2020版高考數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)通用版講義第七章第二節(jié)二元一次不等式（組）及簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題

第二節(jié)二元一次不等式(組)及簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題?畫二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域時(shí)，一般步驟為：直線定界，虛實(shí)分明；特殊點(diǎn)定域，優(yōu)選原點(diǎn)；陰影表示．注意不等式中有無(wú)等號(hào)，無(wú)等號(hào)時(shí)直線畫成虛線，有等號(hào)時(shí)直線畫成實(shí)線．特殊點(diǎn)一般選一個(gè)，當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，優(yōu)先選原點(diǎn)．?如果目標(biāo)函數(shù)存在一個(gè)最優(yōu)解，那么最優(yōu)解通常在可行域的頂點(diǎn)處取得；如果目標(biāo)函數(shù)存在多個(gè)最優(yōu)解，那么最優(yōu)解一般在可行域的邊界上取得.1．二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域不等式表示區(qū)域Ax＋By＋C＞0直線Ax＋By＋C＝0某一側(cè)的所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域不包括邊界直線Ax＋By＋C≥0包括邊界直線不等式組各個(gè)不等式所表示平面區(qū)域的公共部分?2．簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃中的基本概念名稱意義約束條件由變量x，y組成的不等式(組)線性約束條件由變量x，y組成的一次不等式(組)目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的函數(shù)解析式，如z＝2x＋3y等線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的一次函數(shù)解析式可行解滿足線性約束條件的解(x，y)可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值?的可行解線性規(guī)劃問(wèn)題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題[熟記常用結(jié)論](1)把直線ax＋by＝0向上平移時(shí)，直線ax＋by＝z在y軸上的截距eq\f(z,b)逐漸增大，且b＞0時(shí)z的值逐漸增大，b＜0時(shí)z的值逐漸減?。?2)把直線ax＋by＝0向下平移時(shí)，直線ax＋by＝z在y軸上的截距eq\f(z,b)逐漸減小，且b＞0時(shí)z的值逐漸減小，b＜0時(shí)z的值逐漸增大．以上規(guī)律可簡(jiǎn)記為：當(dāng)b＞0時(shí)，直線向上平移z變大，向下平移z變??；當(dāng)b＜0時(shí)，直線向上平移z變小，向下平移z變大．[小題查驗(yàn)基礎(chǔ)]一、判斷題(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面區(qū)域一定在直線Ax＋By＋C＝0的上方．()(2)線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解可能是不唯一的．()(3)在目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(b≠0)中，z的幾何意義是直線ax＋by－z＝0在y軸上的截距．()答案：(1)×(2)√(3)×二、選填題1．不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y＋6＜0，,x－y＋2≥0))表示的平面區(qū)域是()解析：選Cx－3y＋6＜0表示直線x－3y＋6＝0左上方部分，x－y＋2≥0表示直線x－y＋2＝0及其右下方部分．故不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)檫x項(xiàng)C所示陰影部分．2．不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋3y≥4，,3x＋y≤4))所表示的平面區(qū)域的面積等于()A.eq\f(3,2)B.eq\f(2,3)C.eq\f(4,3) D.eq\f(3,4)解析：選C不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示．解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y＝4，,3x＋y＝4))可得A(1,1)，易得B(0,4)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))，|BC|＝4－eq\f(4,3)＝eq\f(8,3).∴S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(8,3)×1＝eq\f(4,3).3．(2018·天津高考)設(shè)變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤5，,2x－y≤4，,－x＋y≤1，,y≥0，))則目標(biāo)函數(shù)z＝3x＋5y的最大值為()A．6 B．19C．21 D．45解析：選C作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，由z＝3x＋5y得y＝－eq\f(3,5)x＋eq\f(z,5).設(shè)直線l0為y＝－eq\f(3,5)x，平移直線l0，當(dāng)直線y＝－eq\f(3,5)x＋eq\f(z,5)過(guò)點(diǎn)P時(shí)，z取得最大值．聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋y＝1，,x＋y＝5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3，))即P(2,3)，所以zmax＝3×2＋5×3＝21.4．