無(wú)窮小量與無(wú)窮大量階的比較

無(wú)窮小量與無(wú)窮大量階的比較第1頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1.定義:極限為零的變量稱(chēng)為無(wú)窮小.例如,第2頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六注意1.稱(chēng)函數(shù)為無(wú)窮小，必須指明自變量的變化過(guò)程；2.無(wú)窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;3.零是可以作為無(wú)窮小的唯一的數(shù).第3頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2.無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:證必要性充分性第4頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六意義1.將一般極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊極限問(wèn)題(無(wú)窮小);3.無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì):定理2在同一過(guò)程中,有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小.證第5頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六注意

無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和未必是無(wú)窮小.第6頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六定理3有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.證第7頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六推論1在同一過(guò)程中,有極限的變量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論2常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論3有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小.都是無(wú)窮小第8頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六二、無(wú)窮大絕對(duì)值無(wú)限增大的變量稱(chēng)為無(wú)窮大.第9頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六特殊情形：正無(wú)窮大，負(fù)無(wú)窮大．注意1.無(wú)窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;3.無(wú)窮大是一種特殊的無(wú)界變量,但是無(wú)界變量未必是無(wú)窮大.第10頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六無(wú)界，不是無(wú)窮大．第11頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六證第12頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六三、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系定理4在同一過(guò)程中,無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小;恒不為零的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大.證第13頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六意義

關(guān)于無(wú)窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無(wú)窮小的討論.第14頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六極限運(yùn)算法則的證明定理證由無(wú)窮小運(yùn)算法則,得第15頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第16頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六有界，注①此定理對(duì)于數(shù)列同樣成立②此定理證明的基本原則：③(1),(2)可推廣到任意有限個(gè)具有極限的函數(shù)④(2)有兩個(gè)重要的推論第17頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六四、無(wú)窮小的比較例如,觀察各極限不可比.極限不同,反映了趨向于零的“快慢”程度不同.第18頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六定義:第19頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例1解例2解第20頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六常用等價(jià)無(wú)窮小:注上述10個(gè)等價(jià)無(wú)窮?。òǚ?、對(duì)、冪、指、三）必須熟練掌握第21頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六用等價(jià)無(wú)窮小可給出函數(shù)的近似表達(dá)式:一般地有即α與β等價(jià)α與β互為主要部分例如,第22頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六補(bǔ)充高階無(wú)窮小的運(yùn)算規(guī)律第23頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六五、等價(jià)無(wú)窮小替換定理(等價(jià)無(wú)窮小替換定理)證意義求兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限時(shí)，可將其中的分子或分母或乘積因子中的無(wú)窮小用與其等價(jià)的較簡(jiǎn)單的無(wú)窮小代替，以簡(jiǎn)化計(jì)算。具體代換時(shí)，可只代換分子，也可只代換分母，或者分子分母同時(shí)代換。第24頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例3解注意不能濫用等價(jià)無(wú)窮小代換.對(duì)于代數(shù)和中各無(wú)窮小不能分別替換.等價(jià)關(guān)系具有：自反性，對(duì)稱(chēng)性，傳遞性第25頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例4解錯(cuò)解第26頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例5解第27頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例6求解一解二第28頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六解三例7求解第29頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六關(guān)于1∞型極限的求法第30頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第31頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六無(wú)窮小與無(wú)窮大是相對(duì)于過(guò)程而言的.1、主要內(nèi)容:兩個(gè)定義;四個(gè)定理;三個(gè)推論.2、幾點(diǎn)注意:（1）無(wú)窮小（大）是變量,不能與很?。ù螅┑臄?shù)混淆，零是唯一的無(wú)窮小的數(shù)；（2）無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無(wú)窮小.（3）無(wú)界變量未必是無(wú)窮大.六、小結(jié)第32頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六3.無(wú)窮小的比較:反映了同一過(guò)程中,兩無(wú)窮小趨于零的速度快慢,但并不是所有的無(wú)窮小都可進(jìn)行比較.高(低)階無(wú)窮小;等價(jià)無(wú)窮小;無(wú)窮小的階.4.等價(jià)無(wú)窮小的替換:

求極限的又一種方法,注意適用條件.作業(yè)P66:1,2,3,5,6..第33頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六思考題1思考題2在某個(gè)過(guò)程中，若有極限，無(wú)極限，那么是否有極限？為什么？第34頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2月20日，星期六思考題1解答不能保證.例有思考題2解答沒(méi)有極限．假設(shè)有極限，有極限，由極限運(yùn)算法則可知：必有極限，與已知矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤．第35頁(yè)，共36頁(yè)，2023年，2