2020年高中數(shù)學(xué)課時(shí)跟蹤檢測(cè)含解析(全一冊(cè))新人教A版

2020年高中數(shù)學(xué)

課時(shí)跟蹤檢測(cè)含解析

新人教A版

課時(shí)跟蹤檢測(cè)一變化率問題導(dǎo)數(shù)的概念

課時(shí)跟蹤檢測(cè)二導(dǎo)數(shù)的幾何意義

課時(shí)跟蹤檢測(cè)三幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

課時(shí)跟蹤檢測(cè)四復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)及應(yīng)用

課時(shí)跟蹤檢測(cè)五函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)

課時(shí)跟蹤檢測(cè)六函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)

課時(shí)跟蹤檢測(cè)七函數(shù)的最大小值與導(dǎo)數(shù)

課時(shí)跟蹤檢測(cè)八生活中的優(yōu)化問題舉例

課時(shí)跟蹤檢測(cè)九定積分的概念

課時(shí)跟蹤檢測(cè)十微積分基本定理

課時(shí)跟蹤檢測(cè)十一定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用

課時(shí)跟蹤檢測(cè)十二合情推理

課時(shí)跟蹤檢測(cè)十三演繹推理

課時(shí)跟蹤檢測(cè)十四綜合法和分析法

課時(shí)跟蹤檢測(cè)十五反證法

課時(shí)跟蹤檢測(cè)十六數(shù)學(xué)歸納法

課時(shí)跟蹤檢測(cè)十七數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念

課時(shí)跟蹤檢測(cè)十八復(fù)數(shù)的幾何意義

課時(shí)跟蹤檢測(cè)十九復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算及其幾何意義

課時(shí)跟蹤檢測(cè)二十復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算

課時(shí)跟蹤檢測(cè)(一)變化率問題、導(dǎo)數(shù)的概念

一、題組對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練

對(duì)點(diǎn)練一函數(shù)的平均變化率

1.如果函數(shù)/=@田+6在區(qū)間［1,2］上的平均變化率為3,則a=()

A.—3B.2C.3D.—2

解析：選C根據(jù)平均變化率的定義，可知?=(2a+?―(a+2=4=3.

△x2—1

2.若函數(shù)/'(x)=-f+10的圖象上一點(diǎn)仔，斗］及鄰近一點(diǎn)仔+Ax,牛+△,,則仁

)

A.3B.—3

C.-3—(△X)2D.一△x-3

解析：選D(A",

.△y—3AA4

，工==一3—Ax.

3.求函數(shù)尸F(xiàn)(x)=；在區(qū)間[1,1+Ax]內(nèi)的平均變化率.

解：VAy=A1+Ax)-Al)=--1

q;i+△x

l-dl+Ax1—(1+Ax)

[1+Ax(11+△xy\jl+△x

——△x

一(1+W+Ax)yJl+Ax'

.?y________]_「

??△丁(1+71+AxRl+Ax'

對(duì)點(diǎn)練二求瞬時(shí)速度

4.某物體的運(yùn)動(dòng)路程s(單位:m)與時(shí)間t(單位：s)的關(guān)系可用函數(shù)s(t)=N—2表示,

則此物體在f=lS時(shí)的瞬時(shí)速度(單位：《1人)為()

A.1B.3C.—1D.0

答案：B

5.求第4題中的物體在而時(shí)的瞬時(shí)速度.

解：物體在?時(shí)的平均速度為]=1>+[?―尻咐

(一+A。3—2—(4一2)39At+3奴△。2+(、H

△t~△t

=34+3toAt+(At)

因?yàn)?原故此物體在友時(shí)的瞬時(shí)速度為

Alifm-0[3t?+3toAt+(A￡2]=3f=34m/s.

6.若第4題中的物體在友時(shí)刻的瞬時(shí)速度為27m/s,求的值.

M一網(wǎng)友+At)-(6)+A一2一(4—2)

解：由“=------y------=-------七--------

3△f+3to(△1)“+(△f)3c21cA、/、、2

=---------------7—^_-_乙=34+310△f+(At)\

△t

因?yàn)椤鳌?

lAifm-0[3io4-3tof+(Z']=34.

所以由34=27,解得to=±3,

因?yàn)閠o>O,故fo—3>

所以物體在3s時(shí)的瞬時(shí)速度為27m/s.

