基于多重抽樣框的連續(xù)性抽樣估計(jì)方法研究

基于多重抽樣框的連續(xù)性抽樣估計(jì)方法研究

一、問(wèn)題的提出在抽樣實(shí)踐中，隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的不斷變化和發(fā)展，很多調(diào)查對(duì)象的總體也在不斷變化和發(fā)展。為了能夠及時(shí)反映調(diào)查總體的這種變化和發(fā)展，調(diào)查部門就需要對(duì)同一總體在不同時(shí)間上進(jìn)行連續(xù)性抽樣調(diào)查（SuccessiveSamplingSurvey），并定期公布調(diào)查結(jié)果，形成一系列時(shí)間序列統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。但是，在抽樣調(diào)查理論及應(yīng)用研究中，不管是理論研究者還是調(diào)查部門的實(shí)際工作者，往往更多地關(guān)注如何從調(diào)查總體中抽取一套有代表性的樣本，然后進(jìn)行合理的抽樣估計(jì)，這就是所謂的一次性抽樣調(diào)查（onetimesamplingsurvey）。對(duì)于實(shí)際價(jià)值更高的連續(xù)性抽樣調(diào)查很少深入研究，國(guó)外學(xué)者一般就連續(xù)性抽樣調(diào)查中出現(xiàn)的實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行了有針對(duì)性的研究，實(shí)際部門中也開展了連續(xù)性抽樣調(diào)查，如美國(guó)現(xiàn)時(shí)人口調(diào)查（TheCurrentPopulationSurvey）、加拿大勞動(dòng)力與收入變化調(diào)查（CanadianSurveyofLaborandIncomeDynamics）等，代表性的有Patterson（1950）[1]提出了單水平輪換模式下的最小方差線性無(wú)偏估計(jì)量，Eckler（1955）[2]進(jìn)一步研究了兩水平及多水平輪換模式下的最小方差線性無(wú)偏估計(jì)量，并對(duì)比了不同輪換模式下的不同估計(jì)結(jié)果，Hansen，etal.（1955）[3]最早提出了K組合估計(jì)量，GurneyandDaly（1965）提出TAK組合估計(jì)量，F(xiàn)uller（1990）[4]運(yùn)用校準(zhǔn)估計(jì)的方法，對(duì)原有的組合估計(jì)方法進(jìn)行了修正，進(jìn)一步提出AKC組合估計(jì)量等。國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)這一領(lǐng)域的系統(tǒng)研究很少見，僅有少數(shù)學(xué)者對(duì)某些抽樣設(shè)計(jì)下的連續(xù)性估計(jì)方法問(wèn)題進(jìn)行了一些零散的研究，比如孫山澤和姜濤（2002）[5]研究了PPS抽樣下的連續(xù)性抽樣估計(jì)問(wèn)題，張荷觀（2006）[6]研究了整群抽樣下的連續(xù)性抽樣估計(jì)問(wèn)題。傳統(tǒng)估計(jì)方法都是針對(duì)輪換樣本調(diào)查展開的一系列研究，陳光慧（2009）在其博士論文中對(duì)連續(xù)性抽樣調(diào)查進(jìn)行了全面研究。但在針對(duì)連續(xù)性抽樣調(diào)查開展研究的文獻(xiàn)中，基本上都是基于單一抽樣框平臺(tái)開展研究的，對(duì)于多重框情形下的連續(xù)性抽樣調(diào)查問(wèn)題很少涉及?