線性代數(shù)課后習(xí)題5和習(xí)題6

習(xí)題五求以下矩陣的特色值和特色向量：1123001310113；3）010；4）410。1）；2）224361004823并說(shuō)明哪些矩陣可以相似于對(duì)角形矩陣。112)(3)，特色值2,3。解：1）(24當(dāng)2時(shí)，當(dāng)3時(shí)，

12

(1,1)，故屬于2的特色向量為k11（k10）。(1,2)，故屬于3的特色向量為k22（k20）。由于線性沒(méi)關(guān)的特色向量個(gè)數(shù)為2，故可以對(duì)角化。1232）213(1)(9)，特色值0,1,9。336當(dāng)0時(shí)，當(dāng)1時(shí)，

12

(1,1,1)，故屬于0的特色向量為k11（k10）。(1,1,0)，故屬于1的特色向量為k22（k20）。當(dāng)9時(shí)，3(1,1,2)，故屬于9的特色向量為k33（k30）。由于線性沒(méi)關(guān)的特色向量個(gè)數(shù)為3，故可以對(duì)角化。013）010(1)(1)2，特色值1,1。10當(dāng)1時(shí)，1(0,1,0)，2(1,0,1)。故屬于1的特色向量為k11k22（k1,k2不全為零）。當(dāng)1時(shí)，3(1,0,1)，故屬于1的特色向量為k33（k30）。由于線性沒(méi)關(guān)的特色向量個(gè)數(shù)為3，故可以對(duì)角化。3104）410(1)2(2)，特色值1,2。482當(dāng)1時(shí)，當(dāng)2時(shí)，

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(3,6,20)，故屬于1的特色向量為k11（k10）。(0,0,1)，故屬于2的特色向量為k22（k20）。由于線性沒(méi)關(guān)的特色向量個(gè)數(shù)為2，故不可以對(duì)角化。已知方陣A滿足A23A2E0，求A的所有可能的特色值。解：設(shè)是A的特色值，則有非零向量X滿足AXX。于是A2X2X，22。由于X非零，所以2320。即(A3A2E)X(32)X0A的特色值只能為1或2。設(shè)是A的特色值，證明：1）2是A2的特色值，i（i為正整數(shù)）是Ai的特色值；2）設(shè)f( )是多項(xiàng)式，則f( )是f(A)的特色值；3）若是A可逆，則1是A1的特色值。證明：1）由于AXX，則A2XA(X)AX2X。A3XA(2X)3X，依此類推，AiXiX，即i是Ai的特色值。2）由1）AiXiX（i為正整數(shù)），記f()a0a1Lann，則f(A)X(a0Ea1ELanEn)Xf()X，即f()是f(A)的特色值。）若是A可逆，對(duì)AXX兩邊左乘A1有：XA1X。又可逆矩陣的3特色值不為零（否則0EA0，與A可逆矛盾）。故1XA1X。4.設(shè)X1和X2是A的屬于兩個(gè)不同樣特色值的特色向量，證明X1X2不是A的特色向量。證明：由題意，設(shè)AX11X1，AX22X2，12，則X1,X2線性沒(méi)關(guān)。（反證）若X1X2是A的特色向量，則有：A(X1X2)(X1X2)。從而(1)X1(2)X20。由于12，所以(1),(2)不全為零，于是X1,X2線性相關(guān)，矛盾。故X1X2不是A的特色向量。5.若是方陣A可逆，證明矩陣AB和BA相似。證明：由于A1(AB)ABA，所以矩陣AB和BA相似。6.設(shè)A與B相似，C與D相似。證明AB相似。與DC證明：由于A與B相似，C與D相似，故有可逆矩陣P與Q，使得：P1APB，Q1CQD。于是P1APBA與Q1CQ，即DCB相似。D1427.計(jì)算Ak，其中A034。043142解：034(1)(5)(5)，特色值1,5,5。043當(dāng)1時(shí)，對(duì)應(yīng)的特色向量為1(0,0,1)；當(dāng)5時(shí)，對(duì)應(yīng)的特色向量為2(2,1,2)；當(dāng)5時(shí)，對(duì)應(yīng)的特色向量為3(1,2,1)。故可取02115051P012，有P1210，使得：AP5P1。從121512051P1145k(5)k25k而AkP5k25k2(5)k5k(5)k545k(5)k525k

