初三數(shù)學(xué)培優(yōu)之方程思想

初三數(shù)學(xué)優(yōu)之方思想閱讀與考所謂方程思想就是從問題中發(fā)現(xiàn)或者構(gòu)造等量關(guān)系，恰當(dāng)引入未知量，尋找已知量與未知量的量關(guān)系，列方程或方程組，通過解方程或方程組而使問題獲解的解題方.應(yīng)用方程思想解決問題的常見途徑有：．引入字母，把代數(shù)式的化簡(jiǎn)求值問題轉(zhuǎn)化為方程或方程組問題來解；．突出主元，把等式看作是其中某個(gè)字母的方程，將問題轉(zhuǎn)化為方程或方程組問題探討；．造一元二次方程，利用求根公、根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)，求解代數(shù)式的相關(guān)問題；．列方程、方程組解應(yīng)用題；．通過列方程或方程組解幾何計(jì)算題，把幾何問題代數(shù)化．世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家笛卡爾曾有過一個(gè)偉大的設(shè)想：把所有問題

數(shù)學(xué)問題

代數(shù)問題雖然笛卡爾的理想在他的一生中未能實(shí)現(xiàn)，但隨著計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用，人們已經(jīng)越來越體驗(yàn)到程思想的重要性．構(gòu)造一元二次方程是方程思想解題最重要的途徑，在代數(shù)式的化簡(jiǎn)求值、求字母取值范圍、探最值等方面有廣泛的應(yīng)用．常用的構(gòu)造方法有：①用根的定義構(gòu)造；②用韋達(dá)定理的逆定理構(gòu)造；③對(duì)于含有多個(gè)字母的變?cè)仁絾栴}，把等式整理為關(guān)于某個(gè)字母的一元二次方.例題與解【1已：

a

，

b

，

c

，

d

是四個(gè)不同的有理數(shù)，且＋c）(a)＝1，(＋c)(b＋)＝1，那么(a十)(＋c)的值是______________

（江蘇省競(jìng)賽試題）解思：例內(nèi)容新穎，構(gòu)思巧妙，解題思路寬廣，或用殊值代入試算、或從變形已知等式入手仔觀察已知兩個(gè)等式特點(diǎn)，a，b可作是方程＋)(＋d＝的根，利用方程思想揭示題設(shè)條件與結(jié)論的內(nèi)在規(guī)律．

【2化簡(jiǎn)

的結(jié)果()A．

B．

C．

D．2（武漢市選拔賽試題）解思：

＝

，將二次根式的化簡(jiǎn)問題轉(zhuǎn)化為解方.【3已知實(shí)數(shù)，y滿

44，4，則的為xx4

)A.7

B

113713C．22

D．5（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）解思：題可以構(gòu)造一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系——韋定理解.【4知

，x

，

，求

7

的值．（“《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯”天津競(jìng)賽試題）解思：求的代數(shù)式中含三個(gè)字母，正好與已知的三個(gè)式中含的三個(gè)字母相同，所以可以將已知的三個(gè)等式組成二元二次方程組，求出這些未知數(shù)的值．

本例已知的三個(gè)等式中含的三個(gè)字母相同，結(jié)構(gòu)相同，排列位置循環(huán)轉(zhuǎn)，根據(jù)這些特點(diǎn)可構(gòu)造次方程求解，這也是解決這類問題的常見方.【5圖，eq\o\ac(△,Rt)中∠C＝°BC＝，AC．點(diǎn)Q是斜邊上動(dòng)，點(diǎn)P從B向A運(yùn)（不與點(diǎn)B重合Q從AB運(yùn)，BP＝AQ.點(diǎn)E，D別是點(diǎn)A，B以，P為稱中心的對(duì)稱點(diǎn)HQ⊥AB垂足為點(diǎn)Q，交于H，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)頂點(diǎn)時(shí)，，Q同停運(yùn)動(dòng)，當(dāng)BP長(zhǎng)何時(shí)，△HDE為腰三角形？（臺(tái)州市中考試題改編）解思：題可結(jié)合圖形，從幾何知識(shí)中找等量關(guān)系列方程．利用方程思想解幾何題，通常是對(duì)某幾何量進(jìn)行合理設(shè)元，根據(jù)幾何性質(zhì)正確列出方程、方程組，然后化歸為解方程、方程組的有關(guān)問題．著名數(shù)學(xué)家波利亞曾說：“為了使問題的概念完整，更富于啟發(fā)性，更為人所熟悉，我們可以入輔助元素”通過引入輔助元素，有利于各知識(shí)領(lǐng)域之間的橫向過渡，有利于轉(zhuǎn)化問題．解決題．引入輔助元素的常見形式有：①引入?yún)?shù)；④引入輔助配對(duì)代數(shù)式；

