數(shù)學(xué)期望的計(jì)算方法和應(yīng)用

./數(shù)學(xué)期望的計(jì)算方法及其應(yīng)用摘要：在概率論中,數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量一個(gè)重要的數(shù)字特征,它比較集中的反映了隨機(jī)變量的某個(gè)側(cè)面的平均性,而且隨機(jī)變量的其他數(shù)字特征都是由數(shù)學(xué)期望來定義的,因此對隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的計(jì)算方法的研究與探討具有很深的實(shí)際意義。本論文著重總結(jié)了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望在離散型隨機(jī)變量分布與連續(xù)型隨機(jī)變量分布下的一些常用的計(jì)算方法,如利用數(shù)學(xué)期望的定義和性質(zhì),利用不同分布的數(shù)學(xué)期望公式等等,并通過一些具體的例子說明不停的計(jì)算方法在不同情況下的應(yīng)用,以達(dá)到計(jì)算最簡化的目的。本文還通過介紹了一些隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計(jì)算技巧,并探討了各種簡化計(jì)算隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的方法,利用一些特殊求和與積分公式,利用數(shù)學(xué)期望定義的不同形式,利用隨機(jī)變量分布的對稱性、重期望公式以及特征函數(shù)等,并通過例題使我們更加了解和掌握這些計(jì)算技巧,已達(dá)到學(xué)習(xí)該內(nèi)容的目的。關(guān)鍵詞：離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望計(jì)算方法ABSTRACT：離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計(jì)算方法及應(yīng)用利用數(shù)學(xué)期望的定義,即定義法定義：設(shè)離散型隨機(jī)變量Ｘ分布列為…………則隨機(jī)變量Ｘ的數(shù)學(xué)期望QUOTEE(ξ)=npE<X>=注意：這里要求級數(shù)絕對收斂,若級數(shù)不收斂,則隨機(jī)變量Ｘ的數(shù)學(xué)期望不存在例1某推銷人與工廠約定,XX把一箱貨物按期無損地運(yùn)到目的地可得傭金10元,若不按期則扣2元,若貨物有損則扣5元,若既不按期又有損壞則扣16元。推銷人按他的經(jīng)驗(yàn)認(rèn)為,一箱貨物按期無損的的運(yùn)到目的地有60﹪把握,不按期到達(dá)占20﹪,貨物有損占10﹪,不按期又有損的占10﹪。試問推銷人在用船運(yùn)送貨物時(shí),每箱期望得到多少？解設(shè)Ｘ表示該推銷人用船運(yùn)送貨物時(shí)每箱可得錢數(shù),則按題意,Ｘ的分布為85-60.60.20.1按數(shù)學(xué)期望定義,該推銷人每箱期望可得10×0.6＋8×0.2＋5×0.1－6×0.1＝7.5元公式法對于實(shí)際問題中的隨機(jī)變量,假如我能夠判定它服從某重點(diǎn)性分布特征〔如二項(xiàng)分布,泊松分布,超幾何分布等,則我們就可以直接利用典型分布的數(shù)學(xué)期望公式來求此隨機(jī)變量的期望。二點(diǎn)分布：~,則二項(xiàng)分布：,,則幾何分布：,則有泊松分布：,有超幾何分布：,有例2一個(gè)實(shí)驗(yàn)競賽考試方式為：參賽者從6道題中一次性隨機(jī)抽取3道題,按要求獨(dú)立完成題目.競賽規(guī)定：至少正確完成其中2題者方可通過,已知6道備選題中參賽者甲有4題能正確完成,2題不能完成；參賽者乙每題能正確完成的概率都是,且每題正確完成與否互不影響.分別求出甲、乙兩參賽者正確完成題數(shù)的數(shù)學(xué)期望.解設(shè)參賽者甲正確完成的題數(shù)為,則服從超幾何分布,其中,∴設(shè)參賽者乙正確完成的題數(shù)為,則,1.3性質(zhì)法利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)求期望,主要性質(zhì)有：其中為隨機(jī)變量,為常數(shù)。例3某工程隊(duì)完成某項(xiàng)工程的時(shí)間<單位：月>是一個(gè)隨機(jī)變量,它的分布列為〔1試求該工程隊(duì)完成此項(xiàng)任務(wù)的平均月數(shù)；〔2社該工程隊(duì)所獲利潤為,單位為萬元。試求工程隊(duì)的平均利潤。解〔1根據(jù)題意,我們可求平均月數(shù)為：月〔2由〔1知,則可得利用逐項(xiàng)微分法這種方法是對于概率分布中含有參數(shù)的隨機(jī)變量而言的,我們可以通過逐項(xiàng)求微分的方法求解出隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,關(guān)鍵步驟是對分布列的性質(zhì)兩邊關(guān)于參數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),從而解出數(shù)學(xué)期望。