2(5)k04(5)k0。2(5)k51x10008.求x，y的值，使得矩陣A與B相似，其中Ax1y，10。B01y1002解：由于B的特色值為0,1,2，由A與B相似，可得0EA0，1EA0，2EA0。即2(xy)20，從而xy0。2xy09.證明：1）實(shí)反對(duì)稱矩陣的特色值為0或純虛數(shù)；2）正交矩陣的特色值的模等于1。證明：1）設(shè)A是實(shí)反對(duì)稱矩陣，是A的特色值，則有X0，AXX。取共軛有AXX?？紤]XAX，一方面XAXXX；另一方面，XAXXAX(AX)XXX；于是( )XX0。又由于X0，所以XX0。故0，即為0或純虛數(shù)。2是A的特色值，則有X0，AXX。取共）設(shè)A是正交稱矩陣，軛有AXX，再轉(zhuǎn)置XAXAX。所以XXXAAXXX。由于X0，所以XX0。故1，即的模為1。判斷以下矩陣可否為正交矩陣：22111133323212，2）A111。1）A3322312211133332解：1）由于AAE，故A為正交矩陣；2）不是正交矩陣。設(shè)A,B為正交矩陣，證明：1）A1與A為正交矩陣；A2）

為正交矩陣。B證明：

1）由于

A

為正交矩陣，所以

AA

E

，即

A

A

1

。又(A)A

(AA)

EE

，故

A

1與

A

為正交矩陣。2）由于A,B為正交矩陣，所以AAE，BBE。從而AAAAAAE，即A為正交矩BBBBBBB陣。12.在R4中，求一單位向量與向量(1,1,1,1),(1,1,1,1),(2,1,1,3)正交。x1x2x3x40解：設(shè)所求向量為(x1,x2,x3,x4)，則有x1x2x3x40。求得基礎(chǔ)解2x1x2x33x40系為(4,0,1,1)。故k(4,0,1,1)（k為任意數(shù)）。求正交矩陣Q，使得Q1AQ為對(duì)角形：1112221）A111；2）A254。111245111解：1）EA1112(3)，特色值0,3。111當(dāng)0時(shí)，1(1,1,0)，2(1,0,1)。當(dāng)3時(shí)，3(1,1,1)。由施密特正交化，取11(1,1,0)，21(1,1,2)，31(1,1,1)。令2631112630Q1161，則Q1AQQAQ0。233021632222）EA254(1)2(10)，特色值1,10。2451時(shí)，1(2,1,0)，2(2,0,1)10時(shí)，3(11,1)當(dāng)。當(dāng),。2由施密特正交化，取12,1,0)，1，311,2,2)。1(2(2,4,5)(545322154531令Q14452，則Q1AQQAQ1。531005245314.設(shè)3階方陣A的特色值為1，2，3；對(duì)應(yīng)的特色向量為1(0,1,0)，2(1,1,0)，3(0,0,1)。求矩陣A。0101解：由題意，令P110，則有P1AP2。故00131200AP2P1110。3003設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特色值為6和3（二重根）。屬于6的特色向量為3(1,1,1)，求A及|A33E|。解：設(shè)X(x1,x2,x3)是實(shí)對(duì)稱矩陣A屬于特色值為3的特色向量，則有x1x2x30。故特色值為3的特色向量1(1,1,0)，2(1,0,1)。令1113411P101，則AP3P1141。|A33E|＝01161143324|P33P13E|24122688。63213提高題a1c1.設(shè)矩陣A5b3，A1，A*有特色值0，屬于0的一個(gè)特1c0a征向量為(1,1,1)。求a,b,c和0的值。解：由于A1，所以AAE，即AA1。由于A0，可得0(1ca)1011，又A1，所以0(2b)1b3A0(1ca)。解得：c。012A1a2已知3階矩陣A與3維列向量X，向量組X，AX，A2X線性沒(méi)關(guān)，且滿足A3X3AX2A2X。1）記P(X,AX,A2X)，求3階矩陣B，使得APBP1；2）計(jì)算行列式AE。解：1）由于P1PP1(X,AX,AX2)E，所以P1AX(0,1,0)，P1A2X(0,0,1)。由APBP1，可得BP1APP1(AX,A2X,AX3)000(P1AX,P1A2X,3P1AX2P1A2X)103。0121002）AEPBP1PP1BE1134。0113．設(shè)A是n階方陣，記f()EAna1n1Lan，1,L,n是f()的n個(gè)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）。證明：1）a11Lann1L