若點(diǎn)(m,1)在不等式2x＋3y－5＞0所表示的平面區(qū)域內(nèi)，則m的取值范圍是________．解析：∵點(diǎn)(m,1)在不等式2x＋3y－5＞0所表示的平面區(qū)域內(nèi)，∴2m＋3－5＞0，即m＞1.答案：(1，＋∞)5．已知點(diǎn)(－3，－1)和點(diǎn)(4，－6)在直線3x－2y－a＝0的兩側(cè)，則a的取值范圍為________．解析：根據(jù)題意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)＜0，即(a＋7)·(a－24)＜0，解得－7＜a＜24.答案：(－7,24)eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一二元一次不等式組表示的平面區(qū)域)eq\a\vs4\al([師生共研過(guò)關(guān)])[典例精析](1)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－6≤0，,x＋y－3≥0，,y≤2))表示的平面區(qū)域的面積為()A．4 B．1C．5 D．無(wú)窮大(2)若不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,2x＋y≤2，,y≥0，,x＋y≤a))表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞)) B．(0,1]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(4,3))) D．(0,1]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))[解析](1)作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，△ABC的面積即所求．求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為A(1,2)，B(2，2)，C(3,0)，則△ABC的面積為S＝eq\f(1,2)×(2－1)×2＝1.(2)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,2x＋y≤2，,y≥0))表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,2x＋y＝2，))得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝0，,2x＋y＝2，))得B(1,0)．若原不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,2x＋y≤2，,y≥0，,x＋y≤a))表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則直線x＋y＝a中a的取值范圍是0＜a≤1或a≥eq\f(4,3).[答案](1)B(2)D[解題技法]1．求平面區(qū)域面積的方法(1)首先畫出不等式組表示的平面區(qū)域，若不能直接畫出，應(yīng)利用題目的已知條件轉(zhuǎn)化為不等式組問(wèn)題，從而再作出平面區(qū)域；(2)對(duì)平面區(qū)域進(jìn)行分析，若為三角形應(yīng)確定底與高．若為規(guī)則的四邊形(如平行四邊形或梯形)，可利用面積公式直接求解．若為不規(guī)則四邊形，可分割成幾個(gè)規(guī)則圖形分別求解再求和即可．2．平面區(qū)域的形狀問(wèn)題兩種題型及解法(1)確定平面區(qū)域的形狀，求解時(shí)先畫滿足條件的平面區(qū)域，然后判斷其形狀；(2)根據(jù)平面區(qū)域的形狀求解參數(shù)問(wèn)題，求解時(shí)通常先畫滿足條件的平面區(qū)域，但要注意對(duì)參數(shù)進(jìn)行必要的討論．[過(guò)關(guān)訓(xùn)練]1．(2019·漳州調(diào)研)若不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥0，,x－y＋2≥0，,2x－y－2≤0))所表示的平面區(qū)域被直線l：mx－y＋m＋1＝0分為面積相等的兩部分，則m＝()A.eq\f(1,2) B．2C．－eq\f(1,2) D．－2解析：選A由題意可畫出可行域?yàn)椤鰽BC及其內(nèi)部所表示的平面區(qū)域，如圖所示．聯(lián)立可行域邊界所在直線方程，可得A(－1,1)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，－\f(2,3)))，C(4,6)．因?yàn)橹本€l：y＝m(x＋1)＋1過(guò)定點(diǎn)A(－1,1)，直線l將△ABC分為面積相等的兩部分，所以直線l過(guò)邊BC的中點(diǎn)D，易得Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，\f(8,3)))，代入mx－y＋m＋1＝0，得m＝eq\f(1,2)，故選A.2．若不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≤0，,x＋2y－2≥0，,x－y＋2m≥0))表示的平面區(qū)域?yàn)槿切?，且其面積等于eq\f(4,3)，則m的值為________．解析：如圖，要使不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿切?，則－2m＜2，即m＞－1，所圍成的區(qū)域?yàn)椤鰽BC，S△ABC＝S△ADC－S△BDC.點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為1＋m，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為eq\f(2,3)(1＋m)，C，D兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為2，－2m，所以S△ABC＝eq\f(1,2)(2＋2m)(1＋m)－eq\f(1,2)(2＋2m)·eq\f(2,3)(1＋m)＝eq\f(1,3)(1＋m)2＝eq\f(4,3)，解得m＝－3(舍去)或m＝1.