數(shù)學(xué)建模支持向量機

數(shù)學(xué)建模支持向量機第1頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六OutlineSVM的理論基礎(chǔ)線性判別函數(shù)和判別面最優(yōu)分類面支持向量機第2頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六SVM的理論基礎(chǔ)傳統(tǒng)的統(tǒng)計模式識別方法只有在樣本趨向無窮大時，其性能才有理論的保證。統(tǒng)計學(xué)習(xí)理論（STL）研究有限樣本情況下的機器學(xué)習(xí)問題。SVM的理論基礎(chǔ)就是統(tǒng)計學(xué)習(xí)理論。傳統(tǒng)的統(tǒng)計模式識別方法在進行機器學(xué)習(xí)時，強調(diào)經(jīng)驗風(fēng)險最小化。而單純的經(jīng)驗風(fēng)險最小化會產(chǎn)生“過學(xué)習(xí)問題”，其推廣能力較差。推廣能力是指:將學(xué)習(xí)機器(即預(yù)測函數(shù),或稱學(xué)習(xí)函數(shù)、學(xué)習(xí)模型)對未來輸出進行正確預(yù)測的能力。第3頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六過學(xué)習(xí)問題“過學(xué)習(xí)問題”：某些情況下，當訓(xùn)練誤差過小反而會導(dǎo)致推廣能力的下降。例如：對一組訓(xùn)練樣本(x,y),x分布在實數(shù)范圍內(nèi)，y取值在[0，1]之間。無論這些樣本是由什么模型產(chǎn)生的，我們總可以用y=sin(w*x)去擬合，使得訓(xùn)練誤差為0.第4頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六SVM由于SVM的求解最后轉(zhuǎn)化成二次規(guī)劃問題的求解，因此SVM的解是全局唯一的最優(yōu)解SVM在解決小樣本、非線性及高維模式識別問題中表現(xiàn)出許多特有的優(yōu)勢，并能夠推廣應(yīng)用到函數(shù)擬合等其他機器學(xué)習(xí)問題中Joachims最近采用SVM在Reuters-21578來進行文本分類，并聲稱它比當前發(fā)表的其他方法都好

第5頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六OutlineSVM的理論基礎(chǔ)線性判別函數(shù)和判別面最優(yōu)分類面支持向量機第6頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六線性判別函數(shù)和判別面一個線性判別函數(shù)(discriminantfunction)是指由x的各個分量的線性組合而成的函數(shù)

兩類情況:對于兩類問題的決策規(guī)則為如果g(x)>0，則判定x屬于C1，如果g(x)<0，則判定x屬于C2，如果g(x)=0，則可以將x任意分到某一類或者拒絕判定。

第7頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六線性判別函數(shù)下圖表示一個簡單的線性分類器，具有d個輸入的單元，每個對應(yīng)一個輸入向量在各維上的分量值。該圖類似于一個神經(jīng)元。

第8頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六超平面方程g(x)=0定義了一個判定面，它把歸類于C1的點與歸類于C2的點分開來。當g(x)是線性函數(shù)時，這個平面被稱為“超平面”(hyperplane)。當x1和x2都在判定面上時，這表明w和超平面上任意向量正交，并稱w為超平面的法向量。注意到：x1-x2表示超平面上的一個向量第9頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六判別函數(shù)g(x)是特征空間中某點x到超平面的距離的一種代數(shù)度量

從下圖容易看出第10頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六上式也可以表示為：

r=g(x)/||w||。當x=0時，表示原點到超平面的距離，r0=g(0)/||w||=w0/||w||，標示在上圖中?？傊壕€性判別函數(shù)利用一個超平面把特征空間分隔成兩個區(qū)域。超平面的方向由法向量w確定，它的位置由閾值w0確定。判別函數(shù)g(x)正比于x點到超平面的代數(shù)距離（帶正負號）。當x點在超平面的正側(cè)時，g(x)>0；當x點在超平面的負側(cè)時，g(x)<0