對(duì)點(diǎn)練三利用定義求函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)

7.設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo)，則眄“1+黑力―/⑴等于()

ALQ3Ax

A.f(1)B.3〃(1)

c.(i)i).f(3)

J

例希啡Ai.染+3")-?1)

解析：選Alim--------五二』(D.

8.設(shè)函數(shù)f(x)=ax+3,若F(1)=3,則a等于()

A.2B.—2C.3D.—3

解析：選C-：f⑴=1坷“l(fā)+；x)-.l)

ALO△x

&1+△x)+3—(d+3)

=lim,==a,??a=3.

Ax-0bx

9.求函數(shù)f(x)在x=l處的導(dǎo)數(shù)/(1).

解：由導(dǎo)數(shù)的定義知，函數(shù)在X=1處的導(dǎo)數(shù)F(l)=lim""二一"而

41+4才)一/(1)1又題目不4,所以產(chǎn)⑴高

、x.Xx-，1+Ax+1

二、綜合過關(guān)訓(xùn)練

1.若『⑸在戶施處存在導(dǎo)數(shù)'則四）

A.與施，/;都有關(guān)B.僅與選有關(guān)，而與人無關(guān)

C.僅與力有關(guān)，而與加無關(guān)D.以上答案都不對(duì)

解析：選B由導(dǎo)數(shù)的定義知，函數(shù)在x=刖處的導(dǎo)數(shù)只與加有關(guān).

2.函數(shù)y=/在施到施+Ax之間的平均變化率為k\,在劉一Ax到劉之間的平均變化

率為左，則尢與人的大小關(guān)系為（）

A.kiyk2B.&＜攵2

C.k尸k2D.不確定

而々*K,*n:?Xo+Ax)-?x。)(Xo+Axf—-

國(guó)牟析：選Dki-----------------------------—2施+△笛

△x△x

f{Xo\—f{XQ~△x)/一(xo-Ax\

K2=------7--------=-----7------=2照一△

bx△

因?yàn)锳x可正也可負(fù)，所以人與兒的大小關(guān)系不確定.

3.46兩機(jī)關(guān)開展節(jié)能活動(dòng)，活動(dòng)開始后兩機(jī)關(guān)的用電量用（力，wtw、

似》與時(shí)間寅天）的關(guān)系如圖所示，則一定有（）

A.兩機(jī)關(guān)節(jié)能效果一樣好

B.4機(jī)關(guān)比6機(jī)關(guān)節(jié)能效果好F｛建

C.4機(jī)關(guān)的用電量在［0,如上的平均變化率比8機(jī)關(guān)的用電量在［0,端上的平均變化

率大

D.1機(jī)關(guān)與8機(jī)關(guān)自節(jié)能以來用電量總是一樣大

解析：選B由題圖可知，/機(jī)關(guān)所對(duì)應(yīng)的圖象比較陡峭，8機(jī)關(guān)所對(duì)應(yīng)的圖象比較平

緩，且用電量在［0,加上的平均變化率都小于0,故一定有/機(jī)關(guān)比6機(jī)關(guān)節(jié)能效果好.

4.一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為s=l—其中$的單位是：m,t的單位是：s,那么物

體在3s末的瞬時(shí)速度是（）

A.7m/sB.6m/s

C.5m/sD.8m/s

解析：選C../」r3+Af)+”"rL3+3”5+A

As

/.lim(5+At)=5(m/s).

ALOAZALO

5.如圖是函數(shù)y=f(x)的圖象，則

(1)函數(shù)/"(x)在區(qū)間［-1,1］上的平均變化率為一

(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,2］上的平均變化率為.