；诙嘀爻闃涌蜻M(jìn)行抽樣，可以解決單一樣框覆蓋不全的缺陷，從而不必花大力氣構(gòu)建十分完善的單一抽樣框，可以達(dá)到節(jié)省抽樣框編制成本，提高抽樣調(diào)查效率的效果。國(guó)外對(duì)多重抽樣框的估計(jì)理論研究已經(jīng)有幾十年的歷史。Hartley（1962）[7]先對(duì)多重抽樣框估計(jì)方法進(jìn)行理論研究，提出了H估計(jì)量，Lund（1968）。對(duì)H估計(jì)量進(jìn)行了改進(jìn)，提出了方差更小的L估計(jì)量，F(xiàn)ullerandBurmeister（1972）[9]在H估計(jì)量基礎(chǔ)上提出了有效性更高的FB估計(jì)量，Bankier（1986），KaltonandAnderson（1986），Skinner（1991）等人分則提出了SF估計(jì)量。SkinnerandRao（1996）[10]給出了PML估計(jì)量。國(guó)內(nèi)對(duì)于多重抽樣框調(diào)查的理論研究十分少見。其中，金勇進(jìn)博士（1996）[11]對(duì)雙重抽樣框的概念進(jìn)行了簡(jiǎn)略的介紹，雷欽禮（2000）介紹了雙重抽樣框的抽樣方法及篩選估計(jì)量的形式，賀建風(fēng)、劉建平（2011a）[12]究了雙重抽樣框下的二階段抽樣估計(jì)方法，賀建風(fēng)（2011b）[13]對(duì)雙重抽樣框估計(jì)方法進(jìn)行了系統(tǒng)研究。但沒有學(xué)者開展基于多重抽樣框下的連續(xù)性抽樣估計(jì)方法的研究。本文為了填補(bǔ)在這一領(lǐng)域理論研究的空白，對(duì)多重抽樣框下的連續(xù)性估計(jì)方法進(jìn)行系統(tǒng)研究。第二節(jié)給出了本文有關(guān)概念的基本記號(hào)并對(duì)連續(xù)性調(diào)查下總體結(jié)構(gòu)表進(jìn)行設(shè)計(jì)，第三節(jié)構(gòu)建多項(xiàng)式分布的似然函數(shù)，并利用14種參數(shù)縮減方法，給出輪換樣本下的估計(jì)方法及估計(jì)量計(jì)算的迭代過(guò)程，第四節(jié)則對(duì)全文的研究進(jìn)行了總結(jié)與展望。二、記號(hào)及總體結(jié)構(gòu)變動(dòng)表設(shè)計(jì)（一）記號(hào)（二）總體結(jié)構(gòu)變動(dòng)表設(shè)計(jì)在連續(xù)性抽樣調(diào)查中，隨著時(shí)間的推移，總體的特征會(huì)不斷地變化，而一般的估計(jì)量主要是用來(lái)研究總體在不同時(shí)期的這些變化情況?？傮w特征在時(shí)間上的變化，可以分為特征的變化與結(jié)構(gòu)的變動(dòng)。其中，總體結(jié)構(gòu)變動(dòng)估計(jì)可以應(yīng)用于很多實(shí)際情況，如，在宏觀經(jīng)濟(jì)分析中，研究人口在地區(qū)之間的流動(dòng)，或勞動(dòng)者就業(yè)狀態(tài)的變動(dòng)等都屬于對(duì)總體結(jié)構(gòu)變動(dòng)的估計(jì)。對(duì)于總體結(jié)構(gòu)變動(dòng)的估計(jì)已有的研究基本上僅限于單一抽樣框的視角，對(duì)于多重的情形還未涉及。本文將已有的總體結(jié)構(gòu)變動(dòng)估計(jì)方法推廣到雙重框抽樣的情形，對(duì)于抽樣框重?cái)?shù)更高（大于2）的多重情形，可以在此基礎(chǔ)上類推。為了表述的簡(jiǎn)單，下文中，我們將總體結(jié)構(gòu)變動(dòng)簡(jiǎn)稱為總體變動(dòng)。本文假定對(duì)每個(gè)抽樣框均采取簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式，并且取樣過(guò)程相互獨(dú)立。