數(shù)學(xué)文化概論

數(shù)學(xué)文化概論第1頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第一章概論第一節(jié)文化與數(shù)學(xué)文化第二節(jié)數(shù)學(xué)的定義及其重要性第三節(jié)數(shù)學(xué)的語(yǔ)言及其特點(diǎn)第四節(jié)數(shù)學(xué)發(fā)展簡(jiǎn)史第2頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六§1.3數(shù)學(xué)的語(yǔ)言及其特點(diǎn)第3頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六抽象性精確性應(yīng)用的廣泛性

§1.3.1數(shù)學(xué)的特點(diǎn)第4頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)學(xué)的研究對(duì)象本身就是抽象的；在數(shù)學(xué)的抽象中只保留量的關(guān)系和空間形式而舍棄了其他一切；數(shù)學(xué)的抽象是一級(jí)一級(jí)逐步提高的，它們所達(dá)到的抽象程度大大超過(guò)了其它學(xué)科中的抽象；核心數(shù)學(xué)主要處理抽象概念和它們的相互關(guān)系。1、抽象性有的同學(xué)因數(shù)學(xué)的抽象性而感覺(jué)數(shù)學(xué)枯燥、難學(xué)；其實(shí)，“抽象”是數(shù)學(xué)的武器，是數(shù)學(xué)的優(yōu)勢(shì)。我們應(yīng)該喜愛(ài)“抽象”，學(xué)會(huì)“抽象”的手段。第5頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六哥尼斯堡七橋問(wèn)題——一筆畫(huà)問(wèn)題島1島2ABDCBCAD模型地—橋—邊第6頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)學(xué)的精確性表現(xiàn)在數(shù)學(xué)推理的邏輯嚴(yán)格性和數(shù)學(xué)結(jié)論的確定無(wú)疑性。漢克爾說(shuō)：“在大多數(shù)科學(xué)里，一代人要推倒另一代人所修筑的東西，只有數(shù)學(xué)，每一代人都能在舊建筑上增添一層新樓?！弊鳛閷?duì)照的三個(gè)例子：①電子管電路→半導(dǎo)體電路→集成電路②托勒密地心說(shuō)→哥白尼日心說(shuō)→開(kāi)普勒三定律③高溫超導(dǎo)的上界（朱經(jīng)武）30oK→90oK→120oK→240oK2、精確性第7頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六關(guān)于“晶體的結(jié)構(gòu)有多少種”的討論

曾經(jīng)，許多物理學(xué)家、化學(xué)家、晶體學(xué)家給出了各不相同的結(jié)論。數(shù)學(xué)家介入以后，運(yùn)用“群”的理論，得到了明確的答案：晶體的結(jié)構(gòu)只能有230種。

而且，數(shù)學(xué)家的推理是如此精確，讓人信服，使得之后就不再有人去研究這一問(wèn)題了，因?yàn)榻Y(jié)論已經(jīng)確定無(wú)疑。第8頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六9華羅庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，數(shù)學(xué)無(wú)處不在。例子：①哈雷彗星的發(fā)現(xiàn)；②海王星的發(fā)現(xiàn)；③電磁波的發(fā)現(xiàn)。3、應(yīng)用的廣泛性第9頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

古時(shí)人們認(rèn)為彗星的出現(xiàn)是不祥之兆，直到17世紀(jì)，英國(guó)天文學(xué)家哈雷開(kāi)始計(jì)算彗星軌道時(shí)，發(fā)現(xiàn)1682年、1607年和1531年出現(xiàn)的彗星有相似的軌道，他判斷這三顆彗星其實(shí)是同一顆彗星，并預(yù)言它將在1758年底或1759年初再次出現(xiàn)。1759年，這顆彗星果然出現(xiàn)了。雖然哈雷已在此前的1742年逝世，但為了紀(jì)念他，這顆彗星稱為“哈雷彗星”。哈雷彗星的回歸周期為76年，最近一次的回歸是在1986年；下一次回歸是在2062年。哈雷彗星的發(fā)現(xiàn)第10頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

這個(gè)太陽(yáng)系最遠(yuǎn)的行星（之一），是1846年在數(shù)學(xué)計(jì)算的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)的。天文學(xué)家分析了天王星運(yùn)動(dòng)的不規(guī)律性，推斷出這是由其他行星的引力而產(chǎn)生的。勒未累計(jì)算出它應(yīng)處的位置，觀察員在指定位置發(fā)現(xiàn)了該行星。航海家2號(hào)拍攝,1989.8.