解析：(1)函數(shù)F(x)在區(qū)間［-1,1］上的平均變化率為

1-(—二1)ZZ

fx+3_1

~~~,一IWxWl,

(2)由函數(shù)/Xx)的圖象知，f(x)=J2

、x+l,l〈xW3.

所以，函數(shù)Ax)在區(qū)間［0,2］上的平均變化率為“2廠10)=二=1

Z—0z4

13

答案：(1)2⑵；

6.函數(shù)y=一十在點(diǎn)x=4處的導(dǎo)數(shù)是.

解析：.??△/=一亞廿十東

11，4+Ax-2

2.4+Ax2寸4+△x

___________Ax_________

-2.4+A74+△x+2)'

.Ay廣_I_

'"△尸274+A//4+4x+2),

.,..i

IAxI2y4+AXV4+Ax+2)

_________1__________1_

-2X^4X(^4+2)-16'

“I」

??y*4-jg.

答案：

16

7.一做直線運(yùn)動(dòng)的物體，其位移s與時(shí)間t的關(guān)系是s=3￡一次位移：叱時(shí)間：s).

(1)求此物體的初速度；

(2)求此物體在t=2時(shí)的瞬時(shí)速度;

(3)求力=0到t=2時(shí)平均速度.

解：⑴初速度的=!匹"A?L°)=!再"=!囪(3一△a=3(m/s).

即物體的初速度為3m/s.

￡2+△t)—s(2)

⑵片1期

3(2+△￡)—(2+△方—(3><2—4)

一(△廣At

lim(―At—1)=—1(m/s).

Ar—0

即此物體在/=2時(shí)的瞬時(shí)速度為1m/s,方向與初速度相反.

s(2)-s(0)6-4-0

—1(m/s).

即t=0至IJt=2時(shí)的平均速度為1m/s.

8.若函數(shù)f(x)=-d+x在［2,2+Ax］(Ax>0)上的平均變化率不大于-1,求△了的

范圍.

解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在［2,2+Ax］上的平均變化率為:

Ay/(2+Ax)—?2)

一(2+A冷2+(2+△X)—(-4+2)

—4Ax-\-Ax—(Ax)1

=-=—3—Ax,

Ax

所以由一3一AxW-l,

得△x2一2.

又因?yàn)锳x>0,

即的取值范圍是(0,+8).

課時(shí)跟蹤檢測(cè)（二）導(dǎo)數(shù)的幾何意義

一、題組對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練

對(duì)點(diǎn)練一求曲線的切線方程

1.曲線y=f+ll在點(diǎn)(1,12)處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是()

A.-9B.-3C.9D.15

解析：選C:切線的斜率k=lim/=1im(1+」可+11-12

ALO△XA.r-oAX

,1+3?Ax+3?(A^)2+(AX)3-1

=1出-------------Ax—

=lim[3+3(△x)+(△x)1=3,

Ax—O

.?.切線的方程為y—12=3(x—1).

令x=O得y=12-3=9.

2.求曲線在點(diǎn)g,2)的切線方程.

11

△Vx+&xx—11

解：因?yàn)閥'=lim——=lim---;-----=lim-TT----7=—2,

ALO△X&LO△X&，L(}x+x?△xX

所以曲線在點(diǎn)（；，2）的切線斜率為“=/|x=g=-4.

故所求切線方程為y—2=—41一習(xí)，即4x+y-4=0.

對(duì)點(diǎn)練二求切點(diǎn)坐標(biāo)

3.若曲線y=/+ax+6在點(diǎn)（0,⑸處的切線方程是*―/+1=0,則（）

A.a=l,b=lB.a=-1,b=1

C.a=l,b=—lD.a=-1,Z?=~1

解析:選A催點(diǎn)（0,8）在直線x—y+l=O上,：.b=l.

（x+Ax）2+a（x+Ax）+l—x—ax—l

又/=1期--------------------------------=2x+a,

.??過點(diǎn)（0,?的切線的斜率為V|i=a=L

4.已知曲線尸29+4x在點(diǎn)〃處的切線斜率為16,則點(diǎn)夕坐標(biāo)為—

解析：設(shè)析（凡2篇+4a）.

?施+△x）一4用）2（△工）'+4劉△x+4Ax

則/（xo）—lim=4崗+4,

又,：f(新)=16,，4場(chǎng)+4=16,...旅=3,；.P(3,30).

答案：(3,30)

5.曲線尸的切線分別滿足下列條件，求出切點(diǎn)的坐標(biāo).

(1)平行于直線y=4x—5；

(2)垂直于直線2x-6y+5=0；

(3)切線的傾斜角為135°.

設(shè)尸(加加是滿足條件的點(diǎn).