②引入輔助方程；⑤恰當(dāng)作輔助線；

③引入輔助函數(shù)；⑥引入輔助命題．

【】長(zhǎng)為，面積為整數(shù)的角三角形是否存在？若不存在，請(qǐng)給出證明；若存在，請(qǐng)證明有幾個(gè)．

（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）解思：直角三角形的斜邊為c，直角邊分別為，b，面積為s．由題設(shè)條件及幾何識(shí)可得到關(guān)于以a，c，的程，這樣，符合條件的直角三角形是否存在的探討就轉(zhuǎn)化方程組是有解的討論．能力訓(xùn)．a(chǎn)

52

，則

a543a3

＝_____________.

（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）．個(gè)讀書小組有六位同學(xué)別姓趙、錢、孫、李、周、吳，這個(gè)讀書小組有六書是，B，C，D，，．每人至少讀過其中的一本書，已知趙、錢、孫、李、周分讀過其中的2，2，43，本，而書A，，DE分被小組的，4，，，2位同學(xué)讀過，那么，吳姓同學(xué)讀____本書，書F被小組__________位學(xué)讀過．

2

，

2

，且

，那么k＝__________.．x，y，是數(shù)，并且滿足

xy，，

（河南省競(jìng)賽試題）的最小值是．（北京市競(jìng)賽試題）．圖，BB'分別是∠，∠的分線，若AA＝BB＝AB，BAC＝________．（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）．知

，則

xxyy

的值為)A0B．．D

7．某單位一次在快餐店訂了盒盒飯，共花費(fèi)元盒飯共有甲、乙、丙三種，它們的單價(jià)分別為、元，那么可能的不同訂餐方案()

（山東省競(jìng)賽試題）A.個(gè)

B2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)．知a

，

都是負(fù)實(shí)數(shù)，且

1ab

b，那么的為)a

（江蘇省競(jìng)賽試題）A

115B22

.

5D．2．是乙現(xiàn)在的年齡時(shí)，乙10歲乙是甲現(xiàn)在的年齡時(shí)，甲歲，那()A．甲比乙大歲

B甲比乙大歲

．乙比甲大歲

D．比大5（全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）．知

a4，2b

，則

abb3

的值是)

（山東省競(jìng)賽試題）A．

B

C．－35

．－．已知

xy2

，求

xy

2

的取值范圍．

（黃岡市競(jìng)賽試題）如，在eq\o\ac(△,Rt)ABC中＝°O是AB上.以為心，以為徑作圓，交AC于E，交于.若是

DF

的中點(diǎn)，且AEEF，＝4，求的弦值及BC的．（北京市海淀區(qū)中考試題）CFEA

D第1題圖

B

ABP11ABP112121122111122如，在四邊形ABCD中，＝DC＝，∠＝＝°BC，AD的長(zhǎng)線交于P，求·的小值.

（四川省競(jìng)賽試題）CDA

B第1題.設(shè)aa，b，b都實(shí)數(shù)≠a，足a＋b）＋＋b)＝1求證：（a＋＋）（＋）(＋)－1

（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）15.已知，bc是正整數(shù)，且拋物線

y

bx與x軸兩個(gè)不同交點(diǎn)AB．若A，B到原點(diǎn)的距離都小于1，求

的最小值．（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）16.在平面直角坐標(biāo)系中，我們把橫坐標(biāo)為整數(shù)，縱坐標(biāo)完全平方數(shù)的點(diǎn)稱為“好點(diǎn).求二次函數(shù)

y

的圖象上所有“好點(diǎn)”的坐標(biāo)．（《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯全國競(jìng)賽試題）

1?21?2已a(bǔ)bc為數(shù)滿以

a32

①，

b1caab

②證明：以

a

，

b

，

為三邊長(zhǎng)可構(gòu)成一個(gè)直角三角形．（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）.一自行車輪胎，若把它安裝在前輪，則自行車行駛km報(bào)廢；若把它安裝在后輪，則自行車行駛3000后廢，