2022-2023學(xué)年湖南省株洲市淥口區(qū)高二年級上冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年湖南省株洲市淥口區(qū)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，則直線的傾斜角為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】B【分析】利用，再根據(jù)傾斜角的定義，可得直線的傾斜角【詳解】因?yàn)椋O(shè)直線的傾斜角為，又因?yàn)?，且，故的傾斜角.故選：B.2．若點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解之即可.【詳解】由題意可得，解得.故選：A.3．已知數(shù)列：1，2，3，5，8，…，則89是該數(shù)列的第（

）項(xiàng).A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)列的規(guī)律求得正確答案.【詳解】由題意可得數(shù)列從第3項(xiàng)起，每一項(xiàng)等于前兩項(xiàng)的和，所以這個數(shù)列為：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…，所以89是該數(shù)列的第10項(xiàng).故選：B4．已知的三個頂點(diǎn)分別為，，，則邊上的高等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量運(yùn)算以及向量的夾角公式進(jìn)行求解.【詳解】由題意，，，可得，，，所以，所以邊上的高.故選：D.5．空間四邊形中，點(diǎn)M在上，且，為的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用空間向量加減和數(shù)乘運(yùn)算即可求解.【詳解】連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，故選：B.6．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)，在x軸上，離心率為，過的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且的周長為16，則橢圓C的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由三角形周長得a，再由離心率得c，求出b，得橢圓方程.【詳解】的周長為，即，離心率為，故，，所以橢圓的方程為.故選：D.7．若直線與直線交于點(diǎn)M，則M到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由兩直線的方程判斷兩直線的位置關(guān)系，得到交點(diǎn)在以為直徑的圓上，將點(diǎn)到原點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離問題.【詳解】兩直線滿足，所以兩直線垂直，由得，斜率存在且過定點(diǎn)，由得，過定點(diǎn)，故交點(diǎn)在以為直徑的圓上但不包含點(diǎn)，其中，則線段的最小值為.故選：C.8．如圖，在邊長為的等邊三角形中，圓與三條邊相切，圓與圓相切且與、相切，…，圓與圓相切且與、相切，依次得到圓、、…、.當(dāng)圓的半徑小于時，n的最小值為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】由正三角形性質(zhì)，分別根據(jù)幾何關(guān)系求出正三角形內(nèi)切圓半徑與邊長的關(guān)系，邊長與、的關(guān)系，即可進(jìn)一步求出與的關(guān)系，從而求出的通項(xiàng)公式，列不等式求解.【詳解】解：由題正三角形內(nèi)切圓半徑與邊長滿足，所以①，又，由正三角形性質(zhì)易得，邊上的高過圓心，且圓的切線，其中，則組成正三角形，即，則邊長與高滿足：，即②，由①②得，，所以，由，所以，∴數(shù)列為首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，故.由，得，解得，因?yàn)榍遥实淖钚≈禐?故選：B.二、多選題9．已知直線：，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均為1B．向量是直線的一個法向量C．過點(diǎn)與直線平行的直線方程為D．若直線m：，則【答案】BCD【分析】根據(jù)直線截距的概念判斷A即可；根據(jù)直線方向向量與法向量的關(guān)系判斷B即可；根據(jù)直線與直線的位置關(guān)系求解方程求解直線方程即可判斷C；根據(jù)一般式兩直線垂直的充要條件判斷D即可.【詳解】解：對于A，令，則，令，則，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均為，故A錯誤；對于B，因?yàn)橹本€的方向向量為或，則，所以向量是直線的一個法向量；故B正確.對于C，設(shè)與直線平行的直線方程為（），因?yàn)橹本€過，所以，所以過點(diǎn)與直線平行的直線方程為，故C正確.對于D，直線：的斜率為1，直線的斜率為，斜率，所以兩直線垂直，故D正確.故選：BCD.10．已知等差數(shù)列的公差，當(dāng)且僅當(dāng)時，的前n項(xiàng)和最小，則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)給定條件，確定等差數(shù)列的負(fù)數(shù)項(xiàng)和正數(shù)項(xiàng)，求出首項(xiàng)范圍，再利用前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)判斷作答.【詳解】等差數(shù)列的公差，則數(shù)列是遞增等差數(shù)列，又當(dāng)且僅當(dāng)時，最小，因此當(dāng)時，；當(dāng)時，，于是，解得，而，從而，，，，即與0的關(guān)系不確定，ABD正確，C錯誤.故選：ABD11．已知圓柱底面半徑，高，下底面圓心為O，上底面圓心為，A是下底面圓上任意一點(diǎn)，B是上底面圓上任意一點(diǎn)，則下列命題中正確的是（

