人教數學九上電子教案

一元二次方程一、教學目標(一)知識與技能：1.理解一元二次方程概念是以未知數的個數和次數為標準的；2.掌握一元二次方程的一般形式以及三種特殊形式，能將一個一元二次方程化為一般形式；3.理解二次根式的根的概念，會判斷一個數是否是一個一元二次方程的根.(二)過程與方法：1.通過根據實際問題列方程，向學生滲透知識來源于生活；2.通過觀察、思考、交流，獲得一元二次方程的概念及其一般形式.(三)情感態(tài)度與價值觀：用數學解決生活中的問題來激發(fā)學生的學習熱情.二、教學重點、難點重點：一元二次方程的概念，一般形式和一元二次方程的根的概念.難點：通過提出問題，建立一元二次方程的數學模型，再由一元一次方程的概念遷移到一元二次方程的概念.三、教學過程引言在設計人體雕像時，使雕像的上部(腰以上)與下部(腰以下)的高度比，等于下部與全部(全身)的高度比，可以增加視覺美感.按此比例，如果雕像的高為2m，那么它的下部應設計為多高？

如圖，雕像的上部高度AC與下部高度BC應有如下關系：

AC:BC=BC:2，即BC2=2AC.

設雕像下部高xm，可得方程x2=2(2-x)

整理得x2+2x-4=0①問題1如圖，有一塊矩形鐵皮，長100cm，寬50cm，在它的四角各切去一個同樣的正方形，然后將四周突出部分折起，就能制作一個無蓋方盒.如果要制作的無蓋方盒的底面積為3600cm2，那么鐵皮各角應切去多大的正方形？設切去的正方形的邊長為xcm，則盒底的長為(100-2x)cm，寬為(50-2x)cm.根據方盒底面積為3600cm2，得(100-2x)(50-2x)=3600整理，得4x2-300x+1400=0化簡，得x2-75x+350=0②由方程②可以得出所切正方形的具體尺寸.方程②中未知數的個數和最高次數各是多少？問題2要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場.根據場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，比賽組織者應邀請多少隊參賽？

全部比賽的場數為4×7=28.

設應邀請x個隊參賽，每個隊要與其它(x-1)個隊各賽1場，由于甲隊對乙隊的比賽和乙隊對甲隊的比賽是同一場比賽，所以全部比賽共x(x-1)場.

列方程x(x-1)=28，整理，得，化簡，得x2-x=56③

由方程③可以得出參賽隊數.方程③中未知數的個數和最高次數各是多少？x2+2x-4=0①x2-75x+350=0②x2-x=56③思考方程①②③有什么共同點？特點：(1)都是整式方程；(2)只含有一個未知數；(3)未知數的最高次數是2.4x2=9，x2+3x=0，3y2-5y=7-y等也是這樣的方程.像這樣，等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(一元)，并且未知數的最高次數是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.一般地，任何一個關于x的一元二次方程，都能化為ax2＋bx＋c＝0的形式，我們把ax2＋bx＋c＝0(a，b，c為常數，a≠0)稱為一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次項，a是二次項系數；bx是一次項，b是一次項系數；c是常數項.為什么規(guī)定a≠0？b，c可以為零嗎？使方程左右兩邊相等的未知數的值就是這個一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.例如，x=8是x2-x=56的解.例將方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數、一次項系數和常數項.解：去括號，得3x2-3x=5x+10移項，合并同類項，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0其中二次項系數為3，一次項系數為-8，常數項為-10.練習1.將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數、一次項系數及常數項：2.根據下列問題，列出關于x的方程，并將所列方程化成一元二次方程的一般形式：(1)4個完全相同的正方形的面積之和是25，求正方形的邊長x；解：4x2=25，化成一般形式為4x2-25=0.(2)一個矩形的長比寬多2，面積是100，求矩形的長x；解：x(x-2)=100，化成一般形式為x2-2x-100=0.(3)把長為1的木條分成兩段，使較短一段的長與全長的積，等于較長一段的長的平方，求較短一段的長x.解：x=(1-x)2，化成一般形式為x2-3x+1=0.課堂小結1.本節(jié)課你有哪些收獲？2.還有沒解決的問題嗎？四、教學反思教學過程中，強調學生自主探索和合作交流，經歷將實際問題轉化為數學問題，體會數學建模的思想方法.用直接開平方法解一元二次方程一、教學目標(一)知識與技能：認識形如x2＝p(p≥0)或(mx+n)2＝p(m≠0，p≥0，m，n，p為常數)類型的方程，并會用直接開平方法解.(二)過程與方法：培養(yǎng)學生準確而簡潔的計算能力及抽象概括能力.(三)情感態(tài)度與價值觀：通過兩邊同時開平方，將2次方程轉化為一次方程，向學生滲透數學新知識的學習往往由未知(新知識)向己知(舊知識)轉化，這是研究數學問題常用的方法，化未知為已知.二、教學重點、難點重點：運用開平方法解形如(mx+n)2＝p(m≠0，p≥0，m，n，p為常數)的方程，領會降次一轉化的數學思想.難點：通過根據平方根的意義解形如x2＝p的方程，知識遷移到根據平方根的意義解形如(mx+n)2＝p(m≠0，p≥0，m，n，p為常數)的方程.三、教學過程知識預備1.什么是平方根？一個數的平方根怎樣表示？一般地，如果一個數的平方等于a，那么這個數叫做a的平方根.a(a≥0)的平方根記作：±.x2＝a(a≥0)，則根據平方根的定義知，x＝±.2.完全平方式：a2＋2ab＋b2＝(_____)2，a2_________＝(a－b)23.練一練：若x2＝16，則x＝____；x2－6x＋9＝_______.問題1一桶油漆可刷的面積為1500dm2，李林用這桶油漆恰好刷完10個同樣的正方體形狀的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱長嗎？解：設其中一個盒子的棱長為xdm，則這個盒子的表面積為6x2dm2.根據一桶油漆可刷的面積，列出方程10×6x2＝1500①整理，得x2＝25根據平方根的意義，得x＝±5即x1＝5，x2＝-5可以驗證，5和-5是方程①的兩個根，因為棱長不能是負值，所以盒子的棱長為5dm.一般地，對于方程x2＝p，(Ⅰ)(1)當p＞0時，根據平方根的意義，方程(Ⅰ)有兩個不等的實數根x1＝，x2＝-；(2)當p＝0時，方程(Ⅰ)有兩個相等的實數根x1＝x2＝0；(3)當p＜0時，因為對任意實數x，都有x2≥0，所以方程(Ⅰ)無實數根.探究對照前面解方程10×6x2=1500①的過程，你認為應怎樣解方程(x+3)2=5及9x2-12x+4=3？在解方程①時，由方程x2=25得x=±5.由此想到：由方程(x+3)2=5，②得x+3=±即x+3=，或x+3=-.③于是，方程(x+3)2=5的兩個根為x1=-3+，x2=-3-.上面的解法中，由方程②得到③，實質上是把一個一元二次方程“降次”，轉化為兩個一元一次方程.由方程9x2-12x+4=3化成(3x-2)2=3得3x-2=±即3x-2=，或3x-2=-.于是，方程9x2-12x+4=3的兩個根為，知識梳理●知識點一直接開平方法方程x2=p(p≥0)的解為x1=，x2=-.由方程(mx+n)2=p(p≥0)，可得mx+n=或mx+n=-.●知識點二降次思想一元二次方程一般通過降次轉化成兩個一元一次方程來解.直接開平方法是降次的一種方法.練習解下列方程：(1)2x2-8=0(2)9x2-5=3(3)(x+6)2-9=0解：(3解：(3)(x+6)2=9x+6=±3即x+6=3，或x+6=-3∴x1=-3，x2=-9解：(2)9x2=8x2=x=±∴x1=，x2=-解：(1)2x2=8x2=4x=±2∴x1=2，x2=-2解：(6)9x2=-4x2=-∵∴方程無實數根.解：(5)(x-2)2=5x-2=±即解：(6)9x2=-4x2=-∵∴方程無實數根.解：(5)(x-2)2=5x-2=±即x-2=，或x-2=-∴x1=2+，x2=2-解：(4)3(x-1)2=6(x-1)2=2x-1=±即x-1=，或x-1=-∴x1=+1，x2=-+1課堂小結1.本節(jié)課你有哪些收獲？2.還有沒解決的問題嗎？四、教學反思教學過程中，強調利用開平方法解一元二次方程的本質是求一個數的平方根的過程，同時體會到解一元二次方程過程就是一個“降次”的過程.用配方法解一元二次方程一、教學目標(一)知識與技能：1.進一步理解配方法和配方的目的；2.掌握運用配方法解一元二次方程的步驟；3.會利用配方法熟練靈活地解二次項系數不是1的一元二次方程.(二)過程與方法：通過對比用配方法解二次項系數是1的一元二次方程，解二次項系數不是1的一元二次方程，經歷從簡單到復雜的過程，對配方法全面認識.(三)情感態(tài)度與價值觀：通過對配方法的探究活動，培養(yǎng)學生勇于探索的學習精神，感受數學的嚴謹性和數學結論的確定性.二、教學重點、難點重點：利用配方法解一元二次方程.難點：用配方法解二次項系數不是1的一元二次方程，首先方程兩邊都除以二次項系數，將方程化為二次項系數是1的類型.三、教學過程知識預備1.在代數式x2-2x中，一次項系數為____.