海王星的發(fā)現(xiàn)第11頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

英國(guó)物理學(xué)家麥克斯韋概括了由實(shí)驗(yàn)建立起來(lái)的電磁現(xiàn)象規(guī)律，把這些規(guī)律表述為“方程的形式”，用純粹數(shù)學(xué)的方法推導(dǎo)出可能存在著電磁波并且這些電磁波應(yīng)該以光速傳播者。據(jù)此，他提出了光的電磁理論。此外，他的結(jié)論還推動(dòng)了人們?nèi)ふ壹冸娖鹪吹碾姶挪?。電磁波的發(fā)現(xiàn)24年后，德國(guó)物理學(xué)家赫茲在振蕩放電實(shí)驗(yàn)中證實(shí)了電磁波的存在，不久，意大利的馬可尼和俄國(guó)人波波夫又在此基礎(chǔ)上獨(dú)立地發(fā)明了無(wú)線電報(bào)。從此，電磁波走進(jìn)了千家萬(wàn)戶。第12頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六語(yǔ)言是表達(dá)思想的，是人類(lèi)相互交流的工具。數(shù)學(xué)語(yǔ)言則是人們進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)交流的工具。§1.3.2自然語(yǔ)言與數(shù)學(xué)語(yǔ)言第13頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六自然語(yǔ)言是具體的語(yǔ)言，數(shù)學(xué)語(yǔ)言是形式化的語(yǔ)言。中國(guó)人說(shuō)漢語(yǔ)，美國(guó)人說(shuō)英語(yǔ)，這些是自然語(yǔ)言；上海人說(shuō)上海話，四川人說(shuō)四川話，廣東人說(shuō)廣東話，這些也是自然語(yǔ)言。如同生物界有“瀕危物種”一樣，自然語(yǔ)言中也有“瀕危語(yǔ)言”。下面的一個(gè)自然段，摘自新華社的一則報(bào)道。

國(guó)際自然及自然資源保護(hù)聯(lián)盟為衡量瀕危物種滅絕的危險(xiǎn)程度，制定了一套國(guó)際通用的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)。英國(guó)東英吉利亞大學(xué)的威廉·薩沙蘭德教授別出心裁地用這套標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)世界上共約6800種語(yǔ)言進(jìn)行了分類(lèi)，發(fā)現(xiàn)其中1676種有滅絕的危險(xiǎn)。第14頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六這些讓我們形象地了解到，自然語(yǔ)言是具體的語(yǔ)言，隨民族、地域而有所不同。數(shù)學(xué)語(yǔ)言雖然要以自然語(yǔ)言作為載體，但它是形式化的語(yǔ)言，在形式化的方面，不隨民族、地域的不同而不同。數(shù)學(xué)語(yǔ)言是一種由數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)和經(jīng)過(guò)改造的自然語(yǔ)言構(gòu)成的科學(xué)語(yǔ)言。語(yǔ)言都是用來(lái)描述事物的。自然語(yǔ)言可以用來(lái)描述事物的各個(gè)方面，數(shù)學(xué)語(yǔ)言則主要用來(lái)描述事物的數(shù)量關(guān)系、空間形式，以及事物的結(jié)構(gòu)、邏輯關(guān)系等等。第15頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例如一個(gè)工廠有四種產(chǎn)品，要向北京、天津、上海、重慶、武漢、沈陽(yáng)六地發(fā)貨。如果采用自然語(yǔ)言，需要具體說(shuō)上很長(zhǎng)一段話，每種產(chǎn)品向每個(gè)城市各發(fā)貨多少。但如果采用數(shù)學(xué)語(yǔ)言，只要寫(xiě)出一個(gè)4行6列的矩陣，每行表示一種產(chǎn)品，每列表示一個(gè)城市，交叉點(diǎn)填上相應(yīng)的發(fā)貨數(shù)量（比如以噸為單位）。所以說(shuō)，自然語(yǔ)言是具體的語(yǔ)言，數(shù)學(xué)語(yǔ)言是形式化的語(yǔ)言。第16頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)學(xué)語(yǔ)言使科學(xué)精確化。

