2022江西省南昌市高三第一次模擬測(cè)試數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

2022屆江西省南昌市高三第一次模擬測(cè)試數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解不等式，求出集合A和B，進(jìn)而求出交集.【詳解】，解得：，所以，，解得：或，故，故故選：C2．已知（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)一定在（

）A．實(shí)軸上 B．虛軸上C．第一?三象限的角平分線上 D．第二?四象限的角平分線上【答案】C【分析】設(shè)出，從而得到，即，得到復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一?三象限的角平分線上.【詳解】設(shè)，則，則，即，從而，故，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上，即第一?三象限的角平分線上.故選：C3．根據(jù)分類(lèi)變量與的觀察數(shù)據(jù)，計(jì)算得到，依據(jù)下表給出的獨(dú)立性檢驗(yàn)中的小概率值和相應(yīng)的臨界值，作出下列判斷，正確的是（

）0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A．有95%的把握認(rèn)為變量與獨(dú)立B．有95%的把握認(rèn)為變量與不獨(dú)立C．變量與獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)10%D．變量與不獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)10%【答案】D【分析】根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的概率含義可得.【詳解】因?yàn)?，所以變量與不相互獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)10%.故選：D4．?dāng)?shù)列中，，，則（

）A．8 B．16 C．12 D．24【答案】B【分析】先令，求出，再令，可求出【詳解】因?yàn)閿?shù)列中，，，所以令，則，即，令，則，即，故選：B5．圓柱形玻璃杯中盛有高度為10cm的水，若放入一個(gè)玻璃球（球的半徑與圓柱形玻璃杯內(nèi)壁的底面半徑相同）后，水恰好淹沒(méi)了玻璃球，則玻璃球的半徑為（

）A． B．15cm C． D．20cm【答案】B【分析】由題意玻璃球的體積等于放入玻璃球后的體積減去原來(lái)的體積,水恰好淹沒(méi)了玻璃球，則此時(shí)水面高度為,列出方程即可得到答案.【詳解】由題意玻璃球的體積等于放入玻璃球后的體積減去原來(lái)的體積.設(shè)玻璃球的半徑為，即圓柱形玻璃杯的底面半徑為則玻璃球的體積為，圓柱的底面面積為若放入一個(gè)玻璃球后，水恰好淹沒(méi)了玻璃球，則此時(shí)水面高度為所以，解得故選：B6．，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用基本不等式有，注意等號(hào)成立條件，即可證充分性，特殊值法令判斷必要性即可.【詳解】由，注意前一個(gè)等號(hào)成立條件為，所以，則，充分性成立；當(dāng)時(shí)，若，則，必要性不成立.所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A7．已知若，則（