）A．向量與的夾角為定值 B．的最大值為C．與夾角的最大值為 D．【答案】ACD【分析】建立合理的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，利用向量夾角公式即可判斷A,C，利用向量坐標(biāo)化的數(shù)量積計(jì)算即可判斷B，利用向量模長的相關(guān)計(jì)算方法即可判斷D.【詳解】以下底面互相垂直的兩條直徑和上下底面圓心連線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系；對A，由圓柱底面半徑，高，則可設(shè)，，其中，則，因?yàn)?，所以，故A正確；對B，，，則，則，則，所以的最大值為1，故B錯誤；對C，，因?yàn)?，所以，所以與夾角的最大值為，故C正確；對D，，，，故，故D正確.故選：ACD.12．已知到兩定點(diǎn)，距離乘積為常數(shù)16的動點(diǎn)的軌跡為，則（

）A．一定經(jīng)過原點(diǎn) B．關(guān)于軸、軸對稱C．的面積的最大值為45 D．在一個面積為64的矩形內(nèi)【答案】BCD【解析】先由已知條件求出點(diǎn)的軌跡方程，然后結(jié)合軌跡方程及三角形的面積公式逐一判斷即可得解.【詳解】解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意可得.對于A，將原點(diǎn)坐標(biāo)代入方程得，所以，A錯誤；對于B，點(diǎn)關(guān)于軸、軸的對稱點(diǎn)分別為、，∵，∵，則點(diǎn)、都在曲線上，所以，曲線關(guān)于軸、軸對稱，B正確；對于C，設(shè)，，，則，由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，則，所以，則的面積為，C正確；對于D，，可得，得，解得，由C知，，得，曲線在一個面積為的矩形內(nèi)，D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】本題考查了曲線軌跡方程的求法，重點(diǎn)考查了三角形的面積公式及不等式的應(yīng)用，屬中檔題.三、填空題13．寫出一個與x，y軸都相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：________．【答案】答案不唯一，例如【分析】設(shè)圓心的坐標(biāo)為（a，b），半徑為r，由題意可得，從而可得答案【詳解】解：設(shè)圓心的坐標(biāo)為（a，b），半徑為r，因?yàn)閳A與x，y軸都相切所以只要滿足即可，如令，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故答案為：（答案不唯一）14．某學(xué)校一航模小組進(jìn)行飛機(jī)模型飛行高度實(shí)驗(yàn)，飛機(jī)模型在第一分鐘內(nèi)上升了10米高度.若通過動力控制系統(tǒng)，可使飛機(jī)模型在以后的每一分鐘內(nèi)上升的高度都是它在前一分鐘上升高度的80%.在此動力控制系統(tǒng)下，該飛機(jī)模型在第三分鐘內(nèi)上升的高度是____________米.【答案】##6.4【分析】根據(jù)題意，得到，公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得答案.【詳解】由題意，飛機(jī)模型每分鐘上升的高度構(gòu)成，公比的等比數(shù)列，則米.即飛機(jī)模型在第三分鐘內(nèi)上升的高度是米.故答案為：15．已知橢圓（），以原點(diǎn)為圓心，b為半徑的圓經(jīng)過橢圓的左右焦點(diǎn)，，M為橢圓短軸的一個端點(diǎn)，的延長線交橢圓于點(diǎn)N，____________.【答案】##0.8【分析】確定三角形為等腰直角三角形，，，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理計(jì)算得到答案.【詳解】由題意，且三角形為等腰直角三角形，，，.設(shè)，則，根據(jù)，得，解得，故.故答案為：16．已知棱長為的正方體中，為側(cè)面中心，在棱上運(yùn)動，正方體表面上有一點(diǎn)滿足，則所有滿足條件的點(diǎn)構(gòu)成圖形的面積為______．【答案】.【詳解】分析：先考慮兩種特殊情況，假設(shè)點(diǎn)F和點(diǎn)D重合，假設(shè)點(diǎn)F和點(diǎn)A重合，求出每一種情況下點(diǎn)P的軌跡，再根據(jù)題意得到點(diǎn)P的軌跡在正方體表面組成的圖形，最后求圖形的面積.詳解：如圖所示，記中點(diǎn)為，假設(shè)點(diǎn)F和點(diǎn)D重合，作平面和正方體的左側(cè)面、右側(cè)面和下底面的交線，則分別為點(diǎn)P在上運(yùn)動.假設(shè)點(diǎn)F和點(diǎn)A重合，作平面和正方體的左側(cè)面、右側(cè)面和下底面的交線，則分別為點(diǎn)P在上運(yùn)動.所以點(diǎn)F在AD上運(yùn)動時，所求圖形為直角梯形、、．所以所求圖形的面積為故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查空間想象能力，考查極限的思想.要確定點(diǎn)P的軌跡在正方體表面組成的圖形，不是很好處理，所以可以先考慮兩種特殊情況，特殊情況下點(diǎn)P的圖形確定了，動點(diǎn)P的軌跡組成的圖形就容易確定了.四、解答題17．已知圓的方程為.