答案：1eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題)eq\a\vs4\al([全析考法過(guò)關(guān)])[考法全析]考法(一)求線性目標(biāo)函數(shù)的最值[例1](2018·鄭州第一次質(zhì)量預(yù)測(cè))設(shè)變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x＋y－4≤0，,x－3y＋4≤0，))則目標(biāo)函數(shù)z＝2x－y的最小值為________．[解析]作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，作出直線y＝2x，平移該直線，易知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)A(1,3)時(shí)，z最小，zmin＝2×1－3＝－1.[答案]－1考法(二)求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值[例2]若實(shí)數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≤0，,x≥0，,y≤2.))則eq\f(y,x)的取值范圍為________．[解析]作出不等式組所表示的可行域，如圖中陰影部分所示．z＝eq\f(y,x)表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率，因此eq\f(y,x)的范圍為直線OB的斜率到直線OA的斜率(直線OA的斜率不存在，即zmax不存在)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0，,y＝2，))得B(1,2)，所以kOB＝eq\f(2,1)＝2，即zmin＝2，所以z的取值范圍是[2，＋∞)．[答案][2，＋∞)eq\a\vs4\al([變式發(fā)散])1．(變?cè)O(shè)問(wèn))本例條件不變，則目標(biāo)函數(shù)z＝x2＋y2的取值范圍為________．解析：z＝x2＋y2表示可行域內(nèi)的任意一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)之間距離的平方．因此x2＋y2的最小值為OA2，最大值為OB2.易知A(0,1)，所以O(shè)A2＝1，OB2＝12＋22＝5，所以z的取值范圍是[1,5]．答案：[1,5]2．(變?cè)O(shè)問(wèn))本例條件不變，則目標(biāo)函數(shù)z＝eq\f(y－1,x－1)的取值范圍為________．解析：z＝eq\f(y－1,x－1)可以看作點(diǎn)P(1,1)與平面內(nèi)任一點(diǎn)(x，y)連線的斜率．易知點(diǎn)P(1,1)與A(0,1)連線的斜率最大，為0.無(wú)最小值．所以z的取值范圍是(－∞，0]．答案：(－∞，0]考法(三)求參數(shù)值或取值范圍[例3](2019·黃岡模擬)已知x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋4≥0，,x≤2，,x＋y＋k≥0，))且z＝x＋3y的最小值為2，則常數(shù)k＝________.[解析]作出不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋4≥0，,x≤2，,x＋y＋k≥0))所表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，由z＝x＋3y得y＝－eq\f(1,3)x＋eq\f(z,3)，結(jié)合圖形可知當(dāng)直線y＝－eq\f(1,3)x＋eq\f(z,3)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z最小，聯(lián)立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,x＋y＋k＝0，))得A(2，－2－k)，此時(shí)zmin＝2＋3(－2－k)＝2，解得k＝－2.[答案]－2[規(guī)律探求]看個(gè)性考法(一)是求線性目標(biāo)函數(shù)的最值線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點(diǎn)或邊界處取得，所以直接解出可行域的頂點(diǎn)，將坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出相應(yīng)的數(shù)值，從而確定目標(biāo)函數(shù)的最值．考法(二)是求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值目標(biāo)函數(shù)是非線性形式的函數(shù)時(shí)，?？紤]目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，常見(jiàn)代數(shù)式的幾何意義主要有：(1)eq\r(x2＋y2)表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)間的距離，eq\r(x－a2＋y－b2)表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)間的距離；(2)eq\f(y,x)表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)連線的斜率，eq\f(y－b,x－a)表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)連線的斜率．考法(三)是由目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù)解決這類問(wèn)題時(shí)，首先要注意對(duì)參數(shù)取值的討論，將各種情況下的可行域畫出來(lái)，以確定是否符合題意，然后在符合題意的可行域里，尋求最優(yōu)解，從而確定參數(shù)的值．[口訣記憶](méi)線性規(guī)劃三類題，截距斜率和距離；目標(biāo)函數(shù)看特征，數(shù)形結(jié)合來(lái)解題．找共性利用線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)最值問(wèn)題的步驟(1)作圖——畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標(biāo)函數(shù)所表示的平面直線系中的任意一條直線l；(2)平移——將l平行移動(dòng)，以確定最優(yōu)解所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置．