）A．2 B． C．1 D．0【答案】B【分析】由題意在,上分別單調(diào)遞增，由條件即，從而得出，解出答案.【詳解】作出函數(shù)的圖像，在,上分別單調(diào)遞增.由，若，即，此時(shí)，所以，即，解得或（不滿足，舍去）此時(shí)滿足題意，則若，此時(shí)不存在滿足條件的故選：B8．已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的離心率為2，右頂點(diǎn)為，過(guò)的左焦點(diǎn)作軸的垂線，且與交于，兩點(diǎn)，若的面積為9，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)出雙曲線的方程，根據(jù)離心率可得，根據(jù)題意求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，進(jìn)而求得，結(jié)合三角形的面積公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可求出a，b.【詳解】設(shè)雙曲線的方程為，則，由離心率為2，得，則，因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)且垂直于x軸交E于點(diǎn)M、N，所以點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)都為-c，有，解得，所以，所以，又，則，所以，故，得，所以雙曲線的方程為：.故選：A9．納皮爾在他的《奇妙的對(duì)數(shù)表》一書(shū)中說(shuō)過(guò)：沒(méi)有什么比大數(shù)的運(yùn)算更讓數(shù)學(xué)工作者頭痛，更阻礙了天文學(xué)的發(fā)展.許凱和斯蒂菲爾這兩個(gè)數(shù)學(xué)家都想到了構(gòu)造了如下一個(gè)雙數(shù)列模型的方法處理大數(shù)運(yùn)算.012345678910124816326412825651210241112…19202122232425…20484096…52428810485762097152419430483886081677721633554432…如，我們發(fā)現(xiàn)512是9個(gè)2相乘，1024是10個(gè)2相乘.這兩者的積，其實(shí)就是2的個(gè)數(shù)做一個(gè)加法.所以只需要計(jì)算.那么接下來(lái)找到19對(duì)應(yīng)的數(shù)524288，這就是結(jié)果了.若，則落在區(qū)間（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算，對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，從表格數(shù)據(jù)入手，得到，進(jìn)而求出答案.【詳解】，設(shè)，，由表格得知：，，，，所以，，所以，，則故選：B10．的內(nèi)角，，所對(duì)邊分別為，，，若，，的面積為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先由面積公式求出，再用余弦定理計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)椋?，的面積為，所以，所以，由余弦定理即，解得；故選：D11．已知，，分別是橢圓的左焦點(diǎn)?右焦點(diǎn)?上頂點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若為等腰三角形，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意和橢圓的定義可得，進(jìn)而求出，，利用余弦定理求出，結(jié)合列出關(guān)于a與c的方程，解方程即可.【詳解】由橢圓的定義，得，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性，得，設(shè)，則，又，所以，因?yàn)闉榈妊切?，所以，即，得，所以，在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，又，所以，即，整理，得，所以，由，?故選：C12．已知，若，分別是方程，的根，則下列說(shuō)法：①；②；③，其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】由題意可得的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出3個(gè)函數(shù)的圖象，可求得的范圍，然后逐個(gè)分析判斷即可【詳解】，因?yàn)椋?，所以，且在上單調(diào)遞減，，分別是方程，的根，因?yàn)榕c互為反函數(shù)，所以與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，由，得，畫(huà)出函數(shù)，和的圖象，由圖可得，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以①正確，對(duì)于②，由圖可得，所以，因?yàn)?，所以，所以②正確，對(duì)于③，因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，因?yàn)楹突榉春瘮?shù)，所以與關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以或，化簡(jiǎn)得，所以③正確，故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合的思想，解題的關(guān)鍵是正確畫(huà)出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象分析求解的范圍，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題二、填空題13．已知向量，，若，則___________.【答案】-1.5【分析】求出的坐標(biāo)，利用向量垂直的坐標(biāo)形式可得關(guān)于的方程，從而得到的值.【詳解】因?yàn)椋?，故，因?yàn)?，故，解?故答案為：.14．已知函數(shù)的圖象與軸在原點(diǎn)右側(cè)的第一個(gè)交點(diǎn)為，在軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)為，則___________.【答案】【分析】先通過(guò)第一個(gè)交點(diǎn)和第一個(gè)最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)確定周期，再由最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)求出A，最后代入點(diǎn)，代入求值即可.【詳解】由與軸在原點(diǎn)右側(cè)的第一個(gè)交點(diǎn)為，在軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)為知，或，當(dāng)時(shí)，，，，代入點(diǎn)，，又，，，；當(dāng)時(shí)，，，，代入點(diǎn)，，又，，，.綜上，故答案為：.15．在直三棱柱中，、、、、分別是、、、、的中點(diǎn)，給出下列四個(gè)判斷：①平面；②平面；②平面；④平面，錯(cuò)誤的序號(hào)為_(kāi)__________.【答案】①②④【分析】連接、、、、、、、，證明出平面平面，利用面面平行的性質(zhì)結(jié)合假設(shè)法可判斷①②③④的正誤.【詳解】連接、、、、、、、，在三棱柱中，因?yàn)榍遥?，四邊形為平行四邊形，則且，、分別為、的中點(diǎn)，則且，故四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，故平面，同理可證四邊形為平行四邊形，則，，則四邊形為平行四邊形，所以，，平面，平面，則平面，，故平面平面，平面，則平面，③對(duì)；對(duì)于①，若平面，，則平面平面，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)且與平面平行的平面只有一個(gè)，矛盾，故①錯(cuò)，同理可知，②④均錯(cuò).