na1，稱為方陣A的跡，記為tr(A)；2）an(1)nA(1)n1Ln。證明：由于f()EAna1n1Lan(1)L(n)，令0，則有an(1)nA(1)n1Ln，即2）成立。又由于特色多項(xiàng)式EA中n1項(xiàng)由行列式定義知只能出現(xiàn)在(a11)L(ann)內(nèi)，它的系數(shù)為(a11Lann)a1；而(1)L(n)中n1項(xiàng)的系數(shù)為(1Ln)。故1）成立。4．設(shè)A(a1,L,an)，ai均為非零實(shí)數(shù)，BAA，求可逆矩陣P，使得P1BP為對(duì)角陣。a2Laan11解：BAALLL，它為實(shí)對(duì)稱矩陣。當(dāng)0時(shí)，EA的秩a1anLan2為1，所以0是EB0的n1重根，由上題1）的結(jié)果知n1項(xiàng)系數(shù)為a2Laa11n(a12Lan2)。故EBLLLn1[(a12Lan2)]。aaLa21nn當(dāng)0時(shí)，可得：2(a2,a1,L,0)，L，n(an,0,L,a1)。由于屬于特色值(a12Lan2)的特色向量X(x1,L,xn)與上述向量組正交，所以ajx1a1xj（j2,L,n）。故1(a1,L,an)。a2a3Lana10a10L0a20令PLLLLL，則P1BP。00L0an1a2La200La1an1n5．證明上三角正交矩陣必為對(duì)角陣。證明：設(shè)上三角矩陣A正交，則A1A。一方面由第二章習(xí)題知A1也為上三角，另一方面A為下三角，故A1A既為三角又為下三角，從而為對(duì)角矩陣。6．A,B是正交矩陣，且AB0。證明AB不可以逆。證明：由于AB2B20，即AB1。又A,B是0，所以A2AB正交矩陣，所以ABABBAABABABABAB。即(1AB)AB0，從而AB0，AB不可以逆。習(xí)題六寫出二次型的矩陣表示形式：1）fx24y2z24xy2xz4yz；2）fx2y27z22xy4xz4yz；3）fx12x22x32x422x1x24x1x32x1x46x2x34x2x4。121x112x解：1）f(x,y,z)242y；2）f(x,y,z)112y；121z227z1121x13）f(x,x,x,x)1132x2。12342310x31201x4化以下二次型為標(biāo)準(zhǔn)形：1）f2x123x223x324x2x3；2）fx12x22x32x422x1x22x1x42x2x32x3x4。200200解：1）二次型矩陣為032，032(1)(2)(5)。023023所以二次型為標(biāo)準(zhǔn)形為fy122y225y32。11011101111011102）二次型矩陣為11，011等于01110111011(1)(1)2(3)。所以二次型為標(biāo)準(zhǔn)形為fy122y22y323y42。判斷以下二次型的正定性：1）f3x24y25z24xy4yz；2）f5x26x24x24xx4xx；12312133）f2x1x22x1x36x2x3。32032解：1）二次型矩陣為242，又30，80，02524320242280。所以二次型正定。025522522）二次型矩陣為260，又50，260，2042652260800。所以二次型負(fù)定。2043）取X1(1,1,0)，則f(X1)20；又取X2(0,1,1)，則f(X2)60。所以二次型既不正定，也不負(fù)定。t為何值時(shí)，以下二次型是正定的：1）f2x12x22x322x1x2tx2x3；2）fx124x22x322tx1x210x1x36x2x3。21021解：1）二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為11t。又20，10，t2110122101t2。所以當(dāng)11t211t10，即2t2時(shí)二次型正定。t2220121t51t2）二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為t43，又10，4t2，t45311t54t20t43t230t105。由于無(wú)解，即無(wú)論t為何值二次230t105531t0型是均不正定。5.若是二次型fXAX，對(duì)于任意n維列向量X0，都有X0AX00。證明A0。證明：記Aaij，取X0i（表示第i個(gè)重量為1其余重量為0的n維列向nn量），由X0AX00，得aii0；取X0ij（表示第i、第j兩個(gè)重量為1其余重量為0的n維列向量），由X0AX00，則有2a0。故A0。ij若是A是正定矩陣，證明A1是正定矩陣。證明：由于A是正定矩陣，所以存在可逆實(shí)矩陣B，使得ABB。故A1B1(B)1[(B)1][(B)1]，即A1是正定矩陣。7.若是A，B是n階正定矩陣，k0，l0。證明kAlB為正定矩陣。證明：A，B是n階正定矩陣，對(duì)任意n維實(shí)的列向量X0，XAX0，XBX0。從而X(kAlB)Xk(XAX)l(XBX)0。即kAlB為正定矩陣。8.設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣，證明當(dāng)實(shí)數(shù)t充分大此后，tEA是正定矩陣。n證明：取Mmaxaij，則當(dāng)tM時(shí)，X(tEA)X0。所以tEA是1jni1正定矩陣。提高題若是A為正定矩陣，證明：1）aii0(i1,,)；Ln）aiiaij0(ij;i,j1,,)。2ajiajjLn證明：1）（反證）若aii0，取X0為xi1、其余未知量為零的列向量，則有X0AX0aii0。與A為正定矩陣矛盾。故aii0(i1,L,n)。2）由1）aii0,ajjaiiaij0，則二元二次型0。（反證）若ajjajigaiiy122aijy1y2ajjy22不正定，故存在(y10,y20)0，使得ay22ayy20ajjy20。取X0為xiy10、xjy20、其余未知量為零的ii10ij1020列向量，則X00，且X0AX0aiiy1022aijy10y20ajjy2020。與A為正定矩陣矛盾。所以aiia