有時(shí)需要進(jìn)行目標(biāo)函數(shù)l和可行域邊界的斜率的大小比較；(3)求值——解有關(guān)方程組求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，再代入目標(biāo)函數(shù)，求出目標(biāo)函數(shù)的最值或根據(jù)最值求參數(shù).[過(guò)關(guān)訓(xùn)練]1．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)若x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y－2≤0，,x－y＋1≥0，,y≤0，))則z＝3x＋2y的最大值為________．解析：作出滿足約束條件的可行域如圖中陰影部分所示．由z＝3x＋2y，得y＝－eq\f(3,2)x＋eq\f(z,2).作直線l0：y＝－eq\f(3,2)x.平移直線l0，當(dāng)直線y＝－eq\f(3,2)x＋eq\f(z,2)過(guò)點(diǎn)(2,0)時(shí)，z取最大值，zmax＝3×2＋2×0＝6.答案：62．(2019·陜西教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))已知x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥2，,x＋y≤4，,2x－y－m≤0.))若目標(biāo)函數(shù)z＝3x＋y的最大值為10，則z的最小值為________．解析：畫出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，作直線l：3x＋y＝0，平移l，從而可知經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)z取到最大值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y＝10，,x＋y＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝1，))∴2×3－1－m＝0，m＝5.由圖知，平移l經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)，z最小，∴當(dāng)x＝2，y＝2×2－5＝－1時(shí)，z最小，zmin＝3×2－1＝5.答案：5eq\a\vs4\al(考點(diǎn)三線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用)eq\a\vs4\al([師生共研過(guò)關(guān)])[典例精析](2018·福州模擬)某工廠制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工兩道工序．已知生產(chǎn)一把椅子需要木工4個(gè)工作時(shí)，漆工2個(gè)工作時(shí)；生產(chǎn)一張桌子需要木工8個(gè)工作時(shí)，漆工1個(gè)工作時(shí)．生產(chǎn)一把椅子的利潤(rùn)為1500元，生產(chǎn)一張桌子的利潤(rùn)為2000元．該廠每個(gè)月木工最多完成8000個(gè)工作時(shí)、漆工最多完成1300個(gè)工作時(shí)．根據(jù)以上條件，該廠安排生產(chǎn)每個(gè)月所能獲得的最大利潤(rùn)是________元．[解析]設(shè)該廠每個(gè)月生產(chǎn)x把椅子，y張桌子，利潤(rùn)為z元，則得約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋8y≤8000，,2x＋y≤1300，,x∈N，y∈N，))z＝1500x＋2000y.畫出不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤2000，,2x＋y≤1300，,x≥0，x∈N，,y≥0，y∈N))表示的可行域如圖中陰影部分所示，畫出直線3x＋4y＝0，平移該直線，可知當(dāng)該直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P時(shí)，z取得最大值．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝2000，,2x＋y＝1300，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝200，,y＝900，))即P(200，900)，所以zmax＝1500×200＋2000×900＝2100000.故每個(gè)月所獲得的最大利潤(rùn)為2100000元．[答案]2100000[解題技法]解線性規(guī)劃應(yīng)用題的一般步驟：(1)分析題意，設(shè)出未知量；(2)列出約束條件和目標(biāo)函數(shù)；(3)作出平面區(qū)域；(4)判斷最優(yōu)解；(5)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題作答．[過(guò)關(guān)訓(xùn)練]1．(2018·河北“五個(gè)一名校聯(lián)盟”模擬)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需要A，B兩種原料，已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的限量如表所示．如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤(rùn)分別為3萬(wàn)元、4萬(wàn)元，則該企業(yè)每天可獲得的最大利潤(rùn)為()甲乙原料限量A/噸3212B/噸128A．16萬(wàn)元 B．17萬(wàn)元C．18萬(wàn)元 D．19萬(wàn)元解析：選C設(shè)該企業(yè)每天生產(chǎn)x噸甲產(chǎn)品，y噸乙產(chǎn)品，可獲得利潤(rùn)為z萬(wàn)元，則z＝3x＋4y，且x，y滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋2y≤12，,x＋2y≤8，,x≥0，,y≥0，))作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，作出直線3x＋4y＝0并平移，可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(2,3)時(shí)，z取得最大值，zmax＝3×2＋4×3＝18(萬(wàn)元)．