線化代數(shù)方程組的迭代解法

線化代數(shù)方程組的迭代解法演示文稿現(xiàn)在是1頁\一共有33頁\編輯于星期日優(yōu)選線化代數(shù)方程組的迭代解法現(xiàn)在是2頁\一共有33頁\編輯于星期日多維情況求解特點和難點1.系數(shù)可能是求解函數(shù)的函數(shù)，而使方程具有非線性性質(zhì)，需要線化迭代求解外迭代：反復更新非線性方程的系數(shù)而使方程線化求解的過程2.線化的代數(shù)方程組，系數(shù)矩陣不再是三對角陣，而是一個大型稀疏矩陣，不能TDMA直接求解。Gauss消元法，需很大的內(nèi)存，且計算效率低內(nèi)迭代：求解線化方程而使用迭代方法的過程現(xiàn)在是3頁\一共有33頁\編輯于星期日建立控制方程、確定初始與邊界條件流程圖（非穩(wěn)態(tài)情況）解域離散、方程離散初邊條件離散給出節(jié)點初始溫度值計算系數(shù)，固定，線化代數(shù)方程求解離散的線化的代數(shù)方程組進入下一時層求解解收斂否？YesNo以新溫度值替代老溫度值外迭代現(xiàn)在是4頁\一共有33頁\編輯于星期日建立控制方程、確定初始與邊界條件流程圖解域離散、方程離散初邊條件離散給出節(jié)點初始溫度值計算系數(shù)，固定，線化代數(shù)方程求解離散的線化的代數(shù)方程組進入下一時層求解解收斂否？YesNo以新溫度值替代老溫度值線化方程的迭代解法(內(nèi)迭代)外迭代現(xiàn)在是5頁\一共有33頁\編輯于星期日1．迭代求解的基本思想方程組的矩陣形式：構(gòu)造向量(即求解函數(shù)T的序列)試探解真實解迭代收斂過程現(xiàn)在是6頁\一共有33頁\編輯于星期日構(gòu)造向量的方法也稱為“迭代方式”從n-1

迭代層，經(jīng)過一次迭代(與A,b相關(guān))，演進到

n迭代層現(xiàn)在是7頁\一共有33頁\編輯于星期日收斂條件或者：現(xiàn)在是8頁\一共有33頁\編輯于星期日“迭代”是求解線化了的代數(shù)方程組的方法在算法地位上與TDMA方法類似現(xiàn)在是9頁\一共有33頁\編輯于星期日迭代推進一層與時間演進一步

的區(qū)別迭代是求解方程的方法，迭代推進一層并非時間演進一步迭代收斂之后才表示該方程組已經(jīng)求解，此時表示該次的內(nèi)迭代求解過程結(jié)束只有在方程為線性的情況下，迭代收斂才意味著時間演進了一步現(xiàn)在是10頁\一共有33頁\編輯于星期日2．常用的迭代求解方法三類迭代方法：點迭代(顯式迭代)、塊迭代(隱式迭代)和交替方向線迭代三種實施方式：簡單(Jacob)迭代、Gauss-Seidel迭代和逐次松弛迭代現(xiàn)在是11頁\一共有33頁\編輯于星期日以直角坐標下二維非穩(wěn)態(tài)導熱

