數(shù)學(xué)分析 第七章 課件 定積分

數(shù)學(xué)分析第七章課件定積分第1頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六第一節(jié) 定積分的概念例1：變力作功例2：變速直線運動的路程例3：曲邊梯形的面積這些例子，都?xì)w結(jié)為一種和式的極限，我們把它抽象出來，得到定積分的定義:一.背景（引入）第2頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六思路：把整段時間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過對時間的無限細(xì)分過程求得路程的精確值．（二）變速直線運動的距離第3頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六（1）分割部分路程值某時刻的速度（2）求和（3）取極限路程的精確值第4頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六xyoab(三)求曲邊梯形的面積第5頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六abxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積．（四個小矩形）（九個小矩形）第6頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．第7頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．第8頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．第9頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．第10頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．第11頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．第12頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．第13頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．第14頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．第15頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．第16頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．第17頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．第18頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．第19頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．第20頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．第21頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六曲邊梯形面積求法：第22頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六曲邊梯形面積為第23頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六二、定積分的定義定義7.1設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，(1)分割在內(nèi)任意插入個分點。

它將分成個小區(qū)間，第個小區(qū)間的長度記為在每個小區(qū)間上任取一點(2)取點(3)作和 記作和式第24頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六（4）求極限令若和式的極限存在（設(shè)為I）且不依賴于分法，也不依賴于的選取，則稱在是可積的，否則稱為不可積。稱為在的定積分，記為即第25頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六上述定義用語言給出。有了積分概念以后，上面的例子便可用其表示。例1：變力使質(zhì)點從移到所作的功為例2：變速直線運動的路程，就是速度在時間段上的定積分，即第26頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六例3：曲邊梯形（由軸及曲線所圍成的圖形）的面積為幾點說明：定義中的兩個任意性。2.定義中，表示對無限細(xì)分的過程，但第27頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六3.當(dāng)我們已知可積的情況下，可取區(qū)間的特殊分法和的特殊取法來求積分和。這就是用定義求積分的依據(jù)。4.定積分只與被積函數(shù)和積分區(qū)間（上、下限）有關(guān)，與積分變量無關(guān)。即例用定義求積分：第28頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六5.規(guī)定：第29頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六第二節(jié) 定積分的基本性質(zhì)定理7.1(可積函數(shù)必有界)在上可積，則在上有界。但反過來不成立。例如：函數(shù)在是不可積的第30頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六定理7.2(積分的線性性質(zhì))第31頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六定理7.3（定積分區(qū)間的可加性）第32頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六定理7.4（積分的單調(diào)性）推論7.1第33頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六若在可積，則定理7.5第34頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六函數(shù)的一致連續(xù)性概念設(shè)在某一區(qū)間（或開，或閉）連續(xù)，按照定義，也就是在區(qū)間中的每一點都連續(xù)，即使當(dāng)時，一般說來：對同一個，當(dāng)不同時，也不同

用符號：當(dāng)時，第35頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六例：圖7.7曲線對接近于原點的就取得小一些，而當(dāng)離原點較遠(yuǎn)時，卻可以取大一些，對后者所取的值，對前者就不一定適用。能否找到（是否存在）一個對區(qū)間內(nèi)所有點都適用的。從圖大致看出，在中就沒有公共的，有時卻需要這種對所有點都適用的存在，這就需要第36頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六設(shè)函數(shù)在區(qū)間有定義，若對任給存在只與有關(guān)而與內(nèi)的點無關(guān)的，使得對任意只要就有則稱在區(qū)間一致連續(xù)。用符號：當(dāng)時，一致連續(xù)的定義第37頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六將函數(shù)在區(qū)間的定義加以比較，可見它們截然不同：前者（連續(xù)）：給定了和來決定。一般說來，隨和而改變，記為而后者（一致連續(xù)）：是只給了就能決定即只隨而變，我們記為第38頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六而這種對任意的都可用。仍拿的情形看：對我們不妨求出滿足時，的的最大值，來看看依賴于的情況。從得：第39頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六不妨設(shè)從而或故只要取則它是使成立的最大的第40頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六顯然，當(dāng)時可見的確依賴于我們得不到一個對中每點都適用的函數(shù)也就是說在不一致連續(xù)現(xiàn)設(shè)是一個小于1的函數(shù)下面在來考慮由前面難導(dǎo)，當(dāng)時則對中任意和只要就有即在區(qū)間是一致連續(xù)的第41頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六應(yīng)當(dāng)注意：函數(shù)在某區(qū)間的連續(xù)性，只與區(qū)間中每一點及其附近的的情形有關(guān),是局部性質(zhì)而一致連續(xù)性，是整體性質(zhì)函數(shù)在區(qū)間非一致連續(xù)的肯定敘述：若存在某個對任意都存在兩點使得但則得在非一致收斂第42頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六例1：證明在一致連續(xù)，其中而在連續(xù)但不一致連續(xù)。證明:在某區(qū)間上:連續(xù)與一致連續(xù)的關(guān)系引出：定理：定理7.6：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定在一致連續(xù)第43頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六若在連續(xù)，則在可積一個有界函數(shù)但不可積的例子。例2函數(shù)在是不可積的定理7.6康托（Cantor）定理閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定在一致連續(xù)定理7.7第44頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六定理7.8：（積分第一中值定理）第45頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六特別：當(dāng)時的情形，第46頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六在可積，令則是上的連續(xù)函數(shù)。定理7.9第47頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六第三節(jié)微積分基本定理第48頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六（一）變上限積分的定義定義