第11頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六多類的情況

利用線性判別函數(shù)設(shè)計多類分類器有多種方法。例如可以把k類問題轉(zhuǎn)化為k個兩類問題，其中第i個問題是用線性判別函數(shù)把屬于Ci類與不屬于Ci類的點分開。更復(fù)雜一點的方法是用k(k-1)/2個線性判別函數(shù)，把樣本分為k個類別，每個線性判別函數(shù)只對其中的兩個類別分類。第12頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六廣義線性判別函數(shù)在一維空間中，沒有任何一個線性函數(shù)能解決下述劃分問題（黑紅各代表一類數(shù)據(jù)），可見線性判別函數(shù)有一定的局限性。第13頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六廣義線性判別函數(shù)如果建立一個二次判別函數(shù)g(x)=(x-a)(x-b)，則可以很好的解決上述分類問題。決策規(guī)則仍是：如果g(x)>0，則判定x屬于C1，如果g(x)<0，則判定x屬于C2，如果g(x)=0，則可以將x任意分到某一類或者拒絕判定。

第14頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六廣義線性判別函數(shù)第15頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六廣義線性判別函數(shù)第16頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六設(shè)計線性分類器

第17頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六OutlineSVM的理論基礎(chǔ)線性判別函數(shù)和判別面最優(yōu)分類面支持向量機第18頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六最優(yōu)分類面

SVM是從線性可分情況下的最優(yōu)分類面發(fā)展而來的,基本思想可用圖2的兩維情況說明.

圖中,方形點和圓形點代表兩類樣本,H為分類線,H1,H2分別為過各類中離分類線最近的樣本且平行于分類線的直線,它們之間的距離叫做分類間隔(margin)。

所謂最優(yōu)分類線就是要求分類線不但能將兩類正確分開(訓(xùn)練錯誤率為0),而且使分類間隔最大.推廣到高維空間，最優(yōu)分類線就變?yōu)樽顑?yōu)分類面。

第19頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六最優(yōu)分類面第20頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六如何求最優(yōu)分類面

第21頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六最優(yōu)分類面第22頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六OutlineSVM的理論基礎(chǔ)線性判別函數(shù)和判別面最優(yōu)分類面支持向量機第23頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六支持向量機

上節(jié)所得到的最優(yōu)分類函數(shù)為：該式只包含待分類樣本與訓(xùn)練樣本中的支持向量的內(nèi)積運算，可見,要解決一個特征空間中的最優(yōu)線性分類問題,我們只需要知道這個空間中的內(nèi)積運算即可。

對非線性問題,可以通過非線性變換轉(zhuǎn)化為某個高維空間中的線性問題,在變換空間求最優(yōu)分類面.這種變換可能比較復(fù)雜,因此這種思路在一般情況下不易實現(xiàn).第24頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六支持向量機第25頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六核函數(shù)的選擇第26頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六SVM方法的特點①

非線性映射是SVM方法的理論基礎(chǔ),SVM利用內(nèi)積核函數(shù)代替向高維空間的非線性映射;②

對特征空間劃分的最優(yōu)超平面是SVM的目標,最大化分類邊際的思想是SVM方法的核心;③

支持向量是SVM的訓(xùn)練結(jié)果,在SVM分類決策中起決定作用的是支持向量。

SVM是一種有堅實理論基礎(chǔ)的新穎的小樣本學(xué)習(xí)方法。它基本上不涉及概率測度及大數(shù)定律等,因此不同于現(xiàn)有的統(tǒng)計方法。從本質(zhì)上看,它避開了從歸納到演繹的傳統(tǒng)過程,實現(xiàn)了高效的從訓(xùn)練樣本到預(yù)報樣本的“轉(zhuǎn)導(dǎo)推理”(transductiveinference),大大簡化了通常的分類和回歸等問題。第27頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六SVM方法的特點SVM的最終決策函數(shù)只由少數(shù)的支持向量所確定,計算的復(fù)雜性取決于支持向量的數(shù)目,而不是樣本空間的維數(shù),這在某種意義上避免了“維數(shù)災(zāi)難”。

少數(shù)支持向量決定了最終結(jié)果,這不但可以幫