對綜合應(yīng)用領(lǐng)域的思考

對“綜合應(yīng)用”領(lǐng)域的思考

“表面積的變化”是蘇教版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)六年級（上冊）》中的一節(jié)綜合應(yīng)用課。教材的設(shè)計思路源于《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》上的案例：設(shè)計合適的包裝方式：(1)現(xiàn)有4盒磁帶，有幾種包裝方式？哪種方式更省包裝紙？（重疊處忽略不計）(2)若有8盒磁帶，哪種方式更省包裝紙？（重疊處忽略不計）應(yīng)該說教材對此案例進行了細化，循序漸進地編排了“表面積的變化”這一內(nèi)容。具體編排如下。第一段是“拼拼算算”。教材首先要求學(xué)生將2個1立方厘米的正方體拼成一個長方體，感受表面積的變化規(guī)律。接著引導(dǎo)學(xué)生把3個、4個，乃至更多個1立方厘米的正方體拼成一排，再次探索規(guī)律。然后，教材讓學(xué)生將兩個同樣的小長方體拼成一個大長方體后尋找變化規(guī)律。第二段是“拼拼說說”。教材首先讓學(xué)生比較用6個1立方厘米的正方體拼成的兩個不同長方體的表面積，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律后，再讓學(xué)生探索把10盒火柴包成一包的不同方法，分析哪種包裝方法最節(jié)省包裝紙。教參上建議該內(nèi)容用1課時教學(xué)。在教學(xué)實踐中，教師普遍認為綜合應(yīng)用領(lǐng)域的課較為難上，主要是因為這部分內(nèi)容綜合性強，思維難度大，教學(xué)時間偏緊。但教師們又認為該內(nèi)容對培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力、數(shù)學(xué)思維的能力大有裨益，在小學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)該作為重要內(nèi)容來教學(xué)?；谶@樣的矛盾心理，我們區(qū)數(shù)學(xué)課題組的教師以此為研究內(nèi)容，選定“表面積的變化”這一課進行了探索與實踐。初次教學(xué)實踐一、拼拼算算1.教師演示：把兩個體積是1立方厘米的正方體拼成一個長方體。(1)提問：體積有沒有變化？小結(jié)：把兩個體積是1立方厘米的正方體拼成一個長方體，體積沒有發(fā)生變化。(2)提問：表面積有沒有發(fā)生變化？是怎樣變化的？得出結(jié)論：這個長方體的表面積比兩個正方體的表面積之和減少了2個正方形面的面積，即減少了2平方厘米。2.深入探究。(1)如果用3個這樣的正方體拼成一個長方體，表面積比原來減少幾個正方形面的面積？（要求排成一排）用4個這樣的正方體拼呢？操作、觀察、思考后把數(shù)據(jù)填在表中，并交流填寫結(jié)果。(2)當(dāng)正方體增加到5個、6個時，表面積會怎么變化呢？學(xué)生先猜，再通過拼一拼來驗證。(3)發(fā)現(xiàn)規(guī)律：聯(lián)系操作和填表的過程，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？教師要遵循學(xué)生的認知規(guī)律，由淺入深進行引導(dǎo)：①體積不變，表面積變了，按上面的拼法，每拼一次減少2個面的面積；②按上面的拼法，增加一個正方體，就減少2個正方形面的面積；③減少的正方形面的個數(shù)＝拼的次數(shù)×2；④減少的正方形面的個數(shù)＝（正方體的個數(shù)—1）×2。3.用兩個相同長方體拼成三個不同的大長方體，你有什么發(fā)現(xiàn)？(1)交流：①體積不變，表面積變了；②都比原來減少了2個面的面積，但不同的拼法減少的面積不同。