故選C.2．某高新技術(shù)公司要生產(chǎn)一批新研發(fā)的A款產(chǎn)品和B款產(chǎn)品，生產(chǎn)一臺(tái)A款產(chǎn)品需要甲材料3kg，乙材料1kg，并且需要花費(fèi)1天時(shí)間，生產(chǎn)一臺(tái)B款產(chǎn)品需要甲材料1kg，乙材料3kg，也需要1天時(shí)間，已知生產(chǎn)一臺(tái)A款產(chǎn)品的利潤(rùn)是1000元，生產(chǎn)一臺(tái)B款產(chǎn)品的利潤(rùn)是2000元，公司目前有甲、乙材料各300kg，則在不超過(guò)120天的情況下，公司生產(chǎn)兩款產(chǎn)品的最大利潤(rùn)是________元．解析：設(shè)分別生產(chǎn)A款產(chǎn)品和B款產(chǎn)品x，y臺(tái)，利潤(rùn)之和為z元，則根據(jù)題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y≤300，,x＋3y≤300，,x＋y≤120，,x∈N，y∈N))目標(biāo)函數(shù)為z＝1000x＋2000y．畫出可行域如圖所示，由圖可知，當(dāng)直線y＝－eq\f(x,2)＋eq\f(z,2000)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M時(shí)，z取得最大值．聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y＝300，,x＋y＝120，))得M(30,90)．所以當(dāng)x＝30，y＝90時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，zmax＝30×1000＋90×2000＝210000.答案：210000eq\a\vs4\al([課時(shí)跟蹤檢測(cè)])一、題點(diǎn)全面練1．由直線x－y＋1＝0，x＋y－5＝0和x－1＝0所圍成的三角形區(qū)域(包括邊界)用不等式組可表示為()A.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≤0，,x＋y－5≤0，,x≥1))B.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x＋y－5≤0，,x≥1))C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x＋y－5≥0，,x≤1)) D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≤0，,x＋y－5≤0，,x≤1))解析：選A如圖，作出對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，三角形區(qū)域在直線x＝1的右側(cè)，則x≥1；在x－y＋1＝0的上方，則x－y＋1≤0；在x＋y－5＝0的下方，則x＋y－5≤0.故用不等式組表示為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≤0，,x＋y－5≤0，,x≥1.))故選A.2．(2018·南昌調(diào)研)設(shè)變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≥0，,x－2y＋2≥0，,2x－y－2≤0，))則z＝3x－2y的最大值為()A．－2 B．2C．3 D．4解析：選C作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，作出直線y＝eq\f(3,2)x，平移該直線，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)C(1,0)時(shí)，在y軸上的截距最小，z最大，此時(shí)z＝3×1－0＝3，故選C.3．(2019·黃岡模擬)若A為不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,y≥0，,y－x≤2))表示的平面區(qū)域，則a從－2連續(xù)變化到1時(shí)，動(dòng)直線x＋y＝a掃過(guò)A中的那部分區(qū)域的面積為()A．9eq\r(13) B．3eq\r(13)C.eq\f(7,2) D.eq\f(7,4)解析：選D如圖，不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,y≥0，,y－x≤2))表示的平面區(qū)域是△AOB，由動(dòng)直線x＋y＝a(即y＝－x＋a)在y軸上的截距從－2變化到1，知△ACD是斜邊為3的等腰直角三角形，△OEC是直角邊為1的等腰直角三角形，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,y－x＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,2)，,y＝\f(3,2)，))所以Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2)))，所以區(qū)域的面積S陰影＝S△ACD－S△OEC＝eq\f(1,2)×3×eq\f(3,2)－eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(7,4)，故選D.4．(2019·淄博模擬)已知點(diǎn)Q(2,0)，點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)滿足條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≤0，,x－y＋1≥0，,y＋1≥0，))則|PQ|的最小值是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C．1 D.eq\r(2)解析：選B作出P(x，y)的坐標(biāo)滿足條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≤0，,x－y＋1≥0，,y＋1≥0))的可行域，如圖中陰影部分所示．