故答案為：①②④.16．無(wú)限循環(huán)小數(shù)可以通過(guò)等比數(shù)列法轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù).如；應(yīng)用上述方法轉(zhuǎn)化（，為互質(zhì)整數(shù)），則___________.【答案】【詳解】根據(jù)題意給的轉(zhuǎn)化方法可得，化簡(jiǎn)計(jì)算即可.由題意知，.故答案為：.三、解答題17．某公司計(jì)劃招聘新員工40名，現(xiàn)有100名應(yīng)屆畢業(yè)生應(yīng)聘，采用先筆試再面試相結(jié)合的方式，筆試結(jié)束后，依據(jù)筆試成績(jī)按的比例確定入圍面試名單.這100名應(yīng)屆畢業(yè)生筆試成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示.(1)求的值及筆試成績(jī)的平均分；(2)根據(jù)頻率分布直方圖，請(qǐng)預(yù)估面試入圍分?jǐn)?shù)線（結(jié)果保留整數(shù)）.【答案】(1)，平均分為(2)113分【分析】（1）根據(jù)頻率之和為1求a,據(jù)此求平均值即可（2）先計(jì)算出參加面試人數(shù)，再得頻率，根據(jù)頻率分布直方圖利用面積為0.6求分?jǐn)?shù)線即可.(1)由圖知，則，所以平均分為；(2)因?yàn)槊嬖嚤壤秊椋瑒t應(yīng)有60人參加面試，故頻率為0.6，設(shè)分?jǐn)?shù)線為，則，解得（取整）所以預(yù)估面試入圍分?jǐn)?shù)線為113分.18．已知圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)的兩個(gè)同心圓的半徑分別為1和2，點(diǎn)和點(diǎn)分別從初始位置和處，按逆時(shí)針?lè)较蛞韵嗤俾释瑫r(shí)作圓周運(yùn)動(dòng).(1)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為時(shí)，求線段的長(zhǎng)度；(2)記，，求的最大值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）通過(guò)A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程，求出的大小，再借助余弦定理求邊長(zhǎng).（2）設(shè)出角度，分別表示和，借助倍角公式轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最值問(wèn)題.(1)因?yàn)辄c(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為，，所以，又，所以，，由余弦定理，所以.(2)設(shè)則，所以，，則，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.19．如圖，三棱錐的底面為直角三角形，為斜邊的中點(diǎn)，頂點(diǎn)在底面的投影為，，，.(1)求的長(zhǎng)；(2)求異面直線與所成角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）連接交于點(diǎn)，易證平面，再根據(jù)，為斜邊的中點(diǎn)，結(jié)合，得到求解；（2）連接，過(guò)點(diǎn)A作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，然后在中，利用余弦定理求解.(1)解：如圖所示：連接交于點(diǎn)，由題意知，平面，所以，又因?yàn)?，，所以平面，則，因?yàn)?，為斜邊的中點(diǎn)，所以，則，因?yàn)?，所以，則，所以；(2)如圖所示：連接，因?yàn)?，，為斜邊，所以，因?yàn)椋?，，過(guò)點(diǎn)A作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則，，，，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.20．已知面積為的等邊（是坐標(biāo)原點(diǎn)）的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線分別交軸于，兩點(diǎn).(1)求的值；(2)求的外接圓的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等邊的面積，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線方程，即可求得的值；（2）首先設(shè)切線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，，求得，，得，即可求得圓心和半徑.(1)因?yàn)榈冗叺拿娣e為，所以的邊長(zhǎng)，結(jié)合拋物線的對(duì)稱(chēng)性，得，所以，所以；(2)由（1）知，設(shè)切線方程為則，，由，得到，即，∴，，∴，的中點(diǎn)，將代入得出點(diǎn)，∴，∴的外接圓方程為.21．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，記極大值和極小值分別為，，求證：為常數(shù).【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，，的單調(diào)遞減區(qū)間為(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求導(dǎo)，進(jìn)而利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）先確定當(dāng)時(shí)，設(shè)的解為，且，則，，，由單調(diào)性求出，，從而證明出結(jié)論.(1)當(dāng)時(shí)，，令，可得，解得或；令，可得，解得，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，，的單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)，當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，故均不會(huì)有兩個(gè)極值點(diǎn)，舍去；當(dāng)時(shí)，設(shè)的解為，且則，，，且當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)或時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，，所以，故.22．在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線的極坐標(biāo)方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線與曲線在直角坐標(biāo)系第一象限交于點(diǎn)，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，求的面積.【答案】(1)，(2)【分析】（1）消去參數(shù)，可得直線的直角坐標(biāo)方程，再根據(jù)將其化為極坐標(biāo)即可；對(duì)兩邊同時(shí)乘以，在根據(jù)即可求出曲線的普通方程；（2）由求出，將其轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，根據(jù)幾何意義，利用面積公式，即可求出的面積.(1)解：由（為參數(shù)），得到，所以直線的極坐標(biāo)方程為，由，得到，所以曲線的普通方程；(2)解：由，解得或，由于直線與曲