課件演示三種不同的拼法：分別是減少2個前面、上面和側(cè)面。(2)你能看出哪個大長方體的表面積最大，哪個最小嗎？(3)怎么驗證你的發(fā)現(xiàn)呢？（學(xué)生通過計算驗證自己的發(fā)現(xiàn)）小結(jié)：不管怎樣拼，每次都會減少兩個長方形面的面積；而減少的面積越少，拼成的大長方體的表面積就越大。二、拼拼說說1.用6個體積是1立方厘米的正方體可以拼成不同的長方體。哪個長方體的表面積大？大多少？2.找10盒火柴。先在小組里拼一拼，看看把10盒火柴包成一包有哪些不同的方法？怎樣包裝最節(jié)省包裝紙？想想為什么，再全班交流。教師引導(dǎo)學(xué)生具體分析每一種包裝方法，適當(dāng)說明理由。提問：“怎樣包裝最省紙”就是什么最少？（拼成的長方體的表面積最?。┰鯓悠床拍苁蛊闯傻拈L方體的表面積最小呢？三、全課小結(jié)通過這節(jié)實踐活動課，你知道了什么？初次反思根據(jù)教材的編寫意圖，我們初次設(shè)計了上面的教案，先后選擇了三位素質(zhì)較好的老師進行教學(xué)，期間也進行了局部微調(diào)，但教學(xué)效果不理想。1.從教學(xué)時間上分析三位教師都沒有上完教學(xué)內(nèi)容，最快的教師上到“拼拼說說”的第2題，但對該題的教學(xué)是蜻蜓點水、匆匆而過，沒有留給學(xué)生探索和思考的時間，學(xué)生一知半解，部分學(xué)生一無所獲。最慢的教師只上到“拼拼說說”的第1題。2.從教學(xué)空間上分析由于教學(xué)內(nèi)容較多，教學(xué)節(jié)奏相對偏快，留給學(xué)生探索、思考和交流的空間很少。在教學(xué)過程中，當(dāng)較好的學(xué)生答出要點后，教師就迅速進入下一個教學(xué)環(huán)節(jié)，對后進生的關(guān)注較少。3.從解決問題方面分析問題解決在具體實施環(huán)節(jié)上包括五個階段：第一，問題的提出和表征；第二，形成假說；第三，執(zhí)行計劃或嘗試某種解決方案；第四，檢驗和反思；第五，應(yīng)用和拓展。對照這五個階段，特別是在“拼拼說說”的教學(xué)環(huán)節(jié)中，除提出的問題具有挑戰(zhàn)性外，其余階段的教學(xué)不夠充分，學(xué)生沒有經(jīng)歷解決問題的全過程。4.從數(shù)學(xué)思考方面分析思維訓(xùn)練是貫穿在解決問題過程中的，落實在解決問題的第二、第三和第四個階段中。思維訓(xùn)練主要靠兩個能力，一個是演繹能力，一個是歸納能力。相比較而言，我國雙基教育缺少的是歸納能力的培養(yǎng)（注：參見史寧中《〈數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)〉的若干思考》.《數(shù)學(xué)通報》，2007年第5期.）。由于學(xué)生沒有經(jīng)歷解決問題的全過程，也就不能培養(yǎng)他們的歸納能力。5.從教學(xué)效果方面分析綜合上面的分析，課題組教師認為，第一次教學(xué)實踐的效果一般。于是，我們結(jié)合學(xué)生實際，適當(dāng)重組教材，以培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力和歸納能力為基點，再次進行了教學(xué)實踐。再次教學(xué)實踐第一課時一、拼拼算算（按原教學(xué)設(shè)計進行）二、拼拼說說1.解決教材上的問題：用6個體積是1立方厘米的正方體可以拼成不同的長方體。哪個長方體的表面積大？大多少？學(xué)生操作，展示拼法，互相交流，將結(jié)果填入表內(nèi)。引導(dǎo)學(xué)生觀察，初步發(fā)現(xiàn)規(guī)律：(1)用6個體積是1立方厘米的正方體可以拼成2個不同的長方體，長方體的體積不變，表面積變了。