2023屆江蘇省南京市、鹽城市高三年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末調(diào)研反饋數(shù)學(xué)練習(xí)題【含答案】

2023屆江蘇省南京市、鹽城市高三上學(xué)期期末調(diào)研反饋數(shù)學(xué)練習(xí)題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，將集合分別化簡(jiǎn)，然后根據(jù)集合的交集運(yùn)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)榧?，集合則故選:D2．已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，根據(jù)求得，根據(jù)求得代入運(yùn)算，再根據(jù)模長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】設(shè)，因?yàn)椋?，解得或所以?因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則；故選：A3．與直線和均相切的一個(gè)圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用直線與圓相切的條件及點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】對(duì)于A，由，得圓的圓心為，半徑為，所以圓心為直線的距離為，圓心為直線的距離為，所以圓與直線和均不相切，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，得圓的圓心為，半徑為，所以圓心為直線的距離為，圓心為直線的距離為，所以圓與直線和均不相切，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得圓的圓心為，半徑為，所以圓心為直線的距離為，圓心為直線的距離為，所以圓與直線和均相切，故C正確；對(duì)于D，由，得圓的圓心為，半徑為，所以圓心為直線的距離為，圓心為直線的距離為，所以圓與直線相切，圓與直線不相切，故D錯(cuò)誤.故選：C.4．若，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】由已知展開式，利用二項(xiàng)式定理對(duì)等號(hào)右邊進(jìn)行化簡(jiǎn)，與等號(hào)左邊組成方程求解.【詳解】則，即.故選：B5．已知隨機(jī)變量且，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性列方程，再解方程即可.【詳解】，.因?yàn)?，所以，解?故選：B.6．現(xiàn)有印有數(shù)字0，1，2，6，12，20，22，26的卡片，每種卡片均相同且有若干張.若從中任選幾張卡片并擺成一排，則數(shù)字的擺放方式共有（

）A．14種 B．16種 C．18種 D．20種【答案】C【分析】先求擺放20的方式，再求擺放220的方式，最后求擺放126的方式，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】依題意，擺放20的方式有：2，0或20兩種方式；擺放220的方式有：2，2，0或22，0或2，20三種方式；擺放126的方式有：1，2，6或12，6或1，26三種方式；由分步計(jì)數(shù)原理知，數(shù)字的擺放方式共有：種方式.故選：C.7．設(shè)，函數(shù)滿足，則α落于區(qū)間（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意，確定函數(shù)的最大值，根據(jù)最值和極值的關(guān)系，可得方程，利用零點(diǎn)存在性定理，可得答案.【詳解】由題意，可知函數(shù)在上當(dāng)時(shí)取得最大值，且，由于，則，由，，，，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，可知，故選：C.8．已知是面積為的等邊三角形，四邊形是面積為2的正方形，其各頂點(diǎn)均位于的內(nèi)部及三邊上，且可在內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先分別求出等邊三角形和正方形的邊長(zhǎng)及其內(nèi)切圓半徑，根據(jù)所求結(jié)果和正方形可在內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)可知，正方形各個(gè)頂點(diǎn)在三角形的內(nèi)切圓上，建立合適的直角坐標(biāo)系，求出三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)和其內(nèi)切圓的方程，設(shè)出的三角坐標(biāo)，根據(jù)可得到關(guān)于坐標(biāo)中變量的關(guān)系，分類討論代入中化簡(jiǎn)，用輔助角公式分別求出最大值，選出結(jié)果即可.【詳解】解：因?yàn)槭敲娣e為的等邊三角形，記邊長(zhǎng)為，所以，解得，記三角形內(nèi)切圓的半徑為，根據(jù)，可得：，解得，因?yàn)檎叫蚊娣e為2，所以正方形邊長(zhǎng)為，記正方形外接圓半徑為，所以其外接圓直徑等于正方形的對(duì)角線2，即，根據(jù)正方形的對(duì)稱性和等邊三角形的對(duì)稱性可知，正方形外接圓即為等邊三角形的內(nèi)切圓，因?yàn)檎叫慰稍趦?nèi)任意旋轉(zhuǎn)，可知正方形各個(gè)頂點(diǎn)均在該三角形的內(nèi)切圓上，以三角形底邊為軸，以的垂直平分線為軸建立直角坐標(biāo)系如圖所示：故可知，圓的方程為，故設(shè)，，因?yàn)椋?