在連續(xù)性抽樣調(diào)查中，根據(jù)抽取樣本的不同方式，可以將連續(xù)性抽樣方式分為重復(fù)樣本調(diào)查、固定樣本調(diào)查、輪換樣本調(diào)查和分列樣本調(diào)查四種類型。其中，重復(fù)樣本調(diào)查指樣本選取在時(shí)間上相互獨(dú)立，估計(jì)方法與一次性抽樣調(diào)查下的情形一致。而固定樣本調(diào)查的特征表現(xiàn)為在雙重框的每個(gè)域中可以得到兩期完全一致的被調(diào)查單位，且所有被調(diào)查單位的抽樣權(quán)重系數(shù)相同，因此可以采用一次性調(diào)查的橫截面估計(jì)方法。此外，分裂樣本調(diào)查是固定樣本調(diào)查與輪換樣本調(diào)查的組合，解決了固定樣本調(diào)查與輪換樣本調(diào)查的估計(jì)方法問(wèn)題，分裂樣本調(diào)查情形下的抽樣估計(jì)就容易實(shí)現(xiàn)。因此，下文主要分析輪換樣本調(diào)查情形下的抽樣估計(jì)方法。三、輪換樣本調(diào)查的估計(jì)方法輪換樣本調(diào)查（Rotatingpanelsurvey）是指樣本單元在經(jīng)過(guò)連續(xù)幾輪的調(diào)查之后，將會(huì)退出調(diào)查，同時(shí)新的樣本單元將會(huì)產(chǎn)生并開始接受調(diào)查。很多連續(xù)性調(diào)查均采用輪換樣本調(diào)查的方式實(shí)施，如我國(guó)城市住戶調(diào)查即采用輪換樣本調(diào)查的方式，由城市住戶構(gòu)成的輪換樣本連續(xù)調(diào)查三年，每年將輪換1/3的樣本單元；美國(guó)現(xiàn)時(shí)人口調(diào)查也采用的是輪換樣本的模式，每月的總樣本由8個(gè)輪換組樣本構(gòu)成，每個(gè)輪換樣本連續(xù)調(diào)查4個(gè)月，在接下來(lái)的8個(gè)月中退出調(diào)查，然后又連續(xù)調(diào)查4個(gè)月，最后永遠(yuǎn)退出調(diào)查。對(duì)輪換樣本的估計(jì)較一般的一次性調(diào)查估計(jì)或上面介紹的固定樣本估計(jì)更為復(fù)雜，其難點(diǎn)主要是有些被調(diào)查單位在不同調(diào)查期可能出現(xiàn)調(diào)查期無(wú)回答（WaveNon-response），即樣本單位在某些調(diào)查期接受了調(diào)查，而在其他某些調(diào)查期又沒有接受調(diào)查。由于調(diào)查期無(wú)回答的存在，連續(xù)性抽樣調(diào)查中就必然出現(xiàn)某些樣本單位只含有部分信息，也可以認(rèn)為缺失部分信息。因此，需要組合具有完整信息的樣本與具有部分信息的樣本對(duì)連續(xù)時(shí)間下總體變動(dòng)的情況進(jìn)行估計(jì)。建立似然函數(shù)ChenandFienberg（1974）[14]提出獲取總體變動(dòng)數(shù)據(jù)的觀測(cè)結(jié)果是一個(gè)兩階段過(guò)程，這里，我們沿用這一思想，將分析過(guò)程推廣到雙重框抽樣的具體情形。在第一階段，所有單位還未被觀測(cè)，可以假定沒有出現(xiàn)信息缺失的情況，在每個(gè)子域中，樣本單位通過(guò)多項(xiàng)式抽樣過(guò)程被分配到總體變動(dòng)表的4個(gè)單元格中，其多項(xiàng)式概率如表3所示。對(duì)于抽樣框B而言，可以得到類似的似然函數(shù)。