(2)第一種拼法，有5次正方體的兩兩相拼，每次減少2個面，共減少10個面，表面積比原來減少10平方厘米。第二種拼法，有7次正方體的兩兩相拼，共減少14個面，表面積比原來減少14平方厘米。(3)兩兩相拼的次數(shù)多，重疊的面就多，表面積減少越多。(4)我們知道：當(dāng)長方形的面積一定，長與寬越接近，周長就越短。由此我猜想，如果用若干個小正方體拼成長方體，長方體的體積一定，那么長、寬、高越接近，表面積是否越小呢？師：這位同學(xué)的猜想很有意思，但是否正確呢？讓我們再做一題試一試。2.補充：用12個體積是1立方厘米的正方體可以拼成不同的長方體。哪個長方體的表面積大？大多少？學(xué)生展示4種拼法，進一步探索規(guī)律：(1)要使所拼成的長方體表面積小，那么小正方體兩兩相拼的次數(shù)就要多，這樣重疊的面就多，表面積減少越多。(2)我認為剛才同學(xué)的猜想是正確的，在這里，所拼長方體的體積都是12立方厘米，4號拼法長、寬、高最接近，所以它的表面積最小。師：僅靠一次驗證不能證明猜想的正確性，課后同學(xué)們可以用若干個1立方厘米的正方體再拼拼，下節(jié)課上再交流好嗎？第二課時師：同學(xué)們對昨天的猜想驗證了嗎？這個猜想對嗎？我們先交流交流。生1：我用18個1立方厘米的正方體拼長方體，長、寬、高最接近的數(shù)據(jù)是：長3厘米、寬3厘米、高2厘米，這個長方體的表面積最小。生2：我用24個1立方厘米的正方體拼長方體，長、寬、高最接近的數(shù)據(jù)是：長4厘米、寬3厘米、高2厘米，這個長方體的表面積也是最小的。生3：我用27個1立方厘米的正方體拼長方體，長、寬、高都是3厘米，這個正方體的表面積最小。師：對這位同學(xué)的發(fā)言，你們有想法嗎？生4：我們猜想中研究的是長方體，這里卻拼成了正方體。生3：我想解釋一下：正方體是特殊的長方體，它的長、寬、高是相等的，表面積是最小的。生5：我補充一點：我們學(xué)過長方形的面積一定時，長與寬相等，正方形的周長最短，這兒的道理也是一樣的。師：這樣解釋行嗎，你們舉的都是正面的例子，有誰還能舉出反例嗎？（不能）看來，這條猜想是對的。師：看來，同學(xué)們對拼正方體已經(jīng)有了些心得體會，如果用長方體來拼呢？出示題目：找4盒火柴，先在小組里拼一拼，看看把4盒火柴包成一包有哪些不同的方法，怎樣包裝最節(jié)省包裝紙。學(xué)生試拼，匯總拼法。師：你們能把這些拼法進行分類嗎？生：我認為可以分成兩類：第一類是拼成一排，第二類是拼成兩排。師：4盒火柴包一包，有兩類基本的包法，第一類是4=4×1×1，第二類是4=2×2×1，每類包法都還有三種不同的拼法。師：仔細觀察4×1×1的三種拼法，你們有什么發(fā)現(xiàn)？生1：第一種拼法是把大面兩兩相拼，拼3次，減少了6個大面。第二種拼法是把中面兩兩相拼，拼3次，減少了6個中面。第三種拼法是把小面兩兩相拼，拼3次，減少了6個小面。生2：在這三種拼法中，第一種拼法所拼成的長方體表面積最小。師：再仔細觀察2x2x1的三種拼法，你們又有什么發(fā)現(xiàn)呢？生3：第一種拼法是把大面和大面，中面和中面拼2次，分別減少了4個大面和4個中面。第二種拼法是把大面和大面，小面和小面拼2次，分別減少了4個大面和4個小面。第三種拼法是把中面和中面，小面和小面拼2次，分別減少了4個中面和4個小面。在這三種拼法中，也是第一種拼法所拼成的長方體表面積最小。生4：最后我們要計算這兩個長方體的表面積，比較出哪個長方體的表面積最小。師：通過分類觀察，同學(xué)們已經(jīng)初步獲得了拼長方體的一些方法，下面讓我們來完成書上的最后一題：找10盒火柴，先在小組里拼一拼，看看把10盒火柴包成一包有哪些不同的方法，怎樣包裝最節(jié)省包裝紙。想想為什么，再全班交流。操作時要先想一想有哪幾類基本的拼法，再拼一拼。