向量理論第三章

向量理論第三章第1頁，共54頁，2023年，2月20日，星期五定義1分量全為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量.分量全為實數(shù)的向量稱為實向量，一維向量的概念第2頁，共54頁，2023年，2月20日，星期五例如n維實向量n維復(fù)向量第1個分量第n個分量第2個分量第3頁，共54頁，2023年，2月20日，星期五注意

3．行向量和列向量總被看作是兩個不同的向量；

２．向量和矩陣之間的關(guān)系

當(dāng)沒有明確說明是行向量還是列向量時，都當(dāng)作列向量.

1．向量的分量之間是有先后順序的。第4頁，共54頁，2023年，2月20日，星期五令

表示一切n維實向量組成的集合。若是n維實向量，則可簡記,如果沒有特別的說明，我們指的都是實向量。第5頁，共54頁，2023年，2月20日，星期五

若干個同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合叫做向量組．例如一些特殊的向量：第6頁，共54頁，2023年，2月20日，星期五向量組,,…，稱為矩陣A的行向量組．第7頁，共54頁，2023年，2月20日，星期五n維0向量：注：維數(shù)不同的零向量是不同的向量n階單位矩陣的n個列向量分別記為：稱為n維基本向量第8頁，共54頁，2023年，2月20日，星期五二n維向量的線性運算定義1第9頁，共54頁，2023年，2月20日，星期五注：設(shè)n維向量的對應(yīng)分量相等，即稱這兩個量是相等的，即注：1與要么都是行向量，要么都是列向量。

2與的維數(shù)應(yīng)相同。第10頁，共54頁，2023年，2月20日，星期五第11頁，共54頁，2023年，2月20日，星期五例1(1)求，的負(fù)向量(2)計算第12頁，共54頁，2023年，2月20日，星期五

１線性組合定義１:三向量組的線性相關(guān)性第13頁，共54頁，2023年，2月20日，星期五

對于給定的向量組A:1,2,

…,m

和向量b,如果存在一組數(shù)

k1,k2,…,km使關(guān)系式則稱向量b是向量組1,2,

…,m的線性組合,或稱向量b可以由向量組1,2,

…,m線性表示.第14頁，共54頁，2023年，2月20日，星期五比如說：為n維基本向量結(jié)論：任何n維向量都是n維基本向量的線性組合第15頁，共54頁，2023年，2月20日，星期五設(shè)有向量稱b是的線性組合.或b可以由線性表示.例如：第16頁，共54頁，2023年，2月20日，星期五第17頁，共54頁，2023年，2月20日，星期五２向量組的線性相關(guān)性定義２對于向量組A:1,2,…,m,成立,則稱向量組1,2,…,m線性相關(guān).如果存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,…,km使關(guān)系式反之則稱向量組1,2,…,m線性無關(guān).第18頁，共54頁，2023年，2月20日，星期五成立,即只有當(dāng)

k1=k2=

…=km=0時,才有成立,則稱向量組1,2,…,m線性無關(guān).如果沒有不全為零的k1,k2,…,km,使第19頁，共54頁，2023年，2月20日，星期五例1：設(shè)有向量則稱向量組線性相關(guān)例2：則由，得線性無關(guān)。注：n維基本向量線性無關(guān)第20頁，共54頁，2023年，2月20日，星期五向量組中的一個部分組線性相關(guān)，則向量組線性相關(guān)，若一個向量組線性無關(guān)，則其中任何一個部分組線性無關(guān)第21頁，共54頁，2023年，2月20日，星期五第22頁，共54頁，2023年，2月20日，星期五討論x1,x2,…,xm的情況.

如果解得x1,x2,…,xm不全為零,則1,2,…,m線性相關(guān);

如果推出x1=x2=

…=xm=0,則1,2,…,m線性無關(guān).第23頁，共54頁，2023年，2月20日，星期五

例3

討論的線性相關(guān)性e1=(1,0,…,0)Ten=(0,0,…,1)Te2=(0,1,…,0)T第24頁，共54頁，2023年，2月20日，星期五

向量組線性相關(guān)的充分必要條件為：其中至少有一個向量是其余向量的線性組合（可作為線性相關(guān)性的判定）

定理1３線性相關(guān)與線性組合之間的關(guān)系第25頁，共54頁，2023年，2月20日，星期五

向量組線性相關(guān),但線性無關(guān)，則向量可由向量組唯一地線性表示。定理2第26頁，共54頁，2023年，2月20日，星期五例4：討論向量組，的線性相關(guān)性。解：設(shè)有實數(shù)使即系數(shù)行列式故方程組有非零解。如取有，所以線性相關(guān)。第27頁，共54頁，2023年，2月20日，星期五例5：設(shè)向量組線性無關(guān)，試證向量組也線性無關(guān)。證明：設(shè)即因為線性無關(guān)系數(shù)行列式為2，故方程組只有零解，故得證第28頁，共54頁，2023年，2月20日，星期五例6

設(shè)有向量組為

取何值時，該向量組線性相關(guān)。第29頁，共54頁，2023年，2月20日，星期五第三節(jié)向量組的秩問:其中線性無關(guān)的部分組最多可以包含多少個向量?第30頁，共54頁，2023年，2月20日，星期五定義1