(1)若直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，且，求m的值；(2)當(dāng)時，過點(diǎn)作圓的切線l，求切線l的方程.【答案】(1)(2)或【分析】(1)將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式和垂徑定理即可求解；(2)分斜率存在和斜率不存在兩種情況討論，根據(jù)直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑即可求解.【詳解】（1）由題意知，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（），所以圓心，半徑，所以圓心到直線的距離.由題意知，，所以.解得.（2）當(dāng)時，圓半徑為2.當(dāng)切線的斜率不存在時，切線的方程為當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)切線的方程為，即，由題意知，.解得.此時切線的方程為.綜上，切線的方程為或.18．已知數(shù)列中，，，（，）.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，設(shè)，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由題意，整理遞推公式，結(jié)合等比數(shù)列定義，可得數(shù)列為等比數(shù)列，利用累加法，可得答案；（2）根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，整理新數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消的方法，可得答案.【詳解】（1）∵（，），∴，.故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，，∴時，，時也成立，∴.（2）∵，∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列.∴數(shù)列的前項(xiàng)和為.∵，∴數(shù)列的前項(xiàng)和，∴.19．如圖，在棱長都相等的平行六面體中，，，兩兩夾角均為60°.(1)求的值；(2)求證：平面.【答案】(1)0(2)證明見解析【分析】（1）由空間向量數(shù)量積的運(yùn)算法則求解，（2）由數(shù)量積為0證明兩向量垂直，再由直線與平面垂直的判定定理證明，【詳解】（1）設(shè)平行六面體的棱長為1.令，，，則，.則有，故.故，.（2），.故，.故，即.又由（1）知，，平面，所以平面.20．如圖，正方體的棱長為2，E、F分別為和的中點(diǎn)，P為棱上的動點(diǎn).(1)若點(diǎn)P與重合，求證：平面；(2)當(dāng)平面與平面所成銳二面角的正弦值最小時，求的值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量方法證明，，結(jié)合線面垂直判定定理證明結(jié)論；(2)利用向量方法求平面與平面所成銳二面角的余弦值，根據(jù)同角關(guān)系求其正弦，再求其最小值確定的值.【詳解】（1）在正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?、分別為和的中點(diǎn)，與重合，則，，，，，，，，由，即，由，即，而，且，平面，因此，平面，（2）在（1）的空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)，，，，令平面的法向量為，則令，得，所以為平面的一個法向量，又為平面的一個法向量，設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此，當(dāng)，即時，取最大值，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以當(dāng)時，平面與平面所成銳二面角的正弦值最小時，此時.21．已知拋物線C：（）與圓O：交于A，B兩點(diǎn)，且，直線l過C的焦點(diǎn)F，且與C交于M，N兩點(diǎn).(1)拋物線C的方程；(2)求的最小值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)題意求點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入拋物線方程可求，即可得結(jié)果；（2）先利用韋達(dá)定理證，再結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】（1）設(shè)，根據(jù)拋物線和圓的對稱性得，由，解得，故點(diǎn)在拋物線：上，所以，解得，故拋物線：；（2）由拋物線：，得，設(shè)直線：，，，聯(lián)立方程，消去得，則，，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，故的最小值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解定值問題的三個步驟：（1）由特例得出一個值，此值一般就是定值；（2）證明定值，有時可直接證明定值，有時將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)（某些變量）無關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；（3）得出結(jié)論．22．已知曲線C為雙曲線的右支，斜率為k的直線l過雙曲線右焦點(diǎn)，且與曲線C相交于A，B兩點(diǎn).(1)求斜率k的取值范圍；(2)在x軸上是否存在點(diǎn)M使得，如果存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在，定點(diǎn)【分析】（1）由雙