離散方程為例(全隱式)現(xiàn)在是12頁\一共有33頁\編輯于星期日特別注意雖然差分離散格式方程為全隱式，但其迭代求解方法可以是顯式迭代(點迭代)，隱式迭代(塊迭代/線迭代)，或者交替方向隱式迭代(交替方向線迭代)。差分離散方程為時間層演進，上標為n,n+1迭代格式代表迭代層演進，上標(k),(k+1)現(xiàn)在是13頁\一共有33頁\編輯于星期日1)點迭代法(顯式迭代)i簡單迭代：又稱Jacobi迭代優(yōu)點：構(gòu)造簡單缺點：收斂很慢現(xiàn)在是14頁\一共有33頁\編輯于星期日1)點迭代法(顯式迭代)iiGause-Seidel(G-S)迭代:立即啟用新值收斂速度明顯加快。收斂速度還與掃描方向有關(guān)。越是能把邊界條件的影響盡快引入迭代的方向，越有利于加快收斂?，F(xiàn)在是15頁\一共有33頁\編輯于星期日1)點迭代法(顯式迭代)iii逐次松弛迭代(SOR/SUR):將簡單迭代或者G-S迭代之值，與上一輪迭代值加權(quán)平均基于簡單迭代：或基于G-S：(從左往右，從下往上)現(xiàn)在是16頁\一共有33頁\編輯于星期日松弛因子

逐次超松弛(SOR)

逐次欠松弛(SUR)現(xiàn)在是17頁\一共有33頁\編輯于星期日一般形式相鄰兩輪的迭代值之差恒為正或負時，采用超松弛能加速收斂。當相鄰兩輪的迭代值之差的符號無規(guī)變化時，采用亞松弛，可以避免迭代發(fā)散GS或簡單迭代結(jié)果現(xiàn)在是18頁\一共有33頁\編輯于星期日2)塊迭代法(隱式迭代)將解域分成為由一條網(wǎng)格線或數(shù)條網(wǎng)格線組成的若干個塊，每個塊內(nèi)節(jié)點值以隱式方法相互關(guān)聯(lián)，用TDMA得到其解，格塊之間則按迭代方式推進按列掃描按行掃描現(xiàn)在是19頁\一共有33頁\編輯于星期日特別注意雖然差分離散格式方程為全隱式，但其迭代求解方法可以是顯式迭代，隱式迭代，或者交替方向隱式迭代。差分離散方程為時間層演進，上標為n,n+1迭代格式代表迭代層演進，上標(n),(n+1)現(xiàn)在是20頁\一共有33頁\編輯于星期日2)塊迭代法(隱式迭代)i簡單線迭代逐列掃描：現(xiàn)在是21頁\一共有33頁\編輯于星期日2)塊迭代法(隱式迭代)i簡單線迭代逐行掃描：現(xiàn)在是22頁\一共有33頁\編輯于星期日實施引入邊界條件后，均可用TDMA直接求解。整個解域逐線掃描一遍后，完成一輪迭代

現(xiàn)在是23頁\一共有33頁\編輯于星期日2)塊迭代法(隱式迭代)iiGauss-Seidel線迭代:立即啟用新值從左往右逐列掃描：現(xiàn)在是24頁\一共有33頁\編輯于星期日2)塊迭代法(隱式迭代)iiGauss-Seidel線迭代:立即啟用新值從下往上逐行掃描：現(xiàn)在是25頁\一共有33頁\編輯于星期日2)塊迭代法(隱式迭代)iii逐次松弛線迭代(SOR/SUR)在完成簡單或G-S線迭代計算過程后，將其所算之值與上一輪迭代之值作加權(quán)平均，所得值才算新一輪迭代的新值現(xiàn)在是26頁\一共有33頁\編輯于星期日直接寫成一步計算現(xiàn)在是27頁\一共有33頁\編輯于星期日3)交替方向隱式迭代(ADI)此法掃描方向可以變化，且有多種組合?，F(xiàn)在是28頁\一共有33頁\編輯于星期日3判斷迭代格式收斂的

幾個常用條件現(xiàn)在是29頁\一共有33頁\編輯于星期日正定矩陣對任意具有n個分量的非零矢量函數(shù)x現(xiàn)在是30頁\一共有33頁\編輯于星期日不可約矩陣矩陣A不能通過行的次序調(diào)換和其相應列的次序調(diào)換而成為：現(xiàn)在是31頁\一共有33頁\編輯于星期日對角優(yōu)矩陣A對角線上的元素滿足現(xiàn)在是32頁\一共有33頁\編輯于星