2.若a=b，則a+5=b+___.

3.應用完全平方公式填空：(1)x2+6x+___=(x+3)2(2)x2-12x+___=(x-___)2探究怎樣解方程x2+6x+4=0？x2+6x+9=5(x+3)2=5完全平方形式(x+3)2，5非負數直接開平方法(降次)解方程x+3=±→x+3=，或x+3=-→∴x1=-3，x2=--3能否將方程x2+6x+4=0轉化為可以用直接開平方法(降次)的形式再求解呢？x2+6x+4=0(移項)→x2+6x=-4(兩邊加9(即)使左邊配成x2+2bx+b2的形式)→x2+6x+9=-4+9(左邊寫成完全平方形式)→(x+3)2=5(直接開平方(降次))→x+3=±→x+3=，或x+3=-(解一次方程)→x1=-3，x2=--3為什么在方程x2+6x=-4的兩邊加9？加其他數行嗎？像這樣，通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法.可以看出，配方是為了降次，把一個一元二次方程轉化成兩一個一元一次方程來解.例1解下列方程：(1)x2-8x+1=0(2)2x2+1=3x(3)3x2-6x+4=0解：(1)移項，得x2-8x=-1配方，得x2-8x+42=-1+42(x-4)2=15由此可得x-4=±∴x1=4+，x2=4-解：(2)移項，得2x2-3x=-1二次項系數化為1，得x2-x=-配方，得x2-x+()2=-+()2由此可得x-=±∴x1=1，x2=解：(3)移項，得3x2-6x=-4二次項系數化為1，得x2-2x=-配方，得x2-2x+12=-+12(x-1)2=-因為實數的平方不會是負數，所以x取任何實數時，(x-1)2都是非負數，上式都不成立，即原方程無實數根.歸納總結配方法解一元二次方程的一般步驟：(1)將一元二次方程化為一般形式；

(2)把常數項移到方程的右邊；

(3)在方程兩邊同除以二次項系數，將二次項系數化為1；

(4)在方程兩邊都加上一次項系數一半的平方，然后將方程左邊化為一個完全平方式，右邊為一個常數；

(5)當方程右邊為一個非負數時，用直接開平方法解這個一元二次方程；當方程右邊是負數時，原方程無實數根.一般地，如果一個一元二次方程通過配方轉化成(x＋n)2＝p(Ⅱ)(1)當p＞0時，方程(Ⅱ)有兩個不等的實數根x1＝－n－，x2＝－n＋；(2)當p＝0時，方程(Ⅱ)有兩個相等的實數根x1＝x2＝－n；(3)當p＜0時，因為對任意實數x，都有(x＋n)2≥0，所以方程(Ⅱ)無實數根.練習1.填空：(1)x2+10x+___=(x+__)2(2)x2-12x+___=(x-__)2(3)x2+5x+___=(x+__)2(4)x2-x+___=(x-__)22.解下列方程：(1)x2+10x+9=0(2)x2-x-=0(3)3x2+6x-4=0解：(1)移項，得x2+10x=-9配方，得x2+10x+52=-9+52(x+5)2=16由此可得x+5=±4∴x1=-1，x2=-9解：(2)移項，得x2-x=配方，得x2-x+()2=+()2(x-)2=2由此可得x-=±∴x1=+，x2=-解：(3)移項，得3x2+6x=4二次項系數化為1，得x2+2x=配方，得x2+2x+12=+12(x+1)2=由此可得x+1=±(4)4x2-6x-3=0(5)x2+4x-9=2x-11(6)x(x+4)=8x+12解：(4)移項，得4x2-6x=3二次項系數化為1，得x2-x=配方，得由此可得∴，解：(5)移項，合并得x2+2x=-2配方，得x2+2x+12=-2+12(x+1)2=-1∵-1＜0∴原方程無實數根解：(6)去括號，得x2+4x=8x+12移項，合并得x2-4x=12配方，得x2-4x+22=12+22(x-2)2=16由此可得x-2=±4∴x1=6，x2=-2課堂小結1.本節(jié)課你有哪些收獲？2.還有沒解決的問題嗎？四、教學反思教學過程中，強調配方法解方程就是將方程左邊配成完全平方式的過程，因此需熟練掌握完全平方式的形式.公式法一、教學目標(一)知識與技能：1.理解一元二次方程求根公式的推導過程；2.掌握公式結構，知道使用公式前先將方程化為一般形式，通過判別式判斷根的情況；3.會利用求根公式解簡單數字系數的一元二次方程.(二)過程與方法：經歷從用配方法解數字系數的一元二次方程到解字母系數的一元二次方程探索求根公式，發(fā)展學生合情合理的推理能力，并認識到配方法是理解公式的基礎.(三)情感態(tài)度與價值觀：感受數學的嚴謹性和數學結論的確定性，提高學生運算能力，使學生獲得成功體驗，建立學習信心.二、教學重點、難點重點：求根公式的推導和公式法的應用.難點：一元二次方程求根公式法的推導.三、教學過程用配方法解方程：2x2-7x+3=0解：移項，得2x2-7x=-3二次項系數化為1，得配方，得，，∴x1=3，x2=利用配方法解一元二次方程的一般步驟是相同的.配方法解一元二次方程的一般步驟：

(1)將一元二次方程化為一般形式；

(2)把常數項移到方程的右邊；

(3)在方程兩邊同除以二次項系數，將二次項系數化為1；

(4)在方程兩邊都加上一次項系數一半的平方，然后將方程左邊化為一個完全平方式，右邊為一個常數；

(5)當方程右邊為一個非負數時，用直接開平方法解這個一元二次方程；當方程右邊是負數時，原方程無實數根.探究任何一個一元二次方程都可以寫成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，能否也用配方法得出ax2+bx+c=0(a≠0)的解呢？ax2+bx+c=0(a≠0)移項，得ax2+bx=-c二次項系數化為1，得配方，得即①∵a≠0，∴4a2＞0.式子b2-4ac的值有以下三種情況：(1)b2-4ac＞0這時＞0，由①得方程有兩個不等的實數根，(2)b2-4ac=0這時=0，由①可知，方程有兩個相等的實數根(3)b2-4ac＜0這時＜0，由①可知＜0，而x取任何實數都不能使＜0，因此方程無實數根.一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判別式，通常用希臘字母“Δ”表示它，即Δ=b2-4ac.歸納當Δ＞0時，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個不等的實數根；

當Δ＝0時，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個相等的實數根；

當Δ＜0時，方程ax2+bx+c=0(a≠0)無實數根.Δ＞0方程有兩個不等的實數根；

Δ＝0方程有兩個相等的實數根；

Δ＜0方程無實數根.當Δ≥0時，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的實數根可寫為的形式，這個式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.求根公式表達了用配方法解一般的一元二次方程ax2+bx+c=0的結果.解一個具體的一元二次方程時，把各系數直接代入求根公式，可以避免配方過程而直接得出根，這種解一元二次方程的方法叫做公式法.例2用公式法解下列方程：(1)x2-4x-7=0(2)2x2-2x+1=0(3)5x2-3x=x+1(4)x2+17=8x解：(1)a=1，b=-4，c=-7.

Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0

方程有兩個不等的實數根即，解：(2)a=2，b=-2，c=1.

Δ=b2-4ac=(-2)2-4×2×1=0

方程有兩個相等的實數根解：(3)方程化為5x2-4x-1=0注意：用公式法解一元二次方程時，首先要將方程轉化為一般形式，再確定a，b，c的值.a=5，b=-4，c=-1.

Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36＞0

方程有兩個不等的實數根即x1=1，x2=.解：(4)方程化為x2-8x+17=0

a=1，b=-8，c=17.

Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4＜0

方程無實數根.本章引言中的問題，雕像下部的高度x(單位：m)滿足方程x2+2x-4=0

用公式法解這個方程，得即x1=-1+，x2=-1-.結果保留小數點后兩位，那么x1≈1.24，x2≈-3.24.

這兩個根中，只有x1≈1.24符合問題的實際意義，因此雕像下部高度應設計為約1.24m.練習1.解下列方程：(1)x2+x-6=0(2)x2-x-=0(3)3x2-6x-2=0解：(1)a=1，b=1，c=-6.

Δ=b2-4ac=12-4×1×(-6)=25＞0

方程有兩個不等的實數根即x1=2，x2=-3.解：(2)a=1，b=-，c=-.

Δ=b2-4ac=(-)2-4×1×(-)=4＞0

方程有兩個不等的實數根即，.解：(3)a=3，b=-6，c=-2.

Δ=b2-4ac=(-6)2-4×3×(-2)=60＞0

方程有兩個不等的實數根即，.(4)4x2-6x=0(5)x2+4x+8=4x+11(6)x(2x-4)=5-8x解：(4)a=4，b=-6，c=0.

Δ=b2-4ac=(-6)2-4×4×0=36＞0

方程有兩個不等的實數根即，.解：(5)移項，合并得x2=3

直接開平方，得x=即，.解：(6)方程化為2x2+4x-5=0

a=2，b=4，c=-5.

Δ=b2-4ac=42-4×2×(-5)=56＞0

方程有兩個不等的實數根即，.2.求第21.1節(jié)中問題1的答案.x2-75x+350=0解：a=1，b=-75，c=350.

Δ=b2-4ac=(-75)2-4×1×350=4225＞0

方程有兩個不等的實數根即x1=5，x2=70(不合題意，要舍去).因此，切去的正方形的邊長為5cm.課堂小結1.本節(jié)課你有哪些收獲？2.還有沒解決的問題嗎？四、教學反思教學過程中，強調用判別式去判斷方程根的情況，首先需把方程化為一般形式.同時公式法的得出是通過配方法來的，用公式法解方程的前提是Δ≥0.因式分解法一、教學目標(一)知識與技能：1.會用因式分解法(提公因式法、運用公式)解一元二次方程；2.能根據方程的具體特征，靈活選擇方程的解法，體會解決問題方法的多樣性.(二)過程與方法：在經歷探索用因式分解法解一元二次方程及依據方程特征選擇恰當方法解一元二次方程的過程中，進一步鍛煉學生的觀察能力，分析能力和解決問題能力.(三)情感態(tài)度與價值觀：通過因式分解法解一元二次方程的探究活動，培養(yǎng)學生勇于探索的良好習慣，感受數學的嚴謹性及教學方法的多樣性.二、教學重點、難點重點：用因式分解法解一元二次方程.難點：讓學生通過比較解一元二次方程的多種方法感悟用因式分解法使解題簡便.三、教學過程知識預備1.把一個多項式化成幾個整式積的形式，這種變形叫做把這個多項式__________.2.因式分解常用的方法有_________________________.3.將下列各式分解因式：(1)7x2-21x(2)2(a-3)2-a+3(3)(y+3)2-(2y-3)2解：(1)原式=7x(x-3)

(2)原式=2(a-3)2-(a-3)=(a-3)[2(a-3)-1]=(a-3)(2a-7)

(3)原式=[(y+3)+(2y-3)][(y+3)-(2y-3)]=(y+3+2y-3)(y+3-2y+3)=3y(6-y)一個數的平方與這個數的3倍有可能相等嗎？如果相等，這個數是幾？你是怎樣求出來的？小穎、小亮、小明都設這個數為x，根據題意，可得方程x2=3x.但他們的解法各不相同.他們做得對嗎？小穎：由方程x2=3x，得x2-3x=0，因此→x1=0，x2=3，所以這個數是0或3.小亮：將方程x2=3x兩邊同時約去x，得x=3，所以這個數是3.(方程兩邊約去x時，必須確保x≠0，但這里x恰恰能夠等于0，所以這種變形是錯誤的.結果會丟掉一個根.)小明：由方程x2=3x，得x2-3x=0即x(x-3)=0于是x=0，或x-3=0因此x1=0，x2=3所以這個數是0或3.如果a·b=0，那么a=0，或b=0.x2-3x=0①即x(x-3)=0于是x=0，或x-3=0②因此x1=0，x2=3上述解法中，由①到②的過程，不是用開平方降次，而是先因式分解，使方程化為兩個一次的乘積等于0的形式，再使這兩個一次式分別等于0，從而實現降次.這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法.練一練用因式分解法解下列方程：(1)4x=5x2(2)3x(x+3)-2(x+3)=0解：(1)移項，得4x-5x2=0因式分解，得x(4-5x)=0于是得x=0，或4-5x=0x1=0，x2=解：(2)因式分解，得(x+3)(3x-2)=0于是得x+3=0，或3x-2=0x1=-3，x2=例3解下列方程：(1)x(x-2)+x-2=0(2)5x2-2x-=x2-2x+解：(1)因式分解，得(x-2)(x+1)=0于是得x-2=0，或x+1=0x1=，x2=解：(2)移項、合并同類項，得4x2-1=0因式分解，得(2x+1)(2x-1)=0于是得2x+1=0，或2x-1=0x1=2，x2=-1可以試用多種方法解本例中的兩個方程.解：(1)方程化為x2-x-2=0a=1，b=-1，c=-2.

Δ=b2-4ac=(-1)2-4×1×(-2)=9＞0即x1=2，x2=-1解：(2)移項、合并同類項，得4x2=1二次項系數化為1，得直接開平方，得即x1=，x2=歸納配方法要先配方，再降次；通過配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程；因式分解法要先使方程一邊為兩個一次因式相乘，另一邊為0，再分別使各一次因式等于0.配方法、公式法適用于所有一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方程時比較簡便.總之，解一元二次方程的基本思路是：將二次方程化為一次方程，即降次.練習1.解下列方程：解：x(x-)=0