在上文中，我們已經(jīng)假定在抽樣過(guò)程中，針對(duì)兩個(gè)抽樣框選取樣本是相互獨(dú)立的，所以將兩個(gè)抽樣框各自的似然函數(shù)直接相乘，即可得到雙重框抽樣情形下的總似然函數(shù)，其形式如下：顯然上式的參數(shù)個(gè)數(shù)大于我們可以觀測(cè)到的變量個(gè)數(shù)（表2的單元格數(shù)），這將使我們無(wú)法估計(jì)全部的未知參數(shù)。為了對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行有效估計(jì)，可以對(duì)待估參數(shù)個(gè)數(shù)進(jìn)行縮減，以使樣本信息滿足參數(shù)估計(jì)的需求。（二）對(duì)參數(shù)進(jìn)行縮減ChenandFienberg（1974）[14]提出了兩種縮減待估參數(shù)的模型（如模型1、2），ElizabethA.Stasny（1986）[15]在此基礎(chǔ)上，提出了另一種縮減待估參數(shù)的模型（如模型3）。根據(jù)抽樣實(shí)踐中實(shí)際情況出現(xiàn)的可能，我們具體考慮如下7個(gè)縮減待估參數(shù)的模型，后四個(gè)則是我們通過(guò)對(duì)前三個(gè)模型進(jìn)行不同組合而得到的。模型1表示，在給定的調(diào)查期，個(gè)體的信息缺失概率取決于既定的調(diào)查期本身與在調(diào)查期內(nèi)個(gè)體的類別；模型2表示，在給定的調(diào)查期，個(gè)體的信息缺失概率僅取決于既定的調(diào)查期；模型3表示，在給定的調(diào)查期，個(gè)體的信息缺失概率僅取決于調(diào)查期內(nèi)個(gè)體的類別；模型4表示，在調(diào)查期t-1，個(gè)體的信息缺失概率取決于調(diào)查期本身與在調(diào)查期內(nèi)個(gè)體的類別，在調(diào)查期t，個(gè)體的信息缺失概率僅取決于既定的調(diào)查期t；模型5表示，在調(diào)查期t-1，個(gè)體的信息缺失概率僅取決于既定的調(diào)查期t-1，在調(diào)查期t，個(gè)體的信息缺失概率取決于調(diào)查期本身與在調(diào)查期內(nèi)個(gè)體的類別；模型6表示，在調(diào)查期t-1，個(gè)體的信息缺失概率取決于調(diào)查期本身與在調(diào)查期內(nèi)個(gè)體的類別，在調(diào)查期t，個(gè)體的信息缺失概率僅取決于在調(diào)查期內(nèi)個(gè)體的類別；模型7表示，在調(diào)查期t-1，個(gè)體的信息缺失概率僅取決于在調(diào)查期內(nèi)個(gè)體的類別，在調(diào)查期t，取決于調(diào)查期本身與在調(diào)查期內(nèi)個(gè)體的類別。對(duì)于雙重抽樣框的情形，我們還可以考慮采用如下兩種常見的模式對(duì)未知參數(shù)實(shí)施更進(jìn)一步的縮減，以求能夠利用極大似然估計(jì)法求出極大似然估計(jì)量（MLE）。模式一，假定同一抽樣框中不同域內(nèi)的各分類的行信息缺失概率與列信息缺失概率分別相等。那么，在抽樣框A中，有下列等式成立；這種模式常適用于對(duì)不同抽樣框采用不同的數(shù)據(jù)采集方式的情況。例如，在名錄框和電話框構(gòu)成的兩個(gè)抽樣框系統(tǒng)中，進(jìn)行數(shù)據(jù)搜集時(shí)，對(duì)前者實(shí)施郵寄問(wèn)卷調(diào)查，對(duì)后者采取電話訪問(wèn)，那么所得的兩套樣本可能就會(huì)出現(xiàn)不一樣的數(shù)據(jù)缺失概率。如果在同一抽樣框中，由于數(shù)據(jù)搜集形式確定，則可以認(rèn)為各子域的樣本數(shù)據(jù)缺失概率一致。模式二，假定在同一域內(nèi)，來(lái)自不同抽樣框的各分類的行信息缺失概率與列信息缺失概率分別相等。