例5設(shè)隨機(jī)變量,求。解因?yàn)?故其中則〔1對〔1式兩邊關(guān)于求導(dǎo)得根據(jù)數(shù)學(xué)期望的定義知：且知因此上式可以寫成：從而解得1.6利用條件數(shù)學(xué)期望公式法條件分布的數(shù)學(xué)期望稱為條件數(shù)學(xué)期望,它主要應(yīng)用于二維隨機(jī)變量。在為二維離散隨機(jī)變量場合下,其計(jì)算公式為：或例6設(shè)二維離散隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列為012301234500.010.010.010.010.020.030.020.030.040.050.040.050.050.050.060.070.060.050.060.090.080.060.05試求和解要求,首先得求同理可得用同樣的方法,我們可得1.7利用重期望公式法重期望是在條件期望的基礎(chǔ)之下產(chǎn)生的,是的函數(shù),對的不同取值,條件期望的取值也在變化,因此我們可以把看作一個(gè)隨機(jī)變量。重期望的公式是,此公式的前提是存在。如果是一個(gè)離散隨機(jī)變量,則重期望公式可改寫成為例7口袋中有編碼為的個(gè)球,從中任取一球,若取到1號球,則得1分,且停止摸球；若取得號球,則得分,且將此球放回,重新摸球。如此下去,試求得到的平均總分?jǐn)?shù)。解記為得到的總分?jǐn)?shù),為第一次取到的球的號碼,則又因?yàn)?而當(dāng)時(shí),所以由此解得第二節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計(jì)算方法及應(yīng)用連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義和含義完全類似于離散隨機(jī)變量的,只要在離散隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義中用密度函數(shù)代替分布列,用積分是代替和式,即得到連續(xù)場合下數(shù)學(xué)期望的定義。2.1定義法設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量有密度函數(shù),如果積分有限〔收斂,則稱為的數(shù)學(xué)期望。若無限〔不收斂,則說的數(shù)學(xué)期望不存在。例8設(shè)隨機(jī)變量服從均勻分布,求它的數(shù)學(xué)期望。解由于,則它的密度函數(shù)為則根據(jù)定義它的數(shù)學(xué)期望為可見,均勻分布的數(shù)學(xué)期望位于區(qū)間的中點(diǎn),即均勻分布具有對稱性,下一節(jié)中我們將介紹利用分布圖像的對稱性來求數(shù)學(xué)期望。例9密度函數(shù)為的分布稱為柯西分布。其數(shù)學(xué)期望不存在,這是因?yàn)榉e分無限。2.2特殊積分法連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為,在計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望時(shí),常常會用到一些特殊的求積分的性質(zhì)和方法,如基函數(shù)在對稱區(qū)間的積分值為0,還有第一換元積分等,都會給我們的計(jì)算帶來簡便。例10設(shè)隨機(jī)變量,證明．證在的積分表達(dá)始終做變換可得由于上式右端第一個(gè)積分的被積函數(shù)為奇函數(shù),鼓起積分為0,第二個(gè)積分恰為,故得．2.3利用特征函數(shù)特征函數(shù)的定義：設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量,稱,,為的特征函數(shù),設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量有密度函數(shù),則的特征函數(shù)為根據(jù)上式,我們可以求出隨機(jī)變量分布的特征函數(shù),然后利用特征函數(shù)的性質(zhì)：求出數(shù)學(xué)期望,即．例11設(shè)隨機(jī)變量,求．解因?yàn)殡S機(jī)變量,則的特征函數(shù)為其一階導(dǎo)數(shù)為則由特征函數(shù)的性質(zhì)得注：此題關(guān)鍵是球正態(tài)分布的特征函數(shù),我們可以先求出標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的特征函數(shù),在利用特征函數(shù)的性質(zhì)求出正態(tài)分布的特征函數(shù)。2.4逐項(xiàng)微分法這種方法同樣適用于密度函數(shù)中含有參數(shù)的連續(xù)型隨機(jī)變量分布,也是對兩邊對參數(shù)求導(dǎo)數(shù)來解出數(shù)學(xué)期望。