易得點(diǎn)Q到直線x＋y＝1的距離最小，所以|PQ|min＝eq\f(|2＋0－1|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).故選B.5．已知a＞0，x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x＋y≤3，,y≥ax－3，))若z＝2x＋y的最小值為1，則a＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C．1 D．2解析：選A不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，把目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y轉(zhuǎn)化為y＝－2x＋z，它表示的是斜率為－2，截距為z的平行直線系，當(dāng)截距最小時(shí)，z最?。?dāng)直線z＝2x＋y經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，z最?。蒭q\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,2x＋y＝1))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1，))因此－1＝a(1－3)，解得a＝eq\f(1,2)，故選A.6．(2019·開封模擬)已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≥0，,x＋2y＋2≥0，,x≤1，))則z＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－2y的最大值是________．解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，設(shè)u＝x－2y，由圖知，當(dāng)u＝x－2y經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,3)時(shí)取得最小值，即umin＝1－2×3＝－5，此時(shí)z＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－2y取得最大值，即zmax＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－5＝32.答案：327．已知x，y滿足以下約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥5，,x－y＋5≤0，,x≤3，))使z＝x＋ay(a＞0)取得最小值的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)個(gè)，則a的值為________．解析：∵z＝x＋ay，∴y＝－eq\f(1,a)x＋eq\f(z,a)，eq\f(z,a)為直線y＝－eq\f(1,a)x＋eq\f(z,a)在y軸上的截距．要使目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解有無(wú)窮多個(gè)，則截距最小時(shí)的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)個(gè)．∵a＞0，把y＝－eq\f(1,a)x＋eq\f(z,a)平移，使之與可行域的邊界AC重合即可，∴－eq\f(1,a)＝－1，滿足要求，∴a＝1.答案：18．(2019·山西五校聯(lián)考)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－1≥0，,x－y＋2≥0，,x＋4y－8≤0))表示的平面區(qū)域?yàn)棣福本€x＝a(a＞1)將平面區(qū)域Ω分成面積之比為1∶4的兩部分，則目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋y的最大值為________．解析：作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，平面區(qū)域Ω為△ABC及其內(nèi)部，作直線x＝a(1＜a＜4)交BC，AC分別于點(diǎn)E，F(xiàn).由題意可知S△EFC＝eq\f(1,5)S△ABC，則eq\f(1,2)(4－a)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)a＋2－1))＝eq\f(1,5)×eq\f(1,2)×5×1＝eq\f(1,2)，可得a＝2(a＝6舍去)，所以目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋y即為z＝2x＋y，易知z＝2x＋y在點(diǎn)C(4,1)處取得最大值，則zmax＝9.答案：99．若x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥1，,x－y≥－1，,2x－y≤2.))(1)求目標(biāo)函數(shù)z＝eq\f(1,2)x－y＋eq\f(1,2)的最值；(2)若目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋2y僅在點(diǎn)(1,0)處取得最小值，求a的取值范圍．解：(1)作出約束條件表示的可行域如圖中陰影部分所示，易知B(0，1)，C(1,0)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－2＝0，,x－y＋1＝0，))解得A(3,4)．平移直線eq\f(1,2)x－y＋eq\f(1,2)＝0，過(guò)A(3,4)取最小值－2，過(guò)C(1,0)取最大值1.所以z的最大值為1，最小值為－2.(2)直線ax＋2y＝z僅在點(diǎn)(1,0)處取得最小值，由圖象可知－1＜－eq\f(a,2)＜2，解得－4＜a＜2.故所求a的取值范圍為(－4,2)．10．電視臺(tái)播放甲、乙兩套連續(xù)劇，每次播放連續(xù)劇時(shí)，需要播放廣告．