，化?jiǎn)可得，即，解得或，①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)可化為，此時(shí)，所以當(dāng)，即，即，即時(shí)，取得最大值；②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)可化為，此時(shí)，因?yàn)?，所以?dāng)，即，即，即時(shí)，取得最大值，綜上可知：取得最大值.故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：該題考查平面幾何的綜合應(yīng)用，屬于難題，關(guān)于圓錐曲線中點(diǎn)的三角坐標(biāo)的設(shè)法有：（1）若點(diǎn)在圓上，可設(shè)點(diǎn)為，其中；（2）若點(diǎn)在圓上，可設(shè)點(diǎn)為，其中；（3）若點(diǎn)在橢圓上，可設(shè)點(diǎn)為，其中；二、多選題9．在長(zhǎng)方體中，，則（

）A．與是異面直線 B．與是異面直線C．異面直線與的距離為1 D．異面直線與的距離為【答案】ABD【分析】利用異面直線的定義判斷選項(xiàng)AB，求出異面直線與的距離為2，即可判斷選項(xiàng)C,把異面直線與的距離轉(zhuǎn)化為到平面的距離，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，再利用等體積法求解判斷.【詳解】如圖所示，與是異面直線，與是異面直線，所以選項(xiàng)AB正確；由正方體得平面，所以.又,所以是異面直線與的公垂線段，又，所以異面直線與的距離為2，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；因?yàn)槠矫?平面，所以平面，所以到平面的距離就是異面直線與的距離，即點(diǎn)到平面的距離就是異面直線與的距離.設(shè)距離為由題得.因?yàn)?所以異面直線與的距離為，所以選項(xiàng)D正確.故選：ABD10．已知均為第二象限角，且，則可能存在（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】利用二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)變形，得到的關(guān)系，然后分類討論即可.【詳解】均為第二象限角，化簡(jiǎn)得：若，則在第二象限，故A錯(cuò)；若，，在第二象限，此時(shí)符合條件，故C正確；當(dāng)，由C選項(xiàng)可知，符合條件，此時(shí)均存在，的情況，故B,D正確；故選：BCD.11．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓.過(guò)點(diǎn)作斜率分別為和的兩條直線，，其中與交于兩點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，且，則（

）A．的離心率為 B．C． D．四點(diǎn)共圓【答案】ABD【分析】求得點(diǎn)坐標(biāo)并代入橢圓方程，由此求得，進(jìn)而求得橢圓的離心率.設(shè)出直線和的參數(shù)方程并與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系、圓的知識(shí)求得正確答案.【詳解】依題意，即，所以，解得（負(fù)根舍去）.所以橢圓，則.依題意可知直線的傾斜角為銳角，且，由解得.直線的傾斜角為鈍角，且，由解得.設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），由整理得，解得（不妨設(shè)）.設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），由整理得，解得（不妨設(shè)）.所以，B選項(xiàng)正確.，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.，所以，而，所以，所以，所以四點(diǎn)共圓.（也可用圓的相交弦定理的逆定理，直接由判斷出四點(diǎn)共圓）所以D選項(xiàng)正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】待定系數(shù)法求橢圓的方程，可利用題目所給已知條件，列出等量關(guān)系式，由此來(lái)求得橢圓方程中的未知參數(shù).四點(diǎn)共圓的證明方法，可利用相交弦定理的逆定理，也可利用“同弧所對(duì)的圓周角相等”來(lái)證明.12．已知數(shù)列的項(xiàng)數(shù)均為（為確定的正整數(shù)，且），若，，則（