(1)：切線與直線y=4x—5平行，；.2劉=4,.?.xo=2,%=4,即戶(2,4),顯然尸⑵4)

不在直線尸4x—5上，.?.符合題意.

]39,39、

(2)：切線與直線2x—6y+5=0垂直，.北施?§=T,.5=一1,%即(一],才.

(3)：切線的傾斜角為135°,.?.其斜率為-1,即2x0=—1,；.園=一%=；,即

\2,4/

對(duì)點(diǎn)練三導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用

6.下面說法正確的是()

A.若f(揚(yáng))不存在，則曲線y=f(x)點(diǎn)(即/(加)處沒有切線

B.若曲線y=f(x)在點(diǎn)(施，丹曲))處有切線，則f(施)必存在

C.若f(8)不存在，則曲線尸f(x)在點(diǎn)(灰，f(x。))處的切線斜率不存在

D.若曲線y=F(x)在點(diǎn)(粉/?(劉))處沒有切線，則，(揚(yáng))有可能存在

解析：選C根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及切線的定義知曲線在(施，㈤處有導(dǎo)數(shù)，則切線一

定存在，但反之不一定成立，故A,B,D錯(cuò)誤.

7.設(shè)曲線尸/"(X)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0,則過曲線上該點(diǎn)的切線()

A.垂直于x軸B.垂直于y軸

C.既不垂直于x軸也不垂直于y軸I).方向不能確定

解析：選B由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知曲線f(x)在此點(diǎn)處的切線的斜率為0,故切線與y軸

垂直.

8.如圖所示，單位圓中弧的長(zhǎng)為8/Xx)表示弧A?與弦4?所/一、

圍成的弓形面積的2倍，則函數(shù)y=f(x)的圖象是()I(1\

A'B

x

解析：選D不妨設(shè)力固定，8從1點(diǎn)出發(fā)繞圓周旋轉(zhuǎn)一周，剛開始時(shí)x很小，即弧18

長(zhǎng)度很小,這時(shí)給x一個(gè)改變量Ax,那么弦46與弧48所圍成的弓形面積的改變量非常小，

即弓形面積的變化較慢；當(dāng)弦接近于圓的直徑時(shí)，同樣給x一個(gè)改變量Ax,那么弧

與弦48所圍成的弓形面積的改變量將較大，即弓形面積的變化較快；從直徑的位置開始,

隨著8點(diǎn)的繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，弓形面積的變化又由變化較快變?yōu)樵絹碓铰?由上可知函數(shù)尸M*)

圖象的上升趨勢(shì)應(yīng)該是首先比較平緩，然后變得比較陡峭，最后又變得比較平緩，對(duì)比各選

項(xiàng)知D正確.

9.已知函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y=/(x)的圖象可能是(填序

號(hào)).

解析：由y=f(x)的圖象及導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，當(dāng)水0時(shí)f(x)>0,當(dāng)x=0時(shí)，f(x)

=0,當(dāng)x>o時(shí)，faxo,故②符合.

答案：②

二、綜合過關(guān)訓(xùn)練

1.函數(shù)F(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是(

A.0<f(a)<r(a+l)</(a+l)-/(a)

B.0<f(a+l)<f(a+l)-f(a)<f‘(a)

C.0<r(a+l)</(aXAa+D-Aa)

D.0<Aa+l)-Aa)<r(a)<r(a+1)

解析：選Bf(a),f(a+1)分別為曲線f5)在*=@,x=a+l處的切線的斜率,

/(a+1)—?a)

由題圖可知/(a)>F'(a+l)>0,而f(a+l)-F(a)=表示(a,f(a))與(a+1,

(a+1)-a

f(a+l))兩點(diǎn)連線的斜率，且在f(a)與(a+1)之間./.0<r(a+l)<Aa+l)-

(a).

2.曲線在點(diǎn)P(2,1)處的切線的傾斜角為()

X—1

；—AX△V-1

角窣析：選D△尸;)、------7~7=;?.—1=.,,slim".■—=—

2+Ax—12—11+Ax1+△y…。Ax…。1+Ax

L斜率為一1,傾斜角為牛.

3.曲線尸f—2x+i在點(diǎn)(i,o)處的切線方程為()

A.y=x—\B.y=-x+l

C.y=2x—2D.y=—2x+2

解析：選A由Ay=(l+A%)3-2(1+A^)+1-(1-2+1)=(AX)3+3(A%)2+A^r