x=0，或x-=0

x1=0，x2=解：x(x+1)=0

x=解：x(x-)=0

x=0，或x-=0

x1=0，x2=解：x(x+1)=0

x=0，或x+1=0

x1=0，x2=-1解：3x2-6x+3=0

x2-2x+1=0

(x-1)2=0

x1=x2=1解：x(x+1)=0

x=0，或x+1=0

x1=0，x2=-1(4)4x2-121=0(5)3x(2x+1)=4x+2(6)(x-4)2=(5-2x)2解：(x-解：(x-4)2-(5-2x)2=0

(x-4+5-2x)(x-4-5+2x)=0

(1-x)(3x-9)=0

1-x=0，或3x-9=0

x1=1，x2=3解：3x(2x+1)-2(2x+1)=0

(2x+1)(3x-2)=0

2x+1=0，或3x-2=0

x1=，x2=解：(2x+11)(2x-11)=0

2x+11=0，或2x-11=0

x1=，x2=2.如圖，把小圓形場地的半徑增加5m得到大圓形場地，場地面積擴大了一倍.求小圓形場地的半徑.解：設小圓形場地的半徑為rm.依題意，得π(r+5)2=2πr2r2-10r-25=0Δ=(-10)2-4×1×(-25)=200＞0r1=5+5，r2=5-5(不合題意，舍去)答：小圓形場地的半徑為(5+5)m.課堂小結1.本節(jié)課你有哪些收獲？2.還有沒解決的問題嗎？四、教學反思利用因式分解法解一元二次方程，能否分解是關鍵，因此，要熟練掌握因式分解的知識，提高用分解因式法解方程的能力.在使用因式分解法時，先考慮有無公因式，如果沒有再考慮公式法.一元二次方程的根與系數的關系一、教學目標(一)知識與技能：要求學生在理解的基礎上掌握一元二次方程根與系數的關系式，能運用根與系數的關系由已知一元二次方程的一個根求出另一個根與未知數，會求一元二次方程兩個根的倒數和與平方和，兩根之差.(二)過程與方法：通過韋達定理的教學過程，使學生經歷觀察、實驗、猜想、證明等數學活動過程，發(fā)展推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點，進一步培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神.(三)情感態(tài)度與價值觀：通過情境教學過程，激發(fā)學生的求知欲望，培養(yǎng)學生積極學習數學的態(tài)度，體驗數學活動中充滿著探索與創(chuàng)造，體驗數學活動中的成功感，建立自信心.二、教學重點、難點重點：一元二次方程根與系數的關系.難點：讓學生從具體方程的根發(fā)現一元二次方程根與系數之間的關系，并用語言表述.三、教學過程憶一憶1.一元二次方程的一般形式是什么？ax2+bx+c=0(a≠0)2.一元二次方程的求根公式是什么？(b2-4ac≥0)3.一元二次方程的根的情況怎樣確定？解下列方程并完成填空：(1)x2-5x+6=0(2)x2+3x-4=0(3)x2+6x+8=0以上方程有什么共同特點，你從中發(fā)現了什么？三個方程的二次項系數都是1，它們的兩根之和等于一次項系數的相反數，兩根之積等于常數項.思考從因式分解法可知，方程(x-x1)(x-x2)=0(x1，x2為已知數)的兩根為x1和x2，將方程化為x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2與p，q之間的關系嗎？把方程(x-x1)(x-x2)=0的左邊展開，化成一般形式，得方程x2-(x1+x2)x+x1x2=0

這個方程的二次項系數為1，一次項系數p=-(x1+x2)，常數項q=x1x2.

于是，上述方程兩個根的和、積與系數分別有如下關系：(x1+x2)=-p，x1x2=q思考一般的一元二次方程ax2+bx+c=0中，二次項系數a未必是1，它的兩個根的和、積與系數又有怎樣的關系呢？根據求根公式可知，，由此可得因此，方程的兩個根x1，x2和系數a，b，c有如下關系：，.這表明任何一個一元二次方程的根與系數的關系為：兩個根的和等于一次項系數與二次項系數的比的相反數，兩個根的積等于常數項與二次項系數的比.注意：(1)不是一般式的，要化成一般式；(2)在方程有實數根的條件下應用，即b2-4ac≥0；(3)在使用時，注意“-”不要漏寫.把方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩邊同除以a，能否得出該結論？x2+px+q=0→(x1+x2)=-p，x1x2=q解方程2x2-3x+1=0，驗證上述關系？解：a=2，b=-3，c=1.

Δ=b2-4ac=(-3)2-4×2×1=1＞0

方程有兩個不等的實數根即x1=1，x2=，.例4根據一元二次方程的根與系數的關系，求下列方程兩個根x1，x2的和與積：(1)x2-6x-15=0(2)3x2+7x-9=0(3)5x-1=4x2解：(1)x1+x2=-(-6)=6，x1x2=-15.

(2)x1+x2=，x1x2==-3.

(3)方程化為4x2-5x+1=0.x1+x2==，x1x2=.練習不解方程，求下列方程兩根的和與積：(1)x2-3x=15(2)3x2+2=1-4x(3)5x2-1=4x2+x(4)2x2-x+2=3x+1解：(1)方程化為x2-3x-15=0.x1+x2=-(-3)=3，x1x2=-15.

(2)方程化為3x2+4x+1=0.x1+x2=，x1x2=.

(3)方程化為x2-x-1=0.x1+x2=-(-1)=1，x1x2=-1.

(4)方程化為2x2-4x+1=0.x1+x2==2，x1x2=.課堂小結1.本節(jié)課你有哪些收獲？2.還有沒解決的問題嗎？四、教學反思教學過程中，強調一元二次方程的根與系數的關系是通過求根公式得到的，在利用此關系確定字母的取值時，一定要記住Δ≥0這個前提條件.實際問題與一元二次方程(1)一、教學目標(一)知識與技能：1.會根據具體問題中的數量關系列出一元二次方程并求解，能根據問題中的實際意義，檢驗所得的結果是否合理；2.聯系實際，讓學生進一步經歷“問題情境—建立模型—求解—解釋與應用”的過程，獲得更多運用數學知識分析、解決實際問題的方法和經驗，進一步掌握解應用題的步驟和關鍵.(二)過程與方法：通過自主探究，獨立思考與合作交流，使學生弄清實際問題的背景，挖掘隱藏的數量關系，把有關數量關系分析透徹，找出可以作為列方程依據的主要相等關系，正確的建立一元二次方程.(三)情感態(tài)度與價值觀：在分析解決問題的過程中深入地體會一元二次方程的應用價值.二、教學重點、難點重點：建立數學模型，找等量關系，列方程.難點：找等量關系，列方程.三、教學過程知識回顧一、列方程解應用題的一般步驟是：

1.審：讀懂題意，弄清題目中哪些是已知量，哪些是未知量，

以及它們之間的等量關系；

2.設：設未知數，語句要完整，有單位的要注明單位；

3.列：根據等量關系列出方程(組)；

4.解：解所列方程(組)；

5.驗：檢驗所求方程(組)的解是否正確，是否符合題意；

6.答：答案也必需是完整的語句，注明單位.

二、列方程解應用題的關鍵是：找等量關系探究1有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？分析：設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人.

開始有一個人患了流感，第一輪的傳染源就是這個人，他傳染了x個人，用代數式表示，第一輪后共有__________人患了流感；第二輪傳染中，這些人中的每個人又傳染了x個人，用代數式表示，第二輪后共有______________人患了流感.列方程1+x+x(1+x)=121解：設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人.根據題意，列出方程1+x+x(1+x)=121(1+x)2=121解方程，得x1=10，x2=-12(不合題意，舍去)答：每輪傳染中平均一個人傳染了10個人.思考如果按照這樣的傳染速度，經過三輪傳染后共有多少人患流感？n輪呢？三輪傳染后：121+10×121=(10+1)3=113=1331(人)n輪傳染后：11n(人)探究2兩年前生產1t甲種藥品的成本是5000元，生產1t乙種藥品的成本是6000元，隨著生產技術的進步，現在生產1t甲種藥品的成本是3000元，生產1t乙種藥品的成本是3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大？分析：

甲種藥品成本的年平均下降額為：(5000-3000)÷2=1000(元)

乙種藥品成本的年平均下降額為：(6000-3600)÷2=1200(元)