）A．中可能有項(xiàng)為1 B．中至多有項(xiàng)為1C．可能是以為公比的等比數(shù)列 D．可能是以2為公比的等比數(shù)列【答案】AC【分析】利用求出數(shù)列，再根據(jù)的取值判斷即可.【詳解】由題意可得①，②，①-②得，同理可得，所以數(shù)列中僅有1項(xiàng)為1，因?yàn)?，所以B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，A正確；，所以當(dāng)時(shí)，是以為公比的等比數(shù)列，C正確，D錯(cuò)誤；故選：AC三、填空題13．若直線與曲線和均相切，則__________.【答案】##【分析】先根據(jù)直線和相切求出，再利用直線和相切求出.【詳解】設(shè)直線與相切于點(diǎn)，，因?yàn)橹本€與相切，所以，且；解得；因?yàn)橹本€與曲線相切，聯(lián)立得，且，即.故答案為：.14．在三棱錐中，，且，則直線PC與平面ABC所成角的余弦值為__________.【答案】【分析】先利用線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理證得面，從而得到為直線PC與平面ABC所成角的平面角，再利用余弦定理與勾股定理求得，從而求得，由此得解.【詳解】記的中點(diǎn)為，連結(jié)，過(guò)作交的延長(zhǎng)線于，如圖，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，，，所以，則，又為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槊?，所以面，又面，所以，因?yàn)?，面，所以面，所以為直線PC與平面ABC所成角的平面角，不妨設(shè)，在中，，則，，在中，，在中，，則，即，故，在中，，所以在中，，又，則，即，所以，所以，故直線PC與平面ABC所成角的余弦值為.故答案為：.四、解答題15．已知直線與雙曲線C：交于點(diǎn)，.為C上一點(diǎn)，且，，則△PAB的面積最大值為__________.【答案】【分析】先求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求得與直線平行且與雙曲線相切的直線方程，根據(jù)三角形面積公式以及兩平行線間的距離公式求得正確答案.【詳解】依題意，，由解得或，所以為定值，由于，，所以在雙曲線兩點(diǎn)間的曲線上，在第一象限，當(dāng)距離最遠(yuǎn)時(shí)，三角形的面積取得最大值，設(shè)直線與雙曲線C：相切于點(diǎn)，由消去并化簡(jiǎn)得，由解得（正根舍去），故切線方程為，直線與直線的距離為，所以△PAB的面積最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】求解雙曲線的切線方程，可先設(shè)出切線的方程，然后聯(lián)立切線的方程和雙曲線的方程，化簡(jiǎn)成一元二次方程的形式，結(jié)合判別式即可求得切線方程.五、填空題16．已知定義在R上的偶函數(shù)滿足.若，且在單調(diào)遞增，則滿足的x的取值范圍是__________.【答案】【分析】由題意可知，是周期為的周期函數(shù)，的最小正周期為8，結(jié)合與的單調(diào)性，易知在一個(gè)周期內(nèi)，由，可得，再結(jié)合周期求出范圍即可.【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，由，可得關(guān)于對(duì)稱，因?yàn)?，所以，則，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，因?yàn)椋?，則，所以函數(shù)是周期為的周期函數(shù).因?yàn)槭桥己瘮?shù)，且在單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞減，令中，則，則，又因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱，所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，結(jié)合函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，綜上可得在，上單調(diào)遞增，，上單調(diào)遞減.因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，結(jié)合圖象可知，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令中，則，則，當(dāng)，又，所以，當(dāng)，又，所以，所以當(dāng)時(shí)，，解得.又因?yàn)榕c均為周期函數(shù)，且8均為其周期，所以的x的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題解題的關(guān)鍵是求出與的周期性，由，，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和周期性求解即可.六、解答題17．記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.(1)證明：；(2)若的面積最大值為，求c.【答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)2【分析】（1）先利用兩角差的正弦公式展開，再利用正弦定理，將所給的條件角化邊，最后利用余弦定理即可證明；（2）利用公式及同角關(guān)系表示面積，然后利用基本不等式求出最值的條件，求解即可.【詳解】（1）由可得，，再由正弦定理可得，，即，根據(jù)余弦定理可知，，化簡(jiǎn)得：，故原等式成立.（2），當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以，所以，即.18．已知數(shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)已知兩式化簡(jiǎn)，分別求得和.（2）由（1）利用求和公式可得，再利用數(shù)學(xué)歸納法即可得證.