得lim?=lim(△x/+B△x+1=1,所以在點(diǎn)(1,0)處的切線的斜率A=1,切線過點(diǎn)(1,0),

Ax—O△XAA-0

根據(jù)直線的點(diǎn)斜式可得切線方程為y=x-i.

4.設(shè)代為曲線/"(x)=￡+x—2上的點(diǎn)，且曲線在耳處的切線平行于直線y=4x—1,

則片點(diǎn)的坐標(biāo)為()

A.(1,0)B.(2,8)

C.(1,0)或(一1,—4)D.(2,8)或(一1,—4)

.(x+△x)"+(x+△x)—2—(f+x—2)

解析：選CfU=lim--------———d—--------------

A/-0△x

=lim(3」+1)△△立+(△式=3召+1.由于曲線/?(入)=系+矛―2在H處的切線平行

Ax-0AX

于直線y=4x-l,所以f(x)在&處的導(dǎo)數(shù)值等于4.設(shè)R(劉，㈤，則有/(.)=3/+1=

4,解得施=±1,耳的坐標(biāo)為(1,0)或(-1,—4).

5.已知二次函數(shù)y=F(x)的圖象如圖所示，則y=f(x)在4、8

兩點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)f(a)與f⑶的大小關(guān)系為：

f(a)_f(⑸(填“〈”或

解析：f(a)與f'(6)分別表示函數(shù)圖象在點(diǎn)/、6處的切線

斜率，故/(a)>F(6).

答案：〉

6.過點(diǎn)P(—1,2)且與曲線y=3f—4x+2在點(diǎn)水1,1)處的切線平行的直線方程為

解析：曲線y=3f—4x+2在點(diǎn)水1,1)處的切線斜率k^y'=lim

3(1+4*)2—4(1+Ax)+2—3+4—2

腐(3Ax+2)=2.所以過點(diǎn)P(—1,2)的直線的斜

&x

率為2.由點(diǎn)斜式得y-2=2(x+l),即2%-y+4=0.所以所求直線方程為2x-y+4=0.

答案：2x―什4=0

7.甲、乙二人跑步的路程與時(shí)間關(guān)系以及百米賽跑路程和時(shí)間關(guān)系分別如圖①②，試

(1)甲、乙二人哪一個(gè)跑得快？

(2)甲、乙二人百米賽跑，問快到終點(diǎn)時(shí)，誰跑得較快？

解：(1)圖①中乙的切線斜率比甲的切線斜率大，故乙跑得快；

(2)圖②中在快到終點(diǎn)時(shí)乙的瞬時(shí)速度大，故快到終點(diǎn)時(shí)，乙跑得快.

8.“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一，制造時(shí)通常期望它在達(dá)到p

最高時(shí)爆裂.如果煙花距地面的高度Mm)與時(shí)間Ms)之間的關(guān)系式為不

從Z)=-4.91+14.7L其示意圖如圖所示.根據(jù)圖象，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何V

意義解釋煙花升空后的運(yùn)動(dòng)狀況.M—六

解：如圖，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，我們可以看出：在r-1.5s

附近曲線比較平坦，也就是說此時(shí)煙花的瞬時(shí)速度幾乎為0,達(dá)到最h\~A

高點(diǎn)并爆裂；在0-L5s之間，曲線在任何點(diǎn)的切線斜率大于0且切W

線的傾斜程度越來越小，也就是說煙花在達(dá)到最高點(diǎn)前，以越來越小~/

的速度升空；在L5s后，曲線在任何點(diǎn)的切線斜率小于0且切線的

傾斜程度越來越大，即煙花達(dá)到最高點(diǎn)后，以越來越大的速度下降，直到落地.

課時(shí)跟蹤檢測(cè)(三)幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、基本初等函數(shù)的

導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

一、題組對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練

對(duì)點(diǎn)練一利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

1.給出下列結(jié)論:

其中正確的個(gè)數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

解析：選B因?yàn)?cosx)'=—sinx,所以①錯(cuò)誤.sin—=＞而=°，

所以②錯(cuò)誤.冏,=0一歹二手=子，所以③錯(cuò)誤.(一劃,

131

謨―所以④正確.

2.已知/"(x)=x"(aGQ*),若f(1)=(,則。等于()

1111

a

A.3-B.2-8-D.4-

解析：選D(才)=。才”[

，/、1