已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時(shí)，連續(xù)劇播放時(shí)長(zhǎng)、廣告播放時(shí)長(zhǎng)、收視人次如下表所示：連續(xù)劇播放時(shí)長(zhǎng)(分鐘)廣告播放時(shí)長(zhǎng)(分鐘)收視人次(萬(wàn))甲70560乙60525已知電視臺(tái)每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時(shí)間不多于600分鐘，廣告的總播放時(shí)間不少于30分鐘，且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍．分別用x，y表示每周計(jì)劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù)．(1)用x，y列出滿足題目條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；(2)問(wèn)電視臺(tái)每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次，才能使總收視人次最多？解：(1)由已知，x，y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(70x＋60y≤600，,5x＋5y≥30，,x≤2y，,x≥0，x∈N，,y≥0，y∈N，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7x＋6y≤60，,x＋y≥6，,x－2y≤0，,x≥0，x∈N，,y≥0，y∈N，))該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)閳D中的陰影部分中的整數(shù)點(diǎn)．(2)設(shè)總收視人次為z萬(wàn)，則目標(biāo)函數(shù)為z＝60x＋25y.考慮z＝60x＋25y，將它變形為y＝－eq\f(12,5)x＋eq\f(z,25)，這是斜率為－eq\f(12,5)，隨z變化的一族平行直線.eq\f(z,25)為直線在y軸上的截距，當(dāng)eq\f(z,25)取得最大值時(shí)，z的值最大．又因?yàn)閤，y滿足約束條件，所以由圖可知，當(dāng)直線z＝60x＋25y經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)M時(shí)，截距eq\f(z,25)最大，即z最大．解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7x＋6y＝60，,x－2y＝0，))得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6,3)．所以電視臺(tái)每周播出甲連續(xù)劇6次、乙連續(xù)劇3次時(shí)才能使總收視人次最多．二、專項(xiàng)培優(yōu)練(一)易錯(cuò)專練——不丟怨枉分1．設(shè)關(guān)于x，y的不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋1＞0，,x＋m＜0，,y－m＞0))表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)P(x0，y0)，滿足x0－2y0＝2，則m的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(5,3)))解析：選C作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，交點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－m，m)，直線x－2y＝2的斜率為eq\f(1,2)，斜截式方程為y＝eq\f(1,2)x－1，要使平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)P(x0，y0)滿足x0－2y0＝2，則點(diǎn)C(－m，m)必在直線x－2y＝2的下方，即m＜－eq\f(1,2)m－1，解得m＜－eq\f(2,3)，∴m的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2,3)))，故選C.2．(2019·金華模擬)設(shè)z＝kx＋y，其中實(shí)數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≥0，,x－2y＋4≥0，,2x－y－4≤0，))若z的最大值為12，則實(shí)數(shù)k＝________.解析：作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,2x－y－4＝0))得A(4,4)．同理，得B(0,2)．①當(dāng)k＞－eq\f(1,2)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z＝kx＋y在x＝4，y＝4時(shí)取最大值，即直線z＝kx＋y在y軸上的截距z最大，此時(shí)，12＝4k＋4，故k＝2.②當(dāng)k≤－eq\f(1,2)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z＝kx＋y在x＝0，y＝2時(shí)取最大值，即直線z＝kx＋y在y軸上的截距z最大，此時(shí)，12＝0×k＋2，故k不存在．綜上，k＝2.答案：23．若存在實(shí)數(shù)x，y，m使不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x－3y＋2≤0，,x＋y－6≤0))與不等式x－2y＋m≤0都成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．[0，＋∞) B．(－∞，3]C．[1，＋∞) D．[3，＋∞)解析：選B作出不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x－3y＋2≤0，,x＋y－6≤0))表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，其中A(4,2)，B(1,1)，C(3,3)．設(shè)z＝x－2y，將直線l：z＝x－2y進(jìn)行平移，當(dāng)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最大值，可得zmax＝4－2×2＝0，當(dāng)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最小值，可得zmin＝3－2×3＝－3，因此z＝x－2y的取值范圍為[－3,0]．∵存在實(shí)數(shù)m