顯然，乙種藥品成本的年平均下降額較大.但是，年平均下降額(元)不等同于年平均下降率(百分數).解：設甲種藥品成本的年平均下降率為x，則一年后甲種藥品成本為___________元，兩年后甲種藥品成本為___________元，根據題意，列出方程5000(1-x)2=3000解得x1≈0.225，x2≈1.775(不合題意，舍去)答：根據問題的實際意義，甲種藥品成本的年平均下降率約為22.5%.算一算：乙種藥品成本的年平均下降率是多少？類似于甲種藥品成本年平均下降率的計算，根據題意，列出方程6000(1-y)2=3600解得乙種藥品成本年平均下降率約為22.5%.比較：兩種藥品成本的年平均下降率.(相同)思考經過計算，你能得出什么結論？成本下降額大的藥品，它的成本下降率一定也大嗎？應怎樣全面地比較幾個對象的變化狀況？成本下降額大的產品，其成本下降率不一定大.成本下降額表示絕對變化量，成本下降率表示相對變化量，兩者兼顧才能全面比較對象的變化狀況.方法總結類似地，這種增長率的問題在實際生活中普遍存在.它有一定的模式：若平均增長(或降低)百分率為x，增長(或降低)前的量是a，增長(或降低)n次后的量是b，則它們的數量關系可表示為：a(1±x)n=b(其中增長取+，降低取-)練習1.在古代有一部落，15位族人外出狩獵回來，其中有5個人染上了瘟疫，經過兩輪傳染后部落里共有125個人染上了瘟疫，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？解：設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人.根據題意，列出方程5+5x+x(5+5x)=125，整理得5(1+x)2=125解方程，得x1=4，x2=-6(不合題意，舍去)答：每輪傳染中平均一個人傳染了4個人.2.某商店6月份的利潤是2.5萬元，要使8月份的利潤達到3.6萬元，這兩個月的月平均增長率是多少？解：設這兩個月的月平均增長率是x.根據題意，列出方程2.5(1+x)2=3.6解方程，得x1=0.2，x2=-2.2(不合題意，舍去)答：這兩個月的月平均增長率為20%.課堂小結1.本節(jié)課你有哪些收獲？2.還有沒解決的問題嗎？四、教學反思教學過程中，強調利用一元二次方程解應用題的步驟和關鍵，特別是解有關的傳播問題時，一定要明確每一輪傳染源的基數，強調解決有關增長率及利潤問題時，應考慮實際，對方程的根進行取舍.實際問題與一元二次方程(2)一、教學目標(一)知識與技能：能正確利用一元二次方程的相關知識解決幾何圖形的面積問題.(二)過程與方法：經歷將實際問題轉化為數學問題的過程，進-步深入體會一元二次方程在實際生活中的應用，提高數學應用意識.(三)情感態(tài)度與價值觀：體驗數學在現實生活中的作用，體驗學習數學的快樂.二、教學重點、難點重點：根據面積之間的等量關系建立一元二元方程的數學模型并運用它解決實際問題.難點：根據面積之間的等量關系建立一元二次方程的數學模型.三、教學過程知識預備1.矩形的長和寬分別為am和bm，則其面積為____m2，周長為_______m.

2.梯形的上、下底分別為acm和bcm，高為hcm，則其面積為__________cm2.

3.圓的半徑為rcm，則其面積為____cm2，周長為____cm.

4.長方體的長、寬、高分別是acm，bcm和ccm，則其體積為_____cm3.

5.直角三角形的兩直角邊長分別為acm和bcm，斜邊長為ccm，則a，b，c之間的數量關系為_________.練一練現有長19cm，寬15cm的矩形硬紙片，將它的四角各剪去一個同樣大小的正方形后，再折成一個無蓋的紙盒，要使紙盒的底面積為117cm2，問剪去的小正方形的邊長應是多少？解：設剪去的小正方形的邊長為xcm，則盒底的長為(19-2x)cm，寬為(15-2x)cm，依題意得(19-2x)(15-2x)=117整理得x2-17x+42=0解得x1=3，x2=14(不合題意，舍去)答：剪去的小正方形的邊長應為3cm.探究3如圖，要設計一本書的封面，封面長27cm，寬21cm，正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形.如果要使四周彩色的邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應如何設計四周邊襯的寬度(結果保留小數點后一位)？分析：封面的長寬之比是27:21=9:7，中央的矩形的長寬之比也應是9:7.設中央矩形的長和寬分別是9acm和7acm，由此得上、下邊襯與左、右邊襯的寬度之比是(27-9a):(21-7a)=9(3-a):7(3-a)=9:7解：設上、下邊襯的寬均為9xcm，左、右邊襯的寬均為7xcm，則中央的矩形的長為(27-18x)cm，寬為(21-14x)cm，根據題意，列出方程(27-18x)(21-14x)=×27×21整理，得16x2-48x+9=0解得x1=，x2=(不合題意，舍去)則：9x≈1.8，7x≈1.4.答：上、下邊襯的寬約為1.8cm，左、右邊襯的寬約為1.4cm.思考如果換一種設未知數的方法，是否可以更簡單地解決上面的問題？請你試一試.解：設中央的矩形的長、寬分別為9ycm、7ycm，根據題意，列出方程9y·7y=×27×21整理，得y2=解得y1=，y2=(不合題意，舍去)則：(27-9y)≈1.8，(21-7y)≈1.4.答：上、下邊襯的寬約為1.8cm，左、右邊襯的寬約為1.4cm.練習用22cm長的鐵絲，折成一個面積是30cm2的矩形，求這個矩形的長和寬.又問：能否折成面積是32cm2的矩形呢？為什么？解：設矩形的一邊長為xcm，則另一邊長為(11-x)㎝，依題意得x(11-x)=30，解得x1=6，x2=5因此，這個矩形的長和寬分別為6cm、5cm.不能折成面積是32cm2的矩形，理由如下：x(11-x)=32，整理得x2-11x+32=0∵b2-4ac=(-11)2-4×1×32=-7＜0

∴方程無實數根

∴不能折成面積是32cm2的矩形課堂小結1.本節(jié)課你有哪些收獲？2.還有沒解決的問題嗎？四、教學反思與圖形有關的問題是一元二次方程應用的常見題型，解決這類問題的關鍵是將不規(guī)則圖形分割或補全成規(guī)則圖形，找出各部分面積之間的關系，運用面積等計算公式列出方程，對圖形進行分割或補全的原則，轉化成為規(guī)則圖形時越簡單越直觀越好.第21章一元二次方程小結與復習一、教學目標(一)知識與技能：1.靈活運用開平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元-二次方程；2.運用一元二次方程解決簡單的實際問題.(二)過程與方法：1.經歷運用知識，技能解決問題的過程，發(fā)展學生的獨立思考能力和創(chuàng)新精神；2.了解數學解題中的方程思想、轉化思想、分類討論思想和整體思想.(三)情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學生對數學的求知欲，養(yǎng)成質疑和獨立思考的學習習慣.二、教學重點、難點重點：根據一元二次方程的特征，靈活選用解法，以及應用一元二次方程知識解決實際問題.難點：靈活選用恰當方法解一元二次方程以及列方程.三、教學過程知識梳理一、一元二次方程的基本概念

1.定義：只含有一個未知數的整式方程，并且都可以化為ax2＋bx＋c＝0(a，b，c為常數，a≠0)的形式，這樣的方程叫做一元二次方程.

2.一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c為常數，a≠0)3.項數和系數：二次項：ax2二次項系數：a一次項：bx一次項系數：b常數項：c

4.注意事項：(1)含有一個未知數；(2)未知數的最高次數為2；(3)二次項系數不為0；(4)整式方程.二、一元二次方程的根與系數的關系

已知x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c為常數，a≠0)的兩根.則有：，.注意：(1)不是一般式的，要化成一般式；(2)在方程有實數根的條件下應用，即b2-4ac≥0；(3)在使用時，注意“-”不要漏寫.三、解一元二次方程的方法

各種一元二次方程的解法及使用類型四、一元二次方程的應用

列方程解應用題的一般步驟：

審：審清題意，分清題中的已知量、未知量.

設：設未知數，設其中某個未知量為x.

列：根據題意尋找等量關系列方程.

解：解方程.

驗：檢驗方程的解是否符合題意.