"(1)=。=[

對(duì)點(diǎn)練二利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)

3.函數(shù)夕=5：111X9cosX的導(dǎo)數(shù)是()

A.yf=cos"-sin%B.y'=cos'x-sir?x

C.y'=2cosx,sinxD.y'=cosx,sinx

解析：選By'=(sinx?cosx)'=cosx?cosx+sinx?(—sinx)=cos2^—sin2%.

4.函數(shù)尸工的導(dǎo)數(shù)為

x+3

_(六),(x+3)_.(x+3)，_2A(x+3)—f_殳+6x

解析:y'一(x+3)2=~(x+3>-=(x+3廣

行3攵+6x

口案：(x+3f

5.已知函數(shù)f(x)=axlnx,(0,+°°),其中a為實(shí)數(shù)，F(xiàn)(x)為F(x)的導(dǎo)函數(shù).若

f(1)=3,則a的值為________.

解析：ff(x)=a(lnx+x?0=a(l+lnx),由于f(1)=a(l+ln1)=a,又￡(1)

=3,所以a=3.

答案：3

6.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

不

(l)y=sinx-2x；(2)y=cosx?Inx；(3)y=~7-----.

smx

解：(l)y'=(sinx—2x)1=(sinx)'—(2/)r=cosx—4x.

(2)yl=(cosx?Inx)'=(cosx)f?Inx+cosx?(Inx)'=-sinx?Inx+

cosx

x°

_(Q_(e)?sinx-e"?(sin?_e'?sinx-e*?cosx_

3，(sinx)sin、sir?x

e”(sinx-cos力

si?n2x?

對(duì)點(diǎn)練三利用導(dǎo)數(shù)公式研究曲線的切線問題

7.(2019?全國(guó)卷I)曲線尸3(f+必/在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為..

解析：y'=3(2x+l)e*+3(f+x)e*=e*(3f+9x+3),

.?.切線斜率X=e°X3=3,.?.切線方程為y=3x.

答案：y=3x

8.若曲線f(x)=x?5簡(jiǎn)*+1在犬=+處的切線與直線ax+2y+l=0互相垂直，則實(shí)

數(shù)a—.

解析：因?yàn)槭?x)=sinx+xcosx,所以F(司=sin萬十萬cos5=1.又直線ax

+2y+l=0的斜率為一/所以根據(jù)題意得1X(—*=-1,解得a=2.

答案：2

9.已知aGR,設(shè)函數(shù)F(x)=ax—Inx的圖象在點(diǎn)(1,F(D)處的切線為/,則/在y

軸上的截距為

解析：因?yàn)?(x)=a-：，所以f(D=a—1,又/'(l)=a,所以切線/的方程為y

—a=(a—1)(x—1),令x=0,得p=L

答案：1

10.在平面直角坐標(biāo)系才分中，點(diǎn)P在曲線Gy=7-10%+13±,且在第一象限內(nèi)，

已知曲線C在點(diǎn)〃處的切線的斜率為2,求點(diǎn)〃的坐標(biāo).

解：設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(加內(nèi))，因?yàn)閂=3/-10,所以3/一10=2,解得選=±2.又

點(diǎn)〃在第一象限內(nèi)，所以質(zhì)=2,又點(diǎn)尸在曲線。上，所以H=23-10X2+13=1,所以點(diǎn)〃

的坐標(biāo)為(2,1).

二、綜合過關(guān)訓(xùn)練

1.匯(x)=sinx,/；(*)=/o(x),i(x),…，E+i(x)=F〃(x),〃￡N,則

fl019(X)=()

A.sinxB.—sinxC.cosxD.—cosx

解析：選D因?yàn)?x)=(sinx)'=cosx,f2[x}=(cosx)'=—sinx,￡(x)=(一

sinx)1=—cosx,￡(x)=(-cosx)'=sinx,f5(x)=(sinx)r=cosx.所以循環(huán)周

期為4,因此分oi9(X)=/Kx)=—cosx.

￥1

2.已知曲線曠=^一31nx的一條切線的斜率為5,則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為()

A.3B.2C.1D.1

解析：選A因?yàn)関=Tv--3,所以根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，x5—32=5,解得x=3(x

乙X/X乙

=-2不合題意，舍去).

3.曲線尸.—在點(diǎn)1仟，0)處的切線的斜率為()

smx十cosx2\4)

11也也