第49頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六（二）變上限積分的性質(zhì)：定理1第50頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六二、微積分基本定理（一）Newton-Leibniz公式定理2牛頓—萊布尼茨公式第51頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六證令令第52頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六注:①②第53頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六（二）例題例2求原式解第54頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六例3求解由圖形可知第55頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六第四節(jié)定積分的計算（一）定積分的換元法定理7.13設(shè)函數(shù)在連續(xù)，單值函數(shù)滿足:1)2)在上則有連續(xù)微商，第56頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六證:

所證等式兩邊被積函數(shù)都連續(xù),因此積分都存在,是的原函數(shù),因此有且它們的原函數(shù)也存在.第57頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六說明:1)當(dāng)<,即區(qū)間換為定理1仍成立.2)必需注意換元必?fù)Q限

,原函數(shù)中的變量不必代回.3)換元公式也可反過來使用,即或配元配元不換限第58頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六例1.

計算解:

令則∴原式=且第59頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六例3.證:(1)若(2)若偶倍奇零第60頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六定理2.

則證:二、定積分的分部積分法第61頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六例7.

證明證:令

n

為偶數(shù)

n

為奇數(shù)則則第62頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六由此得遞推公式于是而故所證結(jié)論成立.第63頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六第五節(jié)定積分在物理學(xué)中的

應(yīng)用初步第64頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六小窄條上各點的壓強例4.

的液體,

求桶的一個端面所受的側(cè)壓力.解:

建立坐標(biāo)系如圖.所論半圓的利用對稱性,側(cè)壓力元素端面所受側(cè)壓力為方程為一水平橫放的半徑為R的圓桶,內(nèi)盛半桶密度為第65頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六說明:當(dāng)桶內(nèi)充滿液體時,小窄條上的壓強為側(cè)壓力元素故端面所受側(cè)壓力為奇函數(shù)第66頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六例5.設(shè)有一長度為l,線密度為的均勻細(xì)直棒,其中垂線上距a

單位處有一質(zhì)量為

m

的質(zhì)點

M,該棒對質(zhì)點的引力.解:

建立坐標(biāo)系如圖.細(xì)棒上小段對質(zhì)點的引力大小為故垂直分力元素為在試計算第67頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六利用對稱性棒對質(zhì)點引力的水平分力故棒對質(zhì)點的引力大小為棒對質(zhì)點的引力的垂直分力為第68頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六說明:2)若考慮質(zhì)點克服引力沿y

軸從a

處1)

當(dāng)細(xì)棒很長時,可視

l

為無窮大,此時引力大小為方向與細(xì)棒垂直且指向細(xì)棒.移到b

(a<b)處時克服引力作的功,則有第69頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六引力大小為注意正負(fù)號3)當(dāng)質(zhì)點位于棒的左端點垂線上時,第70頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六1.定積分的定義—乘積和式的極限2.定積分的性質(zhì)3.積分中值定理矩形公式梯形公式連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的平均值公式近似計算內(nèi)容小結(jié)第71頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六則有4.微積分基本公式積分中值定理微分中值定理牛頓–萊布尼茲公式5.變限積分求導(dǎo)公式第72頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六

6.基本積分法換元積分法分部積分法換元必?fù)Q限配元不換限邊積邊代限第73頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六習(xí)題例1.

求解:

令則原式第74頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六例2.

求解:第75頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六例3.選擇一個常數(shù)c,使解:

令則因為被積函數(shù)為奇函數(shù),故選擇c使即可使原式為0.第76頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六例4.若解:

令試證:則第77頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六因為對右端第二個積分令綜上所述