2022-2023學年湖南省長沙市A佳教育聯盟高一年級下冊學期3月聯考數學試題【含答案】

2022-2023學年湖南省長沙市A佳教育聯盟高一下學期3月聯考數學試題一、單選題1．已知復數為純虛數，則實數的值為（

）A． B．0 C．1 D．0或1【答案】C【分析】根據題意和純虛數的概念可得，解之即可.【詳解】因為為純虛數，所以，解得.故選：C.2．已知向量，，且，則等于（

）A． B． C．10 D．【答案】D【分析】根據平面向量共線的坐標公式直接運算即可.【詳解】由，及，得，所以，故選：D3．秀峰公園里有塊周長為46米的扇形花田，其弧長30米，則這塊扇形花田的圓心角的弧度數是（

）A． B． C． D．120【答案】A【分析】利用扇形的周長和扇形的弧長公式計算即可.【詳解】設扇形的圓心角為，半徑為,弧長為，則由扇形的周長為46得：，所以則，故選：A.4．已知，則“”是“”成立的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】解兩個不等式，再由充分條件和必要條件的定義即可得出答案.【詳解】解不等式，得即，則，解不等式，得.所以“”是“”成立的必要不充分條件，即“”是“”成立的必要不充分條件.故選：B.5．函數的大致圖像是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先判斷函數奇偶性，再判斷趨近于時函數值的大小.【詳解】,故函數為奇函數，故排除A、C;當趨近于，則趨近于0，則趨近于，又在趨于時增速遠比快，故趨近于0，故當趨近于時，趨近于0，故排除D;故選：B.6．命題：，使得成立.若是假命題，則實數取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據命題的否定的真假性分離常數，結合基本不等式的知識求得的取值范圍.【詳解】因為命題：，使得成立，所以命題的否定為：，成立，而是假命題，故命題的否定為真命題.所以在上恒成立，因為，當且僅當時，等號成立，所以，即.故選：A7．點是所在平面內的一點，當且時，的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】利用三角形中向量運算，先后判斷出點是三角形重心，垂直平分，進而即可判斷三角形形狀.【詳解】因為，所以是的重心，又，所以垂直平分，所以為等腰三角形.故選：A8．已知定義在上的函數，滿足，函數的圖象關于點中心對稱，且對任意的，，不等式恒成立，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據條件判斷是奇函數，結合不等式的性質，構造函數，研究函數的奇偶性和取值情況，進行求解即可.【詳解】由題知的圖象關于點中心對稱，所以關于中心對稱，因為定義域為，所以為奇函數，記，當時，，即，所以在上單調遞減，因為，所以在上為偶函數，所以在上單調遞增，因為，，是在上為偶函數，且在上單調遞增，所以當，單調遞減，，而，所以，當，單調遞減，，而，所以，因為為奇函數，所以的解集為.故選：C.二、多選題9．下列不等式成立的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，，則【答案】BD【分析】當時，即可判斷A；當，即可判斷C；根據不等式的基本性質即可判斷C，D．【詳解】對于A，當時，則，故A錯誤；對于B，由，則，，故B正確；對于C，當，則，故C錯誤；對于D，由，，則，所以，故D正確．故選：BD．10．下列命題中正確的是（

）A．在中， B．若，則C．若，則 D．【答案】ACD【分析】根據三角形內角和與誘導公式化簡可判斷A；根據平方公式可判斷B；根據平方關系與商數關系齊次轉化可判斷C；根據正切兩角和公式可判斷D.【詳解】在中，，所以，故A正確；若，則，故B不正確；若，則，故C正確；，故D正確.故選：ACD.11．中國南宋時期杰出數學家秦九韶在《數書九章》中提出了已知三角形三邊求面積的公式，求其法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實，一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即．現有滿足，且，則（

）A．B．C．的外接圓半徑為D．中線的長為【答案】ABC【分析】由題設及正弦定理得，再結合已知條件求，，即可判斷A；應用余弦定理求角C即可判斷B；正弦定理求外接圓的半徑即可判斷C；根據向量的線性運算，結合選項A和數量積的性質求解模長即可判斷D．【詳解】因為滿足，所以由正弦定理得，設，，，因為的面積，所以，解得，即，因此A正確；對于B，由余弦定理得，又是三角形內角，因此，因此B正確；對于C，由正弦定理知外接圓直徑為，則外接圓半徑為，因此C正確；對于D，因為是的中線，所以，結合選項A得，即，因此D不正確．故選：ABC．12．在等腰梯形中，，且，點在梯形（含邊）內，滿足，則下列結論正確的是（