答：寫出答案(包括單位).考點講練考點一一元二次方程的定義例1若關于x的方程(m－1)x2＋mx－1＝0是一元二次方程，則m的取值范圍是()

A.m≠1B.m＝1C.m≥1D.m≠0針對訓練1.方程5x2－x－3＝x2－3＋x的二次項系數是_____，一次項系數是_____，常數項是_____.

2.當k_____時，關于x的方程是一元二次方程.考點二一元二次方程的根的應用例2若關于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋m2－1＝0有一個根為0，則m＝____.針對訓練3.一元二次方程x2＋px－3＝0的一個根為3，則p的值為_____.考點三一元二次方程的解法例3(1)用配方法解方程x2－2x－5＝0時，應變?yōu)?)

A.(x－1)2＝6B.(x＋2)2＝9C.(x＋1)2＝6D.(x－2)2＝9

(2)某三角形兩邊長分別為3和6，它第三邊的長是方程x2－13x＋36＝0的根，則該三角形的周長為()

A.13B.15C.18D.13或18針對訓練4.菱形ABCD的一條對角線長為6，邊AB的長是一元二次方程x2－7x＋12＝0的一個根，則菱形ABCD的周長為()

A.12B.16C.16或125.用公式法和配方法分別解方程：x2－4x－1＝0解：公式法：a=1，b=-4，c=-1.

Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×(-1)=20＞0

方程有兩個不等的實數根即x1=2+，x2=2-.解：配方法：移項，得x2-4x=1配方，得x2-4x+22=1+22(x-2)2=5由此可得x-2=∴x1=2+，x2=2-.考點四一元二次方程的根的判別式的應用例4已知關于x的一元二次方程x2－3m＝4x有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍是()

A.m＜0B.m＜2C.m≥0D.針對訓練6.下列所給方程中，沒有實數根的是()

A.x2＋x＝0B.5x2－4x－1＝0C.3x2－4x＋1＝0D.4x2－5x＋2＝0

7.若關于x的一元二次方程(k＋1)x2－6x＋3＝0有實數根，則k的取值范圍是__________.考點五一元二次方程的根與系數的關系例5已知一元二次方程x2－4x－3＝0的兩根為m、n，不解方程求m2－mn＋n2的值.解：∵m、n是方程x2-4x-3=0的兩根∴m+n=4，mn=-3∴m2-mn+n2=m2+2mn+n2-3mn=(m+n)2-3mn=42-3×(-3)=25針對訓練8.已知方程2x2＋4x－3＝0的兩根分別為x1和x2,則的值等于()

A.7B.－2C.D.重要變形，，考點六一元二次方程的應用例6某機械公司經銷一種零件，已知這種零件的成本為每件20元，調查發(fā)現當銷售價為24元，平均每天能售出32件，而當銷售價每上漲2元，平均每天就少售出4件.(1)若公司每天的銷售價為x元，則每天的銷售量為多少？(2)如果物價部門規(guī)定這種零件的銷售價不得高于每件28元，該公司想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價應當為多少元？解：(1)每天的銷售量為：32-2(x-24)=(80-2x)件；

(2)由題意可得(x-20)(80-2x)=150

解得x1=25，x2=35

由題意x≤28，∴x=25，即銷售價應當為25元.針對訓練9.菜農小王種植的某種蔬菜，計劃以每千克5元的價格對外批發(fā)銷售.由于部分菜農盲目擴大種植，造成該種蔬菜滯銷.小王為了加快銷售，減少損失，對價格經過兩次下調后，以每千克3.2元的價格對外批發(fā)銷售.求平均每次下調的百分率是多少？解：設平均每次下調的百分率是x，根據題意得

5(1-x)2=3.2

解得x1=1.8(舍去)，x2=0.2=20%

答：平均每次下調的百分率是20%.10.為了響應市委市政府提出的建設綠色家園的號召，我市某單位準備將院內一個長為30m，寬為20m的長方形空地，建成一個矩形的花園，要求在花園中修兩條縱向平行和三條橫向平行的寬度相同的小道，剩余的地方種植花草，如圖所示，要是種植花草的面積為532m解：設小道的寬度應為x米.根據題意得

(30-2x)(20-x)=532

整理得x2-35x+34=0

解得x1=1，x2=34(舍去)

答：小道的寬度應為1米.二次函數一、教學目標(一)知識與技能：能夠表示簡單變量間的二次函數關系，理解二次函數的意義與特征，提高學生的分析和概括的能力.(二)過程與方法：逐個探求不同實例中兩個變量之間的關系，后總結、概括，得出二次函數的定義，獲得用二次函數來表示變量之間的體驗.(三)情感態(tài)度與價值觀：進一步增強用數學方法解決實際問題的能力，體會二次函數在廣泛應用中的作用.二、教學重點、難點重點：二次函數實例分析、二次函數定義的理解.難點：從實例中抽象出二次函數的定義，會分析實例中的二次函數關系.三、教學過程圖片引入函數是描述現實世界中變化規(guī)律的數學模型

溫故知新1.什么是函數？我們學過哪些函數？一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量，y是x的函數.

一般地，形如y=kx+b(k，b是常數，k≠0)的函數，叫做一次函數.其中，當b=0時，y=kx為正比例函數.

特別注意：k≠0，自變量x的指數是1.2.若函數y=(m-1)x+4-m是關于x的一次函數，則m____；若函數是關于x的正比例函數，則m的值是____，此時函數解析式為_________.某果園有100棵橙子樹，每一棵樹平均結600個橙子.現準備多種一些橙子樹以提高產量，但是如果多種樹，那么樹之間的距離和每一棵樹所接受的陽光就會減少.根據經驗估計，每多種一棵樹，平均每棵樹就會少結5個橙子.(1)問題中有那些變量？其中哪些是自變量？哪些是因變量？(2)假設果園增種x棵橙子樹，那么果園共有_______棵橙子樹；這時平均每棵樹結_________個橙子.(3)如果果園橙子的總產量為y個，那么請你寫出y與x之間的關系式________________________________________________________________.y=(100+x)(600-5x)即y=-5x2+100x+60000思考在上述問題中，種多少棵橙子樹，可以使果園橙子的總產量最多？y是x的函數嗎？顯然對于x的每一個值，y都有一個對應值，即y是x的函數.引言正方體的六個面是全等的正方形(如下圖)，設正方體的棱長為x，表面積為y，則它們的具體關系可以表示為________.y是x的函數嗎？問題1n個球隊參加比賽，每兩隊之間進行一場比賽，比賽的場次數m與球隊數n有什么關系式？解：每個隊要與其他(n-1)個球隊各比賽一場，甲隊對乙隊的比賽與乙隊對甲隊的比賽是同一場比賽，所以比賽的場次數m=n(n-1)，即.m是n的函數嗎？問題2某種產品現在的年產量是20t，計劃今后兩年增加產量，如果每年都比上一年的產量增加x倍，那么兩年后這種產品的產量y將隨計劃所定的x的值而確定，y與x之間的關系應怎樣表示？解：這種產品一年后的產量為________t，再經過一年后的產量為_____________t，即兩年后的產量y=20(1+x)2，即y=20x2+40x+20y是x的函數嗎？思考函數y=-5x2+100x+60000，y=6x2，，y=20x2+40x+20有什共同特點？一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常數，a≠0)的函數，叫做二次函數.其中，x是自變量，a，b，c分別是函數解析式的二次項系數、一次項系數和常數項.提示:

(1)關于x的代數式一定是整式，a，b，c為常數，且a≠0；

(2)等式的右邊最高次數為2，可以沒有一次項和常數項，但不能沒有二次項；

(3)一般情況下，自變量x的取值范圍是任意實數.練習1.一個圓柱的高等于底面半徑，寫出它的表面積S與底面半徑r之間的關系.解：S=2·πr2+2πr·r

整理得，S=4πr22.如圖，矩形綠地的長、寬各增加xm，寫出擴充后的綠地的面積y與x的關系式.解：y=(30+x)(20+x)

整理得，y=x2+50x+600課堂小結1.本節(jié)課你有哪些收獲？2.還有沒解決的問題嗎？四、教學反思教學過程中，強調判斷一個函數為二次函數的三個條件，可對比已學過的一次函數，進一步鞏固函數的有關知識.二次函數y=ax2的圖象和性質一、教學目標(一)知識與技能：會利用描點法作出二次函數y=x2的圖象，并能根據圖象認識和理解二次函數y=x2的性質.(二)過程與方法：經歷畫二次函數y=x2的圖象和探索性質的過程，獲得利用圖象研究函數性質的經驗.(三)情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學生利用數形結合的思想研究二次函數y=ax2的圖象、性質，提高學生觀察、分析、比較、概括等能力.二、教學重點、難點重點：二次函數y=ax2的圖象的作法和性質.難點：根據圖象認識和理解二次函數表達式與圖象之間的聯系.三、教學過程認真觀察，請描述投擲籃球入籃框的過程，運行路線是什么？

復習啟新1.一次函數的圖象是_________.