在域ab內(nèi)，有以下等式成立：從以上縮減參數(shù)總數(shù)量的模型可以看出，一般情況下，我們無(wú)法獲得封閉形式的參數(shù)估計(jì)量。但是，如果我們利用對(duì)似然函數(shù)求偏導(dǎo)，并令其為0，再通過(guò)迭代過(guò)程可以獲得參數(shù)的極大似然估計(jì)量。（三）求解極大似然估計(jì)量2.參數(shù)λ的MLE。對(duì)于參數(shù)λ而言，由于各模型的似然函數(shù)中僅包含參數(shù)λ的因式均不一致，所以對(duì)其估計(jì)相對(duì)前面兩類參數(shù)較復(fù)雜，需要對(duì)不同的模型分別進(jìn)行討論。ChenandFienberg[14]通過(guò)迭代計(jì)算就前兩種模型的單重抽樣框調(diào)查情形給出了λ的MLE。本文將其迭代的方法拓展到雙重框的情形，對(duì)于多重框同樣適用，為了簡(jiǎn)化考慮，這里只分析雙重框的情況?；陔p重抽樣框的情形，上一小節(jié)已提出了兩種對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行縮減的常見模式。在模式一的情形下，對(duì)參數(shù)λ的估計(jì)在各抽樣框分別進(jìn)行。因此，對(duì)于來(lái)自于抽樣框A的λ估計(jì)量而言，記：在模式二的情形下，對(duì)參數(shù)λ的估計(jì)在各子域分別進(jìn)行。因此，對(duì)于來(lái)自于子域a的λ估計(jì)量而言，記：下面，針對(duì)各模型，分別給出λ的極大似然估計(jì)量的迭代過(guò)程。在模型1的情形下：顯然，上式是一個(gè)封閉的形式，無(wú)需實(shí)施迭代計(jì)算，即可獲得估計(jì)量的簡(jiǎn)單表達(dá)式。在模型3的情形下，為了求得參數(shù)λ的MLE，ElizabethA.Stasny（1986）[15]提出了如下迭代計(jì)算過(guò)程：在模型7的情形下，我們提出的迭代過(guò)程如下：四、結(jié)語(yǔ)及研究展望本文將多重抽樣框方法引入連續(xù)性抽樣調(diào)查領(lǐng)域，利用連續(xù)性抽樣調(diào)查中傳統(tǒng)的總體結(jié)構(gòu)變動(dòng)估計(jì)方法，對(duì)多重抽樣框下的連續(xù)性抽樣估計(jì)方法進(jìn)行研究。文中假定對(duì)于所有抽樣框均實(shí)施簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，重點(diǎn)針對(duì)輪換樣本調(diào)查，利用參數(shù)縮減模型給出了極大似然估計(jì)量，本文不僅將3種已有的參數(shù)縮減模型擴(kuò)展到雙重抽樣框調(diào)查的情形，還創(chuàng)新性地增加了另外4種參數(shù)縮減模型，并結(jié)合雙重抽樣框的兩個(gè)假定模式，合計(jì)14種情況，分別給出了有關(guān)參數(shù)的極大似然估計(jì)量。值得注意的是，對(duì)于連續(xù)性抽樣的另外三類調(diào)查，即重復(fù)樣本調(diào)查、固定樣本調(diào)查和分裂樣本調(diào)查并未展開分析，這主要是由于重復(fù)樣本調(diào)查的估計(jì)方法與一次性抽樣調(diào)查下的情形一致，固定樣本調(diào)查可采用一次性調(diào)查的橫截面估計(jì)方法，而分裂樣本調(diào)查是固定樣本調(diào)查與輪換樣本調(diào)查的組合，故可以在本文的分析基礎(chǔ)上進(jìn)行類推。本文的研究?jī)?nèi)容主要是針對(duì)雙重抽樣框的情形，而且假定對(duì)所有的抽樣框均實(shí)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