）A．當點與重合時，B．當點與梯形對角線的交點重合時，C．的取值范圍為D．的取值范圍是【答案】BCD【分析】根據所給條件，求出等腰梯形的特點，由向量的平行四邊形法則判斷A選項，由三角形相似得出，計算向量判斷B選項，由平面向量基本定理判斷C，由數量積的幾何意義判斷D，得出結果.【詳解】為等腰梯形，則，，由余弦定理可知，即，在中，，，，解得：，且.A選項：取中點，則四邊形為平行四邊形，當與重合時，，故A錯誤；B選項：因且，所以，故B正確；C選項：由平面向量基本定理知：當與重合時，當與重合時，，所以，C正確；D選項：因，由等于在上的投影向量與的數量積可知，當與重合時，取最大值2，當與重合時，取最小值.故D正確.故選：BCD三、填空題13．若冪函數在單調遞減，則________.【答案】【分析】根據冪函數的定義和性質即可求解.【詳解】根據冪函數的定義和性質，得，解得.經檢驗，符合題意.所以.故答案為：-2.14．已知，，，則與的夾角為______.【答案】【分析】根據向量的數量積概念及運算律，即可求出結果.【詳解】，所以，所以.又，所以.故答案為：15．如圖所示,正方形邊長為6,圓的半徑為1,是圓上任意一點,則的最小值為________.【答案】【分析】以為原點建立直角坐標系,然后結合三角函數的定義將所求向量坐標化,就可以求出最值.【詳解】如圖以為原點坐標,為軸,為軸建立直角坐標系:則,,設,,則,當且僅當即時等號成立.∴的最小值為.故答案為:.四、雙空題16．已知函數，.若，則實數________；若對，總使成立，則實數的取值范圍為________.【答案】

【分析】首先分別求出與，然后根據得，解方程即可求出的值；首先設的值域為，的值域為，再根據的函數解析式求出的值域，根據題意得出，進而根據集合的包含關系求出參數的取值范圍.【詳解】，，由，得，解得；設的值域為，的值域為，由題意.為偶函數且在為增函數，所以當時，的最大值為，最小值為，故.當時，，當時，為增函數，值域為，要使，則在連續(xù)且，即，解得.故答案為：；五、解答題17．已知集合，(1)若，求，；(2)若，求實數的取值范圍.【答案】(1)，(2)【分析】（1）確定集合，再根據集合的并集，補集，交集運算即可；（2）根據得，討論和時，即可求得實數的取值范圍.【詳解】（1）∵當時，集合，集合∴∵∴.（2）若，∴∴當時，，解得當時，，解得，滿足題意；綜上所述：實數的取值范圍是.18．已知向量，，.(1)若，求的值；(2)若，且，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據題意得到，再結合即可得到答案.（2）首先根據題意得到，從而得到，再根據求解即可.【詳解】（1）因為所以，所以由于，所以.（2）由所以，即.而所以.19．已知函數是定義域為的奇函數.(1)求的值；(2)若對，不等式恒成立，求實數的取值范圍.【答案】(1)1(2)【分析】（1）根據奇函數的性質可得，計算即可求出a；（2）利用函數的奇偶性和單調性解原不等式可得，設，，根據換元法和二次函數的性質即可求解.【詳解】（1）由函數為奇函數且定義為R，∵，當時，可得，故，則，得，經檢驗，符合題意，故；（2）由（1）可知，函數在上為減函數，由，得，所以，設，，則，又函數圖象是一條拋物線，開口向下，對稱軸為，所以在上，，所以，得，故實數的取值范圍.20．在中,角的對邊分別為,且滿足.(1)求角;(2)若為邊的中點,且,,求的周長.【答案】(1)(2)【分析】(1)由正弦定理將邊化角,然后利用內角和定理將轉化成即可求解;(2)分別在兩個三角形中用余弦定理即可求解出各邊長,從而求出周長.【詳解】（1）在中因為,由正弦定理得,所以,即,又因為,,所以,所以.（2）取邊的中點,連接,則，且,，在中,由余弦定理得:,解得,所以.在中,由余弦定理得:所以的周長為.21．為響應國家“降碳減排”號召，新能源汽車得到蓬勃發(fā)展，而電池是新能源汽車最核心的部件之一.湖南某企業(yè)為抓住新能源汽車發(fā)展帶來的歷史性機遇，決定開發(fā)生產一款新能源電池設備.生產這款設備的年固定成本為200萬元，每生產臺需要另投入成本（萬元），當年產量不足45臺時，萬元，當年產量不少于45臺時，萬元.若每臺設備的售價與銷售量的關系式為萬元，經過市場分析，該企業(yè)生產新能源電池設備能全部售完.(1)求年利潤（萬元）關于年產量（臺）的函數關系式；(2)年產量為多少臺時，該企業(yè)在這一款新能源電池設備的生產中獲利最大？最大利潤是多少萬元？【答案】(1)(2)當年產量為49臺時，該企業(yè)在這款新能源電池設備的生產中獲利潤最大，最大為701萬【分析】（1）根據題目給出的函數解析式，利用收益減去成本，可得答案；（2）根據二次函數的性質以及基本不等式，可求得最值，可得答案.【詳解】（1）當，時，；當，時，；綜上所述：（2）當，時，，則當時，的最大值為650；當，時，（當且僅當，即時等號成立）；∴當年產量為49臺時，該企業(yè)在這款新能源電池設備的生產中獲利潤最大，最大為701萬.22．已知函數，將的圖象向左平移個單位得的圖象.(1)求的最小正周期與單調遞增區(qū)間；(2)若方程在有且僅有一個零點，求實數的取值范圍.【答案】(1)，(2)或.【分析】（1）化簡的解析式，然后根據圖象的平移變換