2.通常怎樣畫一個函數的圖象：_________________.

3.二次函數的圖象是什么形狀呢？它又有哪些性質呢？結合圖象討論性質是數形結合地研究函數的重要方法.我們將從最簡單的二次函數y=x2開始，逐步深入地討論一般二次函數的圖象和性質.作二次函數y=x2的圖象.(列表、描點、連線)在坐標平面中描點，再用平滑曲線順次連接各點，就得到函數y=x2的圖象.從圖象可以看出，二次函數y=x2的圖象是一條曲線，它的形狀類似于投籃時或擲鉛球時球在空中所經過的路線，只是這條曲線開口向上.這條曲線叫做拋物線y=x2.

實際上，二次函數的圖象都是拋物線，它們的開口或者向上或者向下.一般地，二次函數y=ax2+bx+c的圖象叫做拋物線y=ax2+bx+c.1.拋物線y=x2是軸對稱圖形嗎？___，如果是，它的對稱軸是_____.

2.拋物線y=x2與對稱軸的交點______叫做物線y=x2的______，它是拋物線y=x2的最___點.

實際上，每條拋物線都有對稱軸，拋物線與對稱軸的交點叫做拋物線的頂點.頂點是拋物線的最低點或最高點.

3.從二次函數y=x2的圖象可以看出：在對稱軸的左側，拋物線從左到右下降；在對稱軸的右側，拋物線從左到右上升.也就是說，當x＜0時，y隨x的增大而_____；當x＞0時，y隨x的增大而_____；例1在同一直角坐標系中，畫出函數y=x2，y=2x2的圖象.解：分別列表，再畫出它們的圖象.思考觀察三個函數的圖象，它們之間有什么共同點和不同點？一般地，當a＞0時，拋物線y=ax2的開口向上，對稱軸是y軸，頂點是原點，頂點是拋物線的最低點，a越大，拋物線的開口越小.探究在同一直角坐標系中，畫出函數y=-x2，y=-x2，y=-2x2的圖象，并考慮這些拋物線有什么共同點和不同點.一般地，當a＜0時，拋物線y=ax2的開口向下，對稱軸是y軸，頂點是原點，頂點是拋物線的最高點，a越小，拋物線的開口越小.對比拋物線y=x2和y=-x2，它們關于x軸對稱嗎？一般地，拋物線y=ax2和y=-ax2呢？歸納二次函數y=ax2的圖象和性質練習說出下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點：課堂小結1.本節(jié)課你有哪些收獲？2.還有沒解決的問題嗎？四、教學反思教學過程中，強調學生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函數y＝ax2的圖象與性質，體會數學建模的數形結合的思想方法.二次函數y=ax2+k與y=a(x-h)2一、教學目標(一)知識與技能：1.會畫函數y=ax2+k、y=a(x-h)2的圖象，能正確說出它們的圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標；2.掌握拋物線y=ax2+k、y=a(x-h)2的平移規(guī)律.(二)過程與方法：經歷探索二次函數y=ax2+k、y=a(x-h)2的圖象的畫法和性質的過程，提高作圖能力，學會觀察比較、體驗數形結合的數學思想與方法.(三)情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)積極參與的態(tài)度、樂于探索、增強數形結合的思想意識.二、教學重點、難點重點：作出二次函數y=ax2+k、y=a(x-h)2的圖象，探索其性質.難點：拋物線的平移規(guī)律的理解以及a、k、h的作用的理解.三、教學過程知識回顧二次函數y=ax2的圖象和性質

例2在同一直角坐標系中，畫出二次函數y=2x2+1，y=2x2-1的圖象.解：先列表：思考(1)拋物線y=2x2+1，y=2x2-1的開口方向、對稱軸、頂點各是什么？

(2)拋物線y=2x2+1，y=2x2-1與拋物線y=2x2有什么關系？1.拋物線y=2x2+1的開口____、對稱軸____、頂點是_______.

2.拋物線y=2x2-1的開口____、對稱軸____、頂點是_______.Ⅰ.把拋物線y=2x2向上平移1個單位，就得到拋物線y=2x2+1；

Ⅱ.把拋物線y=2x2向下平移1個單位，就得到拋物線y=2x2-1.思考拋物線y=ax2+k與拋物線y=ax2有什么關系？，口決：上加下減練習在同一直角坐標系中，畫出下列二次函數的圖象：，，.觀察三條拋物線的位置關系，并分別指出它們的開口方向、對稱軸和頂點.你能說出拋物線的開口方向、對稱軸和頂點嗎？它與拋物線有什么關系？探究在同一直角坐標系中，畫出二次函數y=-(x+1)2，y=-(x-1)2的圖像，并考慮它們的開口方向、對稱軸和頂點.解：先列表：拋物線y=-(x+1)2的開口向下，對稱軸是經過點(-1，0)且與x軸垂直的直線，記作直線x=-1，頂點是(-1，0)；

拋物線y=-(x-1)2的開口____，對稱軸____________，頂點是________.思考拋物線y=-(x+1)2，y=-(x-1)2與拋物線y=-x2有什么關系？1.把拋物線y=-x2向左平移1個單位，就得到拋物線y=-(x+1)2，

2.把拋物線y=-x2向右平移1個單位，就得到拋物線y=-(x-1)2.思考拋物線y=a(x-h)2與拋物線y=ax2有什么關系？，.口決：左加右減練習在同一直角坐標系中，畫出下列二次函數的圖象：，，.觀察三條拋物線的位置關系，并分別指出它們的開口方向、對稱軸和頂點.歸納二次函數y=ax2+k的性質二次函數y=a(x-h)2的性質課堂小結1.本節(jié)課你有哪些收獲？2.還有沒解決的問題嗎？四、教學反思教學過程中，強調學生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函數y＝ax2＋k的圖象與性質和二次函數y＝a(x－h(huán))2的圖象與性質，體會它們與y＝ax2與之間聯系與區(qū)別.體會數學建模的數形結合思想方法.二次函數y=a(x-h)2+k的圖象和性質一、教學目標(一)知識與技能：1.會畫函數y=a(x-h)2+k的圖象；2.能正確說出y=a(x-h)2+k的開口方向、對稱軸和頂點坐標；3.掌握拋物線y=a(x-h)2+k的平移規(guī)律.(二)過程與方法：經歷探索二次函數y=a(x-h)2+k的圖象的畫法和性質的過程，提高作圖能力，學會觀察比較、體驗數形結合的數學思想與方法.(三)情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學生參與的態(tài)度、樂于探索、增強數形結合的思想意識.二、教學重點、難點重點：作出二次函數y=a(x-h)2+k的圖象，探索其性質.難點：拋物線的平移規(guī)律的理解以及a、h、k的作用的理解.三、教學過程復習啟新

1.拋物線y=ax2+k怎樣由拋物線y=ax2平移得到？

2.拋物線y=a(x-h)2怎樣由拋物線y=ax2平移得到？，口決：上加下減，.口決：左加右減猜想：拋物線y=a(x-h)2+k怎樣由拋物線y=ax2平移得到？例3畫出函數y=-(x+1)2-1的圖像，指出它的開口方向、對稱軸和頂點.解：先列表：拋物線y=-(x+1)2-1的開口______、對稱軸是_________、