若向量組中的每一個向量都可以由向量組線性表示,則稱向量組可由向量組線性表示，若向量組和可以互相線性表示，則稱兩個向量組等價一、等價的向量組第31頁，共54頁，2023年，2月20日，星期五向量組可由線性表示第32頁，共54頁，2023年，2月20日，星期五向量組可由線性表示等價于存在的矩陣使若向量組和等價第33頁，共54頁，2023年，2月20日，星期五等價向量組的性質(zhì)：1：自反性：一個向量組與其自身等價2：對稱性：若向量組和等價，則向量組和等價。3：傳遞性：若向量組和等價，向量組和等價，則向量組和等價。第34頁，共54頁，2023年，2月20日，星期五定理1設(shè)中的兩個向量組和若向量組可由線性表示，且，則向量組線性相關(guān)少的表示多的，多的一定線性相關(guān)注：，不能相等，時，結(jié)論不一定成立第35頁，共54頁，2023年，2月20日，星期五定理1的逆否命題：推論1：若向量組可由向量組

線性表示，又已知

線性無關(guān)，則必有推論2：兩個線性無關(guān)的向量組互相等價，則它們所含的向量個數(shù)相等注：若只是等價的向量組，它們所含的向量個數(shù)未必相等第36頁，共54頁，2023年，2月20日，星期五極大線性無關(guān)組等價定義二極大線性無關(guān)組第37頁，共54頁，2023年，2月20日，星期五1.一個向量組的極大線性無關(guān)組可能不唯一2.

向量組和其極大線性無關(guān)組等價(一個向量組的任何兩個極大線性無關(guān)組都等價)3.

一個向量組的極大線性無關(guān)組所含的向量個數(shù)唯一確定。注:第38頁，共54頁，2023年，2月20日，星期五定義3

一個向量組的極大線性無關(guān)組所含的向量個數(shù)稱為向量組的秩。線性無關(guān)的向量組的秩等于向量組的向量的個數(shù)第39頁，共54頁，2023年，2月20日，星期五例1：設(shè)n維基本向量組可由向量組

線性表示。證明線性無關(guān)第40頁，共54頁，2023年，2月20日，星期五三向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系定理2矩陣A的行初等變換不改變A的列向量組的線性相關(guān)性和線性組合關(guān)系第41頁，共54頁，2023年，2月20日，星期五例2:第42頁，共54頁，2023年，2月20日，星期五第43頁，共54頁，2023年，2月20日，星期五等于它的行向量組的秩.

定理3

矩陣的秩等于它的列向量組的秩,也求向量組的最大無關(guān)組的步驟:第44頁，共54頁，2023年，2月20日，星期五例3：設(shè)有向量組(1)求向量組的秩，并討論它的線性相關(guān)性。(2)求向量組的一個極大線性無關(guān)組。(3)把其余向量表示成為該極大線性無關(guān)組的線性組合第45頁，共54頁，2023年，2月20日，星期五解：取(1)向量組即為A的列向量R(A)=2,所以向量組的秩為2。(2)為向量組的一個極大線性無關(guān)組(3)第46頁，共54頁，2023年，2月20日，星期五推論：設(shè)A為矩陣，秩，則有:(1)當(dāng)r=m時，A的行向量組線性無關(guān);當(dāng)r<m時，

A的行向量組線性相關(guān)(2)當(dāng)r=n時，A的列向量組線性無關(guān);當(dāng)r<n時，

A的列向量組線性相關(guān)。

當(dāng)A為n階方陣時，即當(dāng)m=n時，A的列(行)向量組線性無關(guān)的充要條件是由矩陣的秩和它的向量組的秩的關(guān)系，我們立刻會發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象：第47頁，共54頁，2023年，2月20日，星期五第四節(jié)向量空間一、向量空間的定義定義1

設(shè)V

為n

維向量的集合,如果集合V非空,且那么就稱集合V

為向量空間.則a+bV;若a

V,R,則aV.若a

V,bV,第48頁，共54頁，2023年，2月20日，星期五

例１集合V={x=(0,x2,...,xn)T|x2,...,xn

R}是一個向量空間.例２集合V={x=(1,x2,...,xn)T|x2,...,xn

R}不是向量空間.第49頁，共54頁，2023年，2月20日，星期五一般地，L={x=a+b|,R}x1=1a+1b,x2=2a+2b則有x1+x2=(1+1)a+(1+2)bL,kx1=(k1)a+(k1)bL.這個向量空間稱為由向量a,b

所生成的向量空間.是一個向量空間.因為若第50頁，共54頁，2023年，2月20日，星期五由向量組a1,a2,...,am

所生成的向量空間一般形式為L={x=1a1+2a2+...+mam

|1,

2,...,

mR}.例3

設(shè)向量組a1,...,am與向量組b1,...,bs等價,記L1={x=1a1+2a2+...+mam

|1,...,

mR},L2={x=1b1+2b2+...+sbs

|1,...,

sR},試證L1=L2.第51頁，共54頁，2023年，2月20日，星期五二、向量空間的基向量空間的維數(shù)定義2

設(shè)有向量空間V1

及V2,若V1V2,

總有

VRn,所以這樣的向量空間總是Rn

的子空間.

例如任