生1：我們認為有兩類基本的拼法，第一類是10=10×1×1，第二類是10=5×2×1，按第一類拼法拼能拼成3個不同的長方體，按第二類拼法拼能拼成6個不同的長方體。生2：在第一類拼法中，把大面兩兩相拼9次，減少18個大面所拼成的長方體表面積最小。在第二類拼法中，把大面兩兩相拼8次，中面兩兩相拼5次，減少16個大面和10個中面所拼成的長方體表面積最小，然后把這兩個長方體進行比較，一般情況下第二個長方體的表面積較小。生3：我有一個疑問，前面我們已經(jīng)證明把若干個小正方體拼成一個長方體，這個長方體的長、寬、高越接近，表面積越小。那么，把若干個相同的小長方體拼成一個長方體，是否也有這樣的規(guī)律呢？師：同學(xué)們的這條猜想很有價值，是否正確呢，建議同學(xué)們量出長、寬、高的數(shù)據(jù)后，再用列表的方法一一列舉出所拼成的長方體的長、寬、高，計算出表面積后，再觀察和驗證這條猜想，好嗎？這就作為今天的課后作業(yè)。再次反思《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》第二學(xué)段綜合應(yīng)用領(lǐng)域的目標(biāo)是：1.有綜合運用數(shù)與運算、空間與圖形、統(tǒng)計與概率等相關(guān)知識解決一些簡單實際問題的成功體驗，初步樹立運用數(shù)學(xué)解決問題的自信心；2.獲得綜合運用所學(xué)知識解決簡單實際問題的活動經(jīng)驗和方法；3.初步感受數(shù)學(xué)知識間的相互聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)的作用。從再次教學(xué)實踐效果看，基本達到了這些目標(biāo)，課題組教師一致認為：學(xué)生在充裕的教學(xué)時空內(nèi)，經(jīng)歷了解決問題的五個階段，發(fā)展了數(shù)學(xué)思維能力，教學(xué)設(shè)計合理，教學(xué)效果較好。綜合我們以前所上的一些“綜合應(yīng)用”課的體會，我們認為上好這類課要注意以下四個方面：一、結(jié)合學(xué)生實際，適當(dāng)重組教材教材是課堂教學(xué)的主要資源，上好一節(jié)數(shù)學(xué)課首先要把握教材。上綜合應(yīng)用課也是如此。教師要理清這部分內(nèi)容的知識層次，明確教材提示的教學(xué)活動線索，突破教學(xué)內(nèi)容的重點和難點。其次要把握學(xué)生。綜合應(yīng)用課要求學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，對學(xué)生的綜合能力、思維能力要求較高。在教學(xué)實踐中，教師在把握教材的基礎(chǔ)上，還要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的需要和學(xué)生現(xiàn)有的知識水平適當(dāng)重組教材，合理開發(fā)教材。我們仔細分析“表面積的變化”這一部分教材內(nèi)容，應(yīng)該說教材的編寫遵循了學(xué)生的認知特點和數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)順序，由易到難，分層遞進。但教學(xué)內(nèi)容相對于教材上規(guī)定的一課時的教學(xué)時間顯然偏多，沒有充分的時間讓學(xué)生展開探索活動，經(jīng)歷解決問題的過程。因此，我們對課時進行了劃分，對教材進行了加工。我們安排了兩課時，第一課時安排到“拼拼說說”的第一題，再補充一道同類型題，難度略有提高，既是鞏固，又利于學(xué)生進行探究性學(xué)習(xí)。第二課時重點研究“拼拼說說”的第二題，先安排一道較為簡單的同類型題，讓學(xué)生積累解題經(jīng)驗，然后再深入展開研究。這樣的調(diào)整，從教學(xué)實踐效果來看還是可行的。