A.--B.-C.一看D.彳-

cos*sinx+cos力一sinA(COSx-sinx)______]__n

解析：選B(sinx+cos%)21+sin2xX4

代人得導(dǎo)數(shù)值為:，即為所求切線的斜率.

4.已知直線y=3x+l與曲線尸aY+3相切，則a的值為()

A.1B.±1

C.—1D.—2

解析：選A設(shè)切點(diǎn)為(xo,jb),則為=3照+1,且％=a/+3,所以3選+1=@京+3…

①.對(duì)尸a/+3求導(dǎo)得y'=3/,則3?=3,癡=1…②，由①②可得照=1,所以a=

1.

5.設(shè)石為實(shí)數(shù)，函數(shù)〃*)=寸+之9+心—3)才的導(dǎo)函數(shù)為/(才)，且/J)是偶函數(shù),

則曲線尸f(x)在點(diǎn)(2,A2))處的切線方程為.

解析：f(x)=3/+2a%+a—3,

,:f(x)是偶函數(shù)，???a=0,

2

A/U)=x—3xff(x)=3%—3,

"(2)=8—6=2,f(2)=9,

?,?曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,F(2))處的切線方程為y-2=9(才一2),

即^x—y—16=0.

答案：9x-y-16=0

6.設(shè)f(x)=x(x+l)(x+2)???(x+〃)，則/(0)=.

解析：令g(x)=(x+1)(x+2)…(x+〃),則f(x)=xg(x),

求導(dǎo)得/(x)=x'g(x)+xg'(x)=g(x)+xg'(x),

所以/(0)=g(0)+0X"(0)=g(0)=lX2X3X…X〃.

答案：1X2X3X…X〃

7.己知曲線尸x+lnx在點(diǎn)(1,1)處的切線與曲線尸a/+g+2)x+i相切，則己=

解析：法一：?.?y=x+lnx,

=l+p/lx=i=2.

.,?曲線y=x+lnx在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y—l=2(x—1),即p=2x—1.

Vy=2x—1與曲線y=ax+(a+2)x+1相切，

???a￥0(當(dāng)己=0時(shí)曲線變?yōu)閥=2x+l與已知直線平行).

|y=2x—1,

由彳2???1消去外得dx-+ax+2=0.

[y=ax+(a+2)x+l,

由△=——8a=0,解得a=8.

法二：同法一得切線方程為尸2x—1.

設(shè)y=2x—1與曲線y—ax+(a+2)x+l相切于點(diǎn)(電(2+2)照+1).

V/=2ax+(a+2),

.??/Ix=xo=2axo+(a+2).

1

[2aAb+(a+2)=2,Ab=~

由《解得j2

〔a瑞+(a+2)xo+1=2照-1,

、a=8.

答案：8

8.設(shè)f(x)=f+ax2+"+i的導(dǎo)數(shù)J)滿足/(1)=25,f(2)=—4其中常數(shù)

a,b￡R.求曲線y=F(x)在點(diǎn)(1,f(D)處的切線方程.

解：因?yàn)閒(x)=x-\-ax+bx+\,

所以尸(x)=3x+2ax+b.

令x=l,得f'⑴=3+2a+b,

又/(l)=2a,3+2a+6=2a,

解得6=-3,

令x=2得￡(2)=12+4a+4

又/(2)=—bf

所以12+4a+6=-b,

解得a=--

Q5

則f[x}=X--X—3X+19從而

又一⑴=2X?）=-3,

所以曲線尸/'（x）在點(diǎn)（1,/'（1））處的切線方程為了一（一9=一3（*—1）,

即6x+2y—1=0.

9.已知兩條直線y=sinx,y=cosx9是否存在這兩條曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，使在這一

點(diǎn)處，兩條曲線的切線互相垂直？并說明理由.

解：不存在.由于尸sinx,y=cosx,設(shè)兩條曲線的一個(gè)公共點(diǎn)為尸（照，為），

,

所以兩條曲線在尸（苞，㈤處的斜率分別為％=/lx=xo=cosAb,k2=y|x=Ab=—

SinAb.

若使兩條切線互相垂直，必須使cosx（）?（—sin照）=一L

即sinAb?cos照=1,也就是sin2照=2,這是不可能的，所以兩條曲線不存在公共

點(diǎn)，使在這一點(diǎn)處的兩條切線互相垂直.

課時(shí)跟蹤檢測(cè)（四）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)及應(yīng)用

一、題組對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練

對(duì)點(diǎn)練一簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)問題