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又，所以，所以?（2）由（1）知，，，則，，當(dāng)時(shí)，，，故；當(dāng)時(shí)，，，故；假設(shè)當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，故，則，即，所以，則，綜上：.19．某食品研究員正在對(duì)一種過(guò)期食品中菌落數(shù)目進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，為檢測(cè)該種過(guò)期食品的腐敗程度，研究員現(xiàn)對(duì)若干份過(guò)期不同天數(shù)的該種食品樣本進(jìn)行檢測(cè)，并且對(duì)樣本的菌落數(shù)目逐一統(tǒng)計(jì)，得到如下數(shù)據(jù)：過(guò)期天數(shù)（單位：天）12345菌落數(shù)目（單位：千個(gè)）(1)請(qǐng)用線性回歸模型擬合與的關(guān)系；(2)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，該種食品在未添加防腐劑的條件下（其余條件相同），短期內(nèi)（7天內(nèi)）菌落數(shù)目（單位：千個(gè)）與過(guò)期天數(shù)（單位：天）應(yīng)滿足關(guān)系：.（i）判斷該樣本是否添加防腐劑；（ii）簡(jiǎn)要分析過(guò)期7天內(nèi)防腐劑發(fā)揮的效果.附：.【答案】(1)(2)（i）該樣本添加了防腐劑；（ii）抑制食品產(chǎn)生菌落，且效果越來(lái)越好.【分析】（1）根據(jù)線性回歸方程的求法根據(jù)已知即可得出答案；（2）（i）根據(jù)回歸方程過(guò)樣本中心列式即可判斷；（ii）根據(jù)所給關(guān)系得出未添加防腐劑的條件下的各天的菌落數(shù)目，與已知添加防腐劑的條件下的各天的菌落數(shù)目對(duì)比，即可總結(jié)得出答案.【詳解】（1）由題意可得：，，且，，所以，則，所以回歸直線方程為（2）（i），則樣本不滿足未添加防腐劑的條件，即該樣本添加了防腐劑；（ii）根據(jù)該種食品在未添加防腐劑的條件下應(yīng)滿足關(guān)系：，可得，，，，，即過(guò)期天數(shù)（單位：天）12345添加防腐劑菌落數(shù)目（單位：千個(gè)）未添加防腐劑菌落數(shù)目（單位：千個(gè)）則過(guò)期7天內(nèi)防腐劑讓其菌落數(shù)目小于未添加防腐劑，且差距越來(lái)越大，即過(guò)期7天內(nèi)防腐劑發(fā)揮的效果為抑制食品產(chǎn)生菌落，且效果越來(lái)越好.20．如圖，三棱錐和均為棱長(zhǎng)為2的正四面體，且A，B，C，D四點(diǎn)共面，記直線AE與CF的交點(diǎn)為Q.(1)求三棱錐的體積；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用平面幾何的知識(shí)證得與，從而利用線面垂直的判定定理證得面，進(jìn)而得到面，結(jié)合正四面體的性質(zhì)可得是底面的中心，由此可求得，再利用切割法即可求得解；（2）利用（1）中結(jié)論，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得面與面的法向量，從而利用空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示求得二面角的余弦值，進(jìn)而得解.【詳解】（1）連結(jié)，連結(jié)，過(guò)作，且，如圖，因?yàn)槿忮F和均為棱長(zhǎng)為2的正四面體，易得，則，則，所以，所以，因?yàn)?，所以，則，又是的中點(diǎn)，所以，又面，所以面，因?yàn)?，所以面，又三棱錐是正四面體，所以是底面的中心，在邊長(zhǎng)為的等邊中，易得，，在中，，則，又，所以，則，因?yàn)?，所以，故三棱錐的體積為.（2）由（1）知四邊形是菱形，則，又，，所以兩兩垂直，故以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則，故，設(shè)面的一個(gè)法向量為，則，令，則，故，設(shè)面的一個(gè)法向量為，則，令，則，故，設(shè)二面角為，所以，所以，所以二面角的正弦值為.21．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線E：的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為2.(1)求p；(2)若A，B，C為E上不同的三點(diǎn)，且，直線AB，F(xiàn)C分別與l交于點(diǎn)M，N，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離即可.（2）根據(jù)角度相等，得出FC為角平分線，利用角平分線的性質(zhì)定理，列方程求解.【詳解】（1）焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為2故.（2）設(shè)且準(zhǔn)線方程：則設(shè),直線AB，F(xiàn)C的交點(diǎn)結(jié)合得：所以，【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種:(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān);(2)直接推理