當(dāng)然，根據(jù)學(xué)生的實際水平，還可以安排3課時，第一課時安排到“拼拼算算”，第二課時安排到“拼拼說說”第一題，第三課時安排到“拼拼說說”第二題。我們這樣的補充和調(diào)整可能是拔高了教材的要求，但就綜合應(yīng)用課而言，要想充分發(fā)揮其培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力、數(shù)學(xué)思維的能力，我們認為應(yīng)該對教材深度挖掘。二、經(jīng)歷解題過程，利于學(xué)生思考“綜合應(yīng)用”本質(zhì)上是一種解決問題的活動。要解決問題，首先要設(shè)計一個好問題，“表面積的變化”一課中的問題源自教材，并適當(dāng)加工，應(yīng)該說具有一定的挑戰(zhàn)性、探索性和開放性。其次在解決問題的過程中，教師應(yīng)該充分尊重學(xué)生的自主性，引導(dǎo)學(xué)生獨立思考、自主探索，構(gòu)思解題計劃，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維。同時，教學(xué)時還要使學(xué)生在活動中體驗與他人合作，并在交流中密切同學(xué)之間的關(guān)系。在解決問題的過程中，要注意讓學(xué)生自己分工、討論和嘗試。值得強調(diào)的是開展綜合實踐活動的關(guān)鍵是要讓學(xué)生積極展開思維活動。一方面，解決問題涉及高級思考過程。在問題解決的過程中，學(xué)生嘗試尋找“答案”時，不是簡單地應(yīng)用已知的信息，而是對信息進行加工，重新組織若干已知的規(guī)則，形成新的高級規(guī)則，用以達到一定的目標(biāo)，并在檢驗、反思中獲得解決問題的方法。原來已有的有關(guān)數(shù)學(xué)知識是解決問題過程中的素材。另一方面，解決問題的學(xué)習(xí)過程對學(xué)生思維品質(zhì)的發(fā)展具有促進作用。在解決問題中，學(xué)生會根據(jù)解決問題的目的對已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)知識進行組織，找出對當(dāng)前問題適用的對策。問題一旦解決，學(xué)生的思維能力隨之發(fā)生變化。因此“表面積的變化”一課中對“拼拼說說”環(huán)節(jié)的再設(shè)計，其目的正是讓學(xué)生在經(jīng)歷操作——發(fā)現(xiàn)、猜想——驗證的解決問題的過程中，發(fā)展數(shù)學(xué)思考。三、培養(yǎng)歸納能力，提升數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)的“基本思想”主要是指演繹和歸納，這應(yīng)當(dāng)是整個數(shù)學(xué)教學(xué)的主線，是最上位的思想。演繹和歸納不是矛盾的，其教學(xué)也不是矛盾的，通過歸納來預(yù)測結(jié)果，然后通過演繹來驗證結(jié)果。在具體的問題中，會涉及到數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)模型、等量替換、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，但最上位的思想還是演繹和歸納。過去雙基教育重演繹、輕歸納，所以我們更應(yīng)重視培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力。歸納能力是能夠熟練使用歸納推理的能力。歸納推理十分龐雜，就方法而言，包括枚舉法、歸納法、類比法、統(tǒng)計推斷、因果分析，以及觀察實驗、比較分類、綜合分析。與演繹推理相反，歸納推理是一種從特殊到一般的推理。歸納推理主要包括