例12設(shè)隨機(jī)變量服從指數(shù)分布即,求解因?yàn)?則的密度函數(shù)則由,得對兩邊關(guān)于參數(shù)求導(dǎo)得從而解得2.5條件數(shù)學(xué)期望公式在連續(xù)型隨機(jī)變量場合下,條件數(shù)學(xué)期望同樣適用,其計(jì)算公式為例13設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為試在．解由題意知,2.6利用重期望公式在是一個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量時(shí),重期望公式可改寫成為．例14設(shè)電力公司每月可以供應(yīng)某工廠的電力服從上的均勻分布,而該工廠每月實(shí)際需要的電力服從上的均勻分布。如果工廠能從電力公司得到足夠的電力,則每電可以創(chuàng)造30萬元的利潤,若工廠得不到足夠的電力,則不足部分由工廠通過其他途徑解決,由其他途徑得到的電力每獲利10萬元,失球該廠每個(gè)月的平均利潤。解從題意知,每月供應(yīng)電力,而工廠實(shí)際需要電力。若設(shè)工廠每月的利潤為萬元,則按題意可得在給定時(shí),僅是的函數(shù),于是當(dāng)時(shí),的條件期望為當(dāng)時(shí),的條件期望為然后用的分布對條件期望再作一次平均,即得所以該廠每月的平均利潤為433萬元．第三節(jié)隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計(jì)算技巧3.1利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),化整為零當(dāng)一個(gè)隨機(jī)變量的分布列較為復(fù)雜時(shí),若直接求它的數(shù)學(xué)期望會很困難,我們可以通過將它轉(zhuǎn)化成比較常見的簡單的隨機(jī)變量之和來解決。主要是利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)來時(shí)問題簡單化。例15設(shè)一袋中裝有只顏色各不相同的球,每次從中任取一只,有放回地摸取次,以表示在次摸球中摸到球的不同顏色的數(shù)目,求解直接寫出的分布列較為困難,其原因在于：若第種顏色的球被取到過,則此種顏色的球又可被取到過一次、二次次,情況較多,而其對立事件"第種顏色的球沒被取到過"的概率容易寫出為為此令這些相當(dāng)于是計(jì)數(shù)器,分別記錄下第種顏色的球是否被取到過,而是取到過的不同顏色總數(shù),所以．由可得所以例16設(shè),求解由題意知,,方法一：根據(jù)數(shù)學(xué)期望的定義有方法二：令表示貝努力試驗(yàn)中的出現(xiàn)的次數(shù),則相互獨(dú)立而且同分布,均服從3.2利用二重積分的極坐標(biāo)變換求解這種方法只是用于二維連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的求解。例17設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立,且均服從分布,求的數(shù)學(xué)期望。解由題意知的密度函數(shù)為可得令則可得3.3巧用特殊求和公式例18對一批產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn),如果檢查到第件仍未發(fā)現(xiàn)不合格品就認(rèn)為這批產(chǎn)品合格,如在尚未超過第件時(shí)已檢查到不合格品即停止繼續(xù)檢查,且認(rèn)為這批產(chǎn)品為不合格.設(shè)產(chǎn)品數(shù)量很大,可以認(rèn)為每次檢查查到不合格品的概率都是,問平均每批要檢查多少件？解設(shè)表示每批所需檢驗(yàn)的產(chǎn)品數(shù),那的分布列是注：這里主要用到的求和公式是．3.4利用分布圖象的對稱性66當(dāng)分布列或密度函數(shù)具有對稱性時(shí),隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的取值集中位置就是對稱中心或?qū)ΨQ軸,我們可以利用對稱性使比較復(fù)雜的問題簡單化。尤其,當(dāng)隨機(jī)變量服從均勻分布時(shí),它的數(shù)學(xué)期望取值為它的對稱中心,即；當(dāng)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布時(shí),我們由它的圖象知是它的對稱軸,故它的數(shù)學(xué)期望取值為．例19若正的獨(dú)立隨機(jī)變量,服從相同的發(fā)布,是證明證明由分布的對稱性知同分布,故例20設(shè)在區(qū)間上隨機(jī)地取個(gè)點(diǎn),以表示相距最遠(yuǎn)的兩點(diǎn)間的距離,求解由題意知,個(gè)點(diǎn)把區(qū)間分成了段,它們的長度依次記為,根據(jù)對稱性,每個(gè)都有相同的概率分布和數(shù)學(xué)期望,且,故,又因?yàn)閭€(gè)點(diǎn)中