頂點是_________.怎樣移動拋物線y=-x2就可以得到拋物線y=-(x+1)2-1？平移方法1：平移方法2：歸納一般地，拋物線y=a(x-h)2+k與y=ax2形狀相同，位置不同.把拋物線y=ax2向上(下)向左(右)平移，可以得到拋物線y=a(x-h)2+k.平移的方向、距離要根據h、k的值來決定.二次函數y=a(x-h)2+k的性質例4要修建一個圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管.在水管的頂端安裝一個噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達到最高，高度為3m，水柱落地處離池中心3m，水管應多長？解：如圖，以水管與地面交點為原點，原點與水柱落地處所在直線為x軸，水管所在直線為y軸，建立直角坐標系.點(1，3)是圖中這段拋物線的頂點.因此可設這段拋物線對應的函數解析式是y=a(x-1)2+3(0≤x≤3)

∵這段拋物線經過點(3，0)

∴0=a(3-1)2+3，解得：

∴y=-(x-1)2+3(0≤x≤3)

當x=0時，y=2.25

答：水管長應為2.25m.練習寫出下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點：課堂小結1.本節(jié)課你有哪些收獲？2.還有沒解決的問題嗎？四、教學反思教學過程中，強調學生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函數y＝a(x－h(huán))2＋k的圖象與性質，體會數學建模的數形結合思想方法.二次函數y=ax2+bx+c的圖象和性質一、教學目標(一)知識與技能：1.能通過配方把二次函數y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式，從而確定開口方向、對稱軸和頂點坐標；2.會利用對稱性畫出二次函數的圖象.(二)過程與方法：經歷求二次函數y=ax2+bx+c的對稱軸和頂點坐標的探究過程，滲透配方法和數形結合的思想方法.(三)情感態(tài)度與價值觀：讓學生親自體會到學習數學的價值，從而提高學生學習數學的興趣，并獲得成功感.二、教學重點、難點重點：用配方法確定拋物線的頂點坐標和對稱軸.難點：二次函數y=ax2+bx+c的圖像及性質.三、教學過程知識回顧

1.一般地，拋物線y=a(x-h)2+k與y=ax2的______相同，_____不同.2.拋物線y=a(x-h)2+k有如下特點：

(1)當a＞0時,開口____，當a＜0時，開口____；(2)對稱軸是_______；(3)頂點是_______.3.拋物線y=-4(x+2)2-5的開口______，對稱軸是直線_______，頂點坐標為_________；它可由拋物線y=-4x2向____(填“左”或“右”)平移____個單位，再向___(填“上”或“下”)平移____個單位得到；當x=___時，y有最___值，其值為___；當______時，y隨著x的增大而增大，當______時，y隨著x的增大而減小.二次函數的圖象是有什么特點？它與我們已經作過的二次函數的圖象有什么關系？我們知道，像這樣的函數，容易確定相應拋物線的頂點為(h，k)，二次

函數也能化成這樣的形式嗎？探究新知1.配方法：怎樣把轉化成的形式？解：(1)“提”：提出二次項系數；(2)“配”：括號內配成完全平方式；(3)“化”：化成頂點式.2.直接畫二次函數的圖象.拋物線的頂點是(6，3)，對稱軸是直線x=6.解：利用圖象的對稱性列表：描點畫圖，得到的圖象.在對稱軸的左側，拋物線從左到右下降；在對稱軸的右側，拋物線從左到右上升.也就是說，當x＜6時，y隨x的增大而減?。划攛＞6時，y隨x的增大而增大.探究你能用前面的方法討論二次函數的圖象和性質嗎？開口向下

頂點是(-1，3)

對稱軸是直線x=-1

當x＜-1時，y隨x的增大而增大；當x＞-1時，y隨x的增大而減小.一般地，二次函數可以通過配方化成y=a(x-h)2+k的形式(頂點式).對稱軸是直線x=-

頂點是(-，)

如果a＞0時，那么當x=-時，y最小值=

如果a＜0時，那么當x=-時，y最大值=如果a＞0，當x＜-時，y隨x的增大而減小，當x＞-時，y隨x的增大而增大；

如果a＜0，當x＜-時，y隨x的增大而增大，當x＞-時，y隨x的增大而減小.練習寫出下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點：課堂小結1.本節(jié)課你有哪些收獲？2.還有沒解決的問題嗎？四、教學反思教學過程中，強調學生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象與性質，體會數學建模的數形結合思想方法.用待定系數法求二次函數的解析式一、教學目標(一)知識與技能：會用待定系數法求二次函數的解析式，根據條件恰當設二次函數解析式形式，體會二次函數解析式之間的轉換.(二)過程與方法：使學生進一步體驗如何用數學的方法去描述變量之間的數量關系，發(fā)展概括及分析問題、解決問題的能力.(三)情感態(tài)度與價值觀：讓學生在學習過程中體會學習數學知識的價值，從而提高學習數學知識的興趣.二、教學重點、難點重點：運用待定系數法求二次函數解析式.難點：根據條件恰當設二次函數解析式形式.三、教學過程知識預備

1.已知一次函數經過點(1，3)和(-2，-12)，求這個一次函數的解析式.解：設這個一次函數的解析式為y=kx+b.

∵一次函數經過點(1，3)和(-2，-12)

∴得關于k，b的二元一次方程組：，解得∴這個一次函數的解析式為y=5x-2.2.解三元一次方程組：解：由①-③與②-③得二元一次方程組解這個方程組，得把a=2，b=3代入③得c=1因此，三元一次方程組的解為探究我們知道，由兩點(兩點的連線不與坐標軸平行)的坐標可以確定一次函數，即可以求出這個一次函數的解析式.對于二次函數，探究下面的問題：

(1)由幾個點的坐標可以確定二次函數？這幾個點應滿足什么條件？

(2)如果一個二次函數的圖象經過(-1，10)，(1，4)，(2，7)三點，能求出這個二次函數的解析式嗎？如果能，求出這個二次函數的解析式.分析：確定一次函數，即寫出這個一次函數的解析式y=kx+b，需求出k，b的值.用待定系數法，由兩點(兩點的連線不與坐標軸平行)的坐標，列出關于k，b的二元一次方程組就可以求出k，b的值.類似地，確定二次函數，即寫出這個二次函數的解析式y=ax2+bx+c，需求出a，b，c的值.由不共線三點(三點不在同一直線上)的坐標，列出關于a，b，c的三元一次方程組就可以求出a，b，c的值.解：(2)設所求二次函數為y=ax2+bx+c.

由已知，函數圖象經過(-1，10)，(1，4)，(2，7)三點，得關于a，b，c的三元一次方程組解這個方程組，得因此，所求二次函數的解析式為y=2x2-3x+5.知識梳理知識點用待定系數法求二次函數的解析式求二次函數y=ax2+bx+c的解析式，關鍵是求出待定系數a，b，c的值.由已知條件(如二次函數圖象上三個點的坐標)列出關于a，b，c的方程組，求出a，b，c的值，就可以寫出二次函數的解析式.例已知拋物線的頂點是(1，-3)，且經過點M(2，0)，求拋物線的解析式.解：由拋物線的頂點是(1，-3)，可設拋物線的解析式為：y=a(x-1)2-3

∵拋物線經過點M(2，0)

∴0=a×(2-1)2-3，解得a=3

∴拋物線的解析式為：y=3(x-1)2-3，即y=3x2-6x歸納總結二次函數解析式的類型及適用情況練習1.一個二次函數，當自變量x=0時，函數值y=-1，當x=-2與時，y=0.求這個二次函數的解析式.解：設這個二次函數的解析式為y=ax2+bx+c，依題意得解這個方程組，得因此，所求二次函數的解析式為y=x2+x-1.2.一個二次函數的圖象經過