以下三段名言是關(guān)于這個(gè)小標(biāo)題很好的注釋?zhuān)骸皵?shù)學(xué)進(jìn)入一門(mén)科學(xué)的程度，反映了這門(mén)科學(xué)成熟的程度?！薄笆澜邕@本大書(shū)，是用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言寫(xiě)成的?！薄耙菦](méi)有數(shù)學(xué)語(yǔ)言，宇宙幾乎是不可描述的！”第17頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六事實(shí)上，牛頓用數(shù)學(xué)語(yǔ)言展示了他的三大定律。愛(ài)因斯坦用黎曼幾何的語(yǔ)言闡述了他的廣義相對(duì)論；數(shù)學(xué)家用群論的語(yǔ)言解決了晶體分類(lèi)的問(wèn)題。經(jīng)濟(jì)學(xué)家用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述了經(jīng)濟(jì)運(yùn)行的規(guī)律。物理中的布朗運(yùn)動(dòng)成為概率論中的語(yǔ)言。生物中的遺傳基因DNA，原來(lái)是數(shù)學(xué)中的雙螺旋線。醫(yī)學(xué)上已經(jīng)出現(xiàn)“數(shù)字化人體”的概念和實(shí)物。

現(xiàn)在，任何一個(gè)科學(xué)工作者要使自己的工作精確化，都必須借助于數(shù)學(xué)語(yǔ)言。第18頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)學(xué)語(yǔ)言是人類(lèi)文明的共同語(yǔ)言由于數(shù)學(xué)語(yǔ)言往往需要依靠符號(hào)來(lái)表達(dá)，而世界各國(guó)又采用相同的數(shù)學(xué)符號(hào)，這就使得數(shù)學(xué)語(yǔ)言成為人類(lèi)文明的共同語(yǔ)言。例如，對(duì)于數(shù)學(xué)語(yǔ)言（a+b）2=a2+b2+2ab和Sin2x+Cos2x=1表達(dá)的意思，任何一個(gè)民族、任何一個(gè)地域的人都能明白。第19頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)學(xué)語(yǔ)言是宇宙文明的共同語(yǔ)言地球上不同地域的人類(lèi)文明發(fā)展到某一階段時(shí)，都各自獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了“圓周長(zhǎng)與直徑的比是一個(gè)常數(shù)”，各自獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了“直角三角形斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和”。地球文明如此，宇宙文明也一定如此；于是自然地想到，數(shù)學(xué)語(yǔ)言能夠成為宇宙文明的共同語(yǔ)言。第20頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六上個(gè)世紀(jì)70年代，美國(guó)曾經(jīng)發(fā)射過(guò)一艘宇宙飛船，目的是與可能存在的“外星人”取得聯(lián)系。為了讓星外文明了解地球文明，這艘宇宙飛船帶去了地球上山川、河流、白云、海洋的照片，地球上各種動(dòng)物、植物、微生物的照片，以及各種年齡、性別、民族的人類(lèi)照片；還帶去了地球上的許多聲音，如狂風(fēng)暴雨的聲音、森林中的鳥(niǎo)鳴聲、大海的浪濤聲，以及不同民族的人類(lèi)叫“媽媽”的聲音；同時(shí)還帶去了刻有右邊圖形的黃金制作（以防銹蝕損毀）的圖板。

第21頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六明晰這含有兩個(gè)方面的意思，一是數(shù)學(xué)語(yǔ)言是明確的，一是數(shù)學(xué)語(yǔ)言是有條理的。

數(shù)學(xué)語(yǔ)言是精確的，是從不含糊的。

“大于”與“大于等于”的涵義，是明確不同的；“都屬于集合A”與“有的屬于集合A”也是明確不同的；“存在左極限”與“存在極限”也是明確不同的。§1.3.3數(shù)學(xué)語(yǔ)言的特點(diǎn)第22頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)學(xué)語(yǔ)言又是有條理的。一段話的敘述中，先說(shuō)哪個(gè)層次，后說(shuō)哪個(gè)層次，是有講究的；一個(gè)層次中，先說(shuō)哪句話，后說(shuō)哪句話，也是有講究的。數(shù)學(xué)語(yǔ)言中必須有“因”有“果”，“因”“果”分明，不能把“因”說(shuō)成“果”，也不能把此“因”說(shuō)成彼“因”。第23頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六嚴(yán)謹(jǐn)嚴(yán)謹(jǐn)，是指邏輯推理的嚴(yán)格和謹(jǐn)慎。它是數(shù)學(xué)的特點(diǎn)之一，也是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的特點(diǎn)之一。

首先是定理的敘述是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹＠缢阈g(shù)基本定理敘述為：任一個(gè)大于1的自然數(shù)，都可以被表示為有限個(gè)素?cái)?shù)（可以重復(fù)）的乘積，并且如果不計(jì)次序的話，表法是唯一的。這里，“大于1”的條件不可少，少了就欠嚴(yán)謹(jǐn)；“有限個(gè)”三字不可少，少了就欠嚴(yán)謹(jǐn)；“（可以重復(fù)）”的注解也不可少，少了就欠嚴(yán)謹(jǐn)；“如果不計(jì)次序”的假設(shè)也不可少，少了就欠嚴(yán)謹(jǐn)。第24頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六其次是推理的過(guò)程是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹?/p>

