初等數(shù)論試卷和標(biāo)準(zhǔn)答案-2023修改整理

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初等數(shù)論考試試卷1

一、單項(xiàng)挑選題(每題3分，共18分)

1、假如ab，ba，則().

Aba=

Bba-=

Cba≤

Dba±=

2、假如n3，n5，則15（）n.

A整除

B不整除

C等于

D不一定

3、在整數(shù)中正素?cái)?shù)的個數(shù)（）.

A有1個

B有限多

C無限多

D不一定

4、假如)(modmba≡,c是隨意整數(shù),則

A)(modmbcac≡

Bba=

CacT)(modmbc

Dba≠

5、假如(),則不定方程cbyax=+有解.

Acba),(

B),(bac

Cca

Daba),(

6、整數(shù)5874192能被()整除.

A3

B3與9

C9

D3或9

二、填空題(每題3分，共18分)

1、素?cái)?shù)寫成兩個平方數(shù)和的辦法是（）.

2、同余式)(mod0mbax≡+有解的充分須要條件是().

3、假如ba,是兩個正整數(shù),則不大于a而為b的倍數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)為

().

4、假如p是素?cái)?shù),a是隨意一個整數(shù),則a被p整除或者().

5、ba,的公倍數(shù)是它們最小公倍數(shù)的().

6、假如ba,是兩個正整數(shù),則存在()整數(shù)rq,,使rbqa+=,brπ≤0.

三、計(jì)算題(每題8分，共32分)

1、求[136,221,391]=?

2、求解不定方程144219=+yx.

3、解同余式)45(mod01512≡+x.

4、求

?????563429,其中563是素?cái)?shù).（8分）

四、證實(shí)題(第1小題10分，第2小題11分，第3小題11分，共32

分)

1、證實(shí)對于隨意整數(shù)n,數(shù)6233

2nnn++是整數(shù).

2、證實(shí)相鄰兩個整數(shù)的立方之差不能被5整除.

3、證實(shí)形如14-n的整數(shù)不能寫成兩個平方數(shù)的和.

試卷1答案

一、單項(xiàng)挑選題(每題3分，共18分)

1、D.

2、A

3、C

4、A

5、A

6、B

二、填空題(每題3分，共18分)

1、素?cái)?shù)寫成兩個平方數(shù)和的辦法是（唯一的）.

2、同余式)(mod0mbax≡+有解的充分須要條件是(bma),().

3、假如ba,是兩個正整數(shù),則不大于a而為b的倍數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)為

(][ba).

4、假如p是素?cái)?shù),a是隨意一個整數(shù),則a被p整除或者(與p互素).

5、ba,的公倍數(shù)是它們最小公倍數(shù)的(倍數(shù)).

6、假如ba,是兩個正整數(shù),則存在(唯一)整數(shù)rq,,使rbqa+=,brπ≤0.

三、計(jì)算題(每題8分，共32分)

1、求[136,221,391]=?（8分）

解[136,221,391]

=[[136,221],391]=[391,17221136?]

=[1768,391]

(4分)=17391

1768?

=104?391

=40664.

（4分）

2、求解不定方程144219=+yx.（8分）

解：由于（9，21）=3，1443，所以有解；

（2分）

化簡得4873=+yx；

（1分）

考慮173=+yx，有1,2=-=yx，（2

分）

所以原方程的特解為48,96=-=yx，

（1分）

因此，所求的解是Zttytx∈-=+-=,348,796。（2

分）

3、解同余式)45(mod01512≡+x.（8分）

解由于(12,45)=3|5,所以同余式有解,而且解的個數(shù)為3.

（1分）

又同余式等價于)15(mod054≡+x,即yx1554=+.

（1分）

我們利用解不定方程的辦法得到它的一個解是

(10,3),（2分）

即定理4.1中的100=x.

（1分）

因此同余式的3個解為

)45(mod10≡x,（1分）

)45(mod25)45(mod34510≡+≡x,（1分）

)45(mod40)45(mod345210≡?

+≡x.（1分）

4、求

?????563429,其中563是素?cái)?shù).（8分）解把????

?563429看成Jacobi符號,我們有?????-=??

????????=?????=?????=??

???-=?????42967)1(429674292429134429563429563)1(56342981

42921563.214292（3分）?????=?????--=?????-=?????-=?????--=??

???-=27672767)1(67276742967429)1(429672167.212721429.2167（2

分）

11311327)1(27132113.2127=?????=?????-=?????=--,（2分）

即429是563的平方剩余.（1

分）

四、證實(shí)題(第1小題10分，第2小題11分，第3小題11分，共32

分)

1、證實(shí)對于隨意整數(shù)n,數(shù)6233

2nnn++是整數(shù).(10分)

證實(shí)由于62332nnn++=)32(62nnn++=)2)(1(61++nnn,（3

分）

而且兩個延續(xù)整數(shù)的乘積是2的倍數(shù),3個延續(xù)整數(shù)的乘積是3的倍

數(shù),（2分）

并

且(2,3)=1,

（1分）所以從)2)(1(2++nnn和)2)(1(3++nnn有)2)(1(6++nnn,（3分）即6233

2nnn++是整數(shù).（1分）

2、證實(shí)相鄰兩個整數(shù)的立方之差不能被5整除.（11分）

證實(shí)因

為133)1(233++=-+nnnn,

（3分）

所以只需證實(shí)1332

++nnT)5(mod.

而我們知道模5的徹低剩余系由-2,-1,0,1,2構(gòu)成,

所以這只需將n=0,±1,±2代入1332++nn分離得值1，7，1，19，7.對于模5,1332++nn的值1，7，1，19，7只與1，2，4等同余,

所以1332++nnT

)5(mod（7分）

所以相鄰兩個整數(shù)的立方之差不能被5整除。（1分）

3、證實(shí)形如14-n的整數(shù)不能寫成兩個平方數(shù)的和.（11分）

證實(shí)設(shè)

n是正數(shù),并且)4(mod1-≡n,

（3分）

假如22yxn+=,

（1分）

則由于對于模4,yx,只與0,1,2,-1等同余,

所以22,yx只能與0,1同余,

所以

)4(mod2,1,022≡+yx,（4

分）

而這與)4(mod1-≡n的假設(shè)不符,（2分）

即定理的結(jié)論成立.（1分）

初等數(shù)論考試試卷二

一、單項(xiàng)挑選題

1、=),0(b（）.

Ab

Bb-

Cb

D0

2、假如1),(=ba，則),(baab+=（）.

Aa

Bb

C1

Dba+

3、小于30的素?cái)?shù)的個數(shù)（）.

A10

B9

C8

D7

4、假如)(modmba≡,c是隨意整數(shù),則

A)(modmbcac≡

Bba=

CacT)(modmbc

Dba≠

5、不定方程210231525=+yx（）.

A有解

B無解

C有正數(shù)解

D有負(fù)數(shù)解

6、整數(shù)5874192能被()整除.

A3

B3與9

C9

D3或9

7、假如ab，ba，則().

Aba=

Bba-=

Cba≥

Dba±=

8、公因數(shù)是最大公因數(shù)的（）.

A因數(shù)

B