1.y=cos>的導(dǎo)數(shù)是()

A.yr=-3cos2xsinxB.y'=-3cos2x

C.yl=-3sin'D.y'=_3cosxsinx

r22

解析：選A令￡=cosx、則y=汽y'=yj,tx=3t,(—sinx)=—3cos%sin

x.

2.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(l)y=ln(eA+/)；

⑵

(3)y=sinx+cos

解：(1)令〃=e'+f,則尸inu.

iip'+2x

A/=y'u<〃'A=-?(e'+y)'=.2,(e'+2jr)=..

xuex-rxex十x2

,ul3

(2)令u=2x+3,則y=10",.??_/x=yw?u'.v=10?In10?(2x+3)'=2X10~'ln

10.

(3)y=sinx+cos4x=(sinx+cos2x)2—2sinJx?cos2x=1-^sin22^r=1—--(l-cos4x)

3,1

=：+TCOS4X.

44

所以/=^~+^cos4,，=—sin4x.

對(duì)點(diǎn)練二復(fù)合函數(shù)與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的綜合應(yīng)用

3.函數(shù)尸/cos2x的導(dǎo)數(shù)為()

A.yl=2xcos2x-x?sin2xB.yl=2xcos2x-2xsin2x

C.yr=xcos2x—2xsin2xD.yl=2xcos2x+2x?sin2x

解析：選By'=(x)'cos2x+x(cos2x)f=2xcos2x+x(—sin2x)?(2x)'=

2xcos2x—2xsin2x.

4.函數(shù)y=Wn(2x+5)的導(dǎo)數(shù)為()

A.ln(2x+5)-2*+5B.ln(2x+5)+?x+5

X

C.2xln(2x+5)D，2x+5

解析:選By'=[xln(2x+5)r=?ln(2x+5)+x[ln(2x+5)「=ln(2x+5)+

12x

x?」_二?(2x+5)'=ln(2%+5)+..

2x十52X十5

5.函數(shù)尸sin2xcos3x的導(dǎo)數(shù)是______.

解析：Vy=sin2%cos3x,

*.yf—(sin2x)‘cos3x+sin2x(cos3x)'=2cos2xcos3x-3sin2xsin3x.

答案：2cos2ACOS3%—3sin2xsin3x

6.已知F(x)=e""sinnx,求f(x)及「自.

解：?."(x)=e”'sinnx,

:?f(%)=ne"'sinnx+encosnx=ne"x(sinnx+cosnx).

f

(3="e/sinf+coS^=ne\

對(duì)點(diǎn)練三復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合問題

7.設(shè)曲線y=ax—ln(x+l)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=2x,則a=()

A.0B.1

C.2D.3

解析：選D令y=ax—ln(x+l),則/(x)=a一/7所以f(0)=0,且(0)=2.

聯(lián)立解得a=3.

8.曲線尸ln(2x—1)上的點(diǎn)到直線2x—y+3=0的最短距離是()

A.4B.2乖

C.3鄧D.0

解析：選A設(shè)曲線y=ln(2x—1)在點(diǎn)(刖，㈤處的切線與直線2x—y+3=0平行.

,2

2

.=照=2的一]=2,解得照=1，

/.y0=ln(2—1)=0,即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0).

???切點(diǎn)(1,0)到直線2x—y+3=0的距離為〃=與畢匚=乖，

y/4+l

即曲線y=ln(2x—1)上的點(diǎn)到直線2x—y+3=0的最短距離是乖.

9.放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其他元素，其含量不斷減少，這種

現(xiàn)象稱為衰變.假設(shè)在放射性同位素葩137的衰變過程中，其含量加單位：太貝克)與時(shí)間

寅單位：年)滿足函數(shù)關(guān)系：其中筋為t=0時(shí)的137的含量.已知t=30

JU

時(shí)，鈉137含量的變化率是一101n2(太貝克/年)，則/60)=()

A.5太貝克B.751n2太貝克

C.1501n2太貝克D.150太貝克

1--

解析：選D〃(t)=—In2X,tt230,

JU

1——30

由"(30)=—而In2XM230=-10In2,

解得跳=600,

所以欣。=600X2方，

601

--1

所以f=60時(shí)，鈉137的含量為,"(60)=600X23。=600