變式訓(xùn)練】【2015年金麗衢十二校第二次聯(lián)考，18】已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且.在數(shù)列中，，．（Ⅰ）求，；（Ⅱ）設(shè)求數(shù)列的前項和.【變式訓(xùn)練】【浙江六校2015屆高三3月聯(lián)考，19】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sn．（I）求證{an+1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；（II）證明：【例題5】【2015屆山東省萊蕪市萊蕪一中高三1月自主考試，17】已知數(shù)列中，為其前項和，且對任意，都有.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.【變式訓(xùn)練】【2015屆四川省綿陽市高三二診，17】已知等比數(shù)列的前n項和為（1）求的值，并求出數(shù)列的通項公式；（2）將函數(shù)向左平移個單位得到的圖像，求在上的最大值.【課時作業(yè)】1、【2015屆河南省鄭州市高三第一次質(zhì)量預(yù)測，13】已知等比數(shù)列，前項和為，，則2、【2015屆山東省泰安市高三上學(xué)期期末考試，3】正項等比數(shù)列的公比為2，若，則的值是A.8 B.16C.32 3、【2015屆河南省鄭州市高三第一次質(zhì)量預(yù)測（文），13】已知數(shù)列是等比數(shù)列，若，則4、【2015屆吉林省東北師大附中高三上學(xué)期第三次摸底考試，5】在等比數(shù)列中，若，則數(shù)列的前8項和等于A.B.C. D.5、【變式訓(xùn)練】【2015高考福建，文16】若是函數(shù)的兩個不同的零點，且這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則的值等于________．6、【2015年學(xué)科網(wǎng)第二次全國大聯(lián)考浙江卷，19】已知函數(shù)的圖象過點，且點在函數(shù)的圖象上．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）令，若數(shù)列的前項和為，求證：.7、【2015屆山西省山大附中高三12月月考，18