推理的步驟如何，應(yīng)該表達(dá)清楚；每一步的理由是什么，也應(yīng)該表達(dá)充分。許多數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中強(qiáng)調(diào)，學(xué)生推理時(shí)應(yīng)該注意“步驟完整，理由充足”八個(gè)字，是擊中要害的。例如，一個(gè)推理本來(lái)應(yīng)該由六步完成，你只寫(xiě)出了五步，缺一步，就欠嚴(yán)謹(jǐn)；某一步本來(lái)應(yīng)該依據(jù)三個(gè)理由，你只寫(xiě)出了兩個(gè)理由，缺一個(gè)，就欠嚴(yán)謹(jǐn)。如果某位學(xué)生有語(yǔ)言上的這種不嚴(yán)謹(jǐn)，其實(shí)是反映了他思維上的不嚴(yán)謹(jǐn)。

第25頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六簡(jiǎn)潔

數(shù)學(xué)語(yǔ)言要求簡(jiǎn)單干凈。數(shù)學(xué)語(yǔ)言和自然語(yǔ)言不同。自然語(yǔ)言允許同義反復(fù)，為了描述某一事物的美，往往用一大串意義相近的詞匯或并列的語(yǔ)句；為了形容一個(gè)人的聰明智慧，也常常用一大串意義相近的詞匯或并列的語(yǔ)句。但數(shù)學(xué)語(yǔ)言則要求用詞最少、不允許同義反復(fù)。在數(shù)學(xué)表達(dá)中，當(dāng)一個(gè)語(yǔ)句被另一些語(yǔ)句蘊(yùn)含著的時(shí)候，它就是多余的，一定要去掉這個(gè)語(yǔ)句。如果可以用三句話把意思表達(dá)清楚，就最好不要用四句話。如果可以有甲、乙兩種方式敘述同一個(gè)意思，那么就最好選擇用語(yǔ)較少的那種方式。第26頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六規(guī)范

自然語(yǔ)言當(dāng)然也有約定俗成的規(guī)范性；而數(shù)學(xué)語(yǔ)言則更加鮮明地表現(xiàn)出“規(guī)范”的特點(diǎn)。一句話說(shuō)出來(lái)，不能有任何歧義。一個(gè)詞作為一個(gè)概念被定義以后，這個(gè)定義就要隨著這個(gè)詞貫徹始終，不能再有任何改變。第27頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六一些數(shù)學(xué)語(yǔ)言中常用的詞語(yǔ)，都有其特定的涵義，長(zhǎng)期以來(lái)形成了規(guī)范。例如“任一個(gè)”，“有一個(gè)”，“沒(méi)有”表達(dá)的是三種不同的意思；“最多”、“至少”、“全都”表達(dá)的也是三種不同的意思；“必定”，“可能”、“不可能”表達(dá)的也是三種不同的意思；“開(kāi)區(qū)間”、“閉區(qū)間”、“左開(kāi)右閉的區(qū)間”表達(dá)的也是三種不同的意思。再例如，“包含”是用來(lái)說(shuō)明兩個(gè)集合之間的關(guān)系，“屬于”是用來(lái)說(shuō)明元素與集合之間的關(guān)系，“包含”與“屬于”不能混用。第28頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六“ε—δ”語(yǔ)言、集合論語(yǔ)言、公理化語(yǔ)言都是在不同歷史時(shí)期產(chǎn)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，他們?cè)跀?shù)學(xué)發(fā)展史上都發(fā)揮了很大的作用。特別是集合論語(yǔ)言、公理化語(yǔ)言，現(xiàn)在已經(jīng)成為數(shù)學(xué)語(yǔ)言的核心部分和公用形式，尤其值得重視。第29頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期六語(yǔ)言是思維的反映。數(shù)學(xué)語(yǔ)言的發(fā)展反映了人類(lèi)理性思維的發(fā)展，它也是數(shù)學(xué)對(duì)人類(lèi)文明的重大貢獻(xiàn)之一。作為一個(gè)大學(xué)生，不但應(yīng)該重視數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)，同時(shí)也應(yīng)該重視數(shù)學(xué)語(yǔ)言的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練?，F(xiàn)在的大學(xué)生，在作業(yè)中習(xí)慣性地寫(xiě)出“等號(hào)成立”、“問(wèn)題得證”等詞語(yǔ)的大有人在；其實(shí)，相應(yīng)的規(guī)范數(shù)學(xué)語(yǔ)言應(yīng)該是“等式成立”和“命題得證”。第30