復(fù)變函數(shù)課后習(xí)題答案全

千里之行，始于足下讓知識(shí)帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦復(fù)變函數(shù)課后習(xí)題答案全習(xí)題一答案

1．求下列復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部、模、幅角主值及共軛復(fù)數(shù)：

（1）

1

32i

+

（2）

(1)(2)

i

ii

--

（3）13

1

i

ii

-

-

（4）821

4

iii

-+-

解：（1）

132

3213

iz

i

-

==

+

，

因此：

32Re,Im

1313zz

==-，

232

argarctan,

31313

zzzi

==-=+

（2）

3

(1)(2)1310

iii

z

iii

-+

===

，

因此，

31

Re,Im

1010

zz

=-=，

131

argarctan,

31010

zzzi

π

==-=--

（3）

133335

122

iii

zi

ii

--

=-=-+=

-

，

因此，

35

Re,Im

32

zz

==-，

535

,argarctan,

232

i

zzz

+

==-=

（4）821

41413

ziiiiii

=-+-=-+-=-+

因此，Re1,Im3

zz

=-=，

argarctan3,13

zzzi

π

==-=--

2．將下列復(fù)數(shù)化為三角表達(dá)式和指數(shù)表達(dá)式：

（1）i（2

）1

-+（3）(sincos)

ri

θθ

+

（4）(cossin)

ri

θθ

-（5）1cossin(02)

i

θθθπ

-+≤≤解：（1）2

cossin

22

i

iie

π

ππ

=+=

（2

）1-+23

222(cossin)233

iieπππ=+=

（3）(sincos)riθθ+()2

[cos()sin()]22

i

rire

π

θππ

θθ-=-+-=

（4）(cossin)riθ

θ-[cos()sin()]irireθθθ-=-+-=

（5）2

1cossin2sin2sincos222

iiθ

θθ

θθ-+=+2

2sin[cos

sin

]2sin22

22

i

ie

πθ

θπθ

πθ

θ

=+=

3．求下列各式的值：

（1

）5)i-（2）100100(1)(1)ii++-

（3

）(1)(cossin)

(1)(cossin)

iiiθθθθ-+--（4）

23(cos5sin5)(cos3sin3)ii????+-

（5

（6

解：（1

）5)i-5[2(cos()sin())]66

iππ

=-+-

5

552(cos()sin()))66

iiππ

=-+-=-+

（2）100

100(1)

(1)ii++-50505051(2)(2)2(2)2ii=+-=-=-

（3

）(1)(cossin)

(1)(cossin)iiiθθθθ-+--

2[cos()sin()](cossin)

33)sin()][cos()sin()]44

iiiiππ

θθππ

θθ-+-+=

-+--+-

)sin()](cos2sin2)12

12

iiπ

π

θθ=-

+-

+

(2)12

)sin(2)]12

12

i

iπ

θπ

π

θθ-

=-

+-

=

（4）2

3

(cos5sin5)(cos3sin3)

ii????+-cos10sin10cos19sin19cos(9)sin(9)

iii??????+==+-+-（5

=11cos(2)sin(2)3232kikππ

ππ=++

+1

,0221,122

,2ikikik+=?

??=-

+=??-=???

（6

=

11(2)sin(2)]2424kikππππ=+++8

8,0,1

iiekekπ

π

==?=?

4．

設(shè)1

2,zzi=

=-試用三角形式表示12zz與12zz

解：1

2cos

sin

,2[cos()sin()]4

466

ziziπ

π

ππ

=+=-+-，所以

12zz2[cos()sin()]2(cossin)46461212

iiππππππ

=-+-=+，

12zz1155[cos()sin()](cossin)2464621212

iiππππππ

=+++=+5．解下列方程：（1）5

()

1zi+=（2）440(0)zaa+=>

解：（1

）zi+=由此

2

5

ki

ziei

π

=-=-，(0,1,2,3,4)

k=

（2

）z==

11

[cos(2)sin(2)]

44

akik

ππππ

=+++，當(dāng)0,1,2,3

k=時(shí)，對(duì)應(yīng)的4

(1),1),1),)

iiii

+-+

6．證實(shí)下列各題：（1）設(shè),

zxiy

=+

zxy

≤≤+

證實(shí)：首先，明顯有zxy

=≤+；

第二，因222,

xyxy

+≥固此有222

2()(),

xyxy

+≥+

從而

z=≥。

（2）對(duì)隨意復(fù)數(shù)

12

,,

zz有222

121212

2Re()

zzzzzz

+=++

證實(shí)：驗(yàn)證即可，首先左端22

1212

()()

xxyy

=+++，

而右端2222

11221122

2Re[()()]

xyxyxiyxiy

=+++++-

2222

11221212

2()

xyxyxxyy

=+++++22

1212

()()

xxyy

=+++，由此，左端=右端，即原式成立。

（3）若abi

+是實(shí)系數(shù)代數(shù)方程1

0110

nn

n

azazaza

-

-

++++=

L

的一個(gè)根，那么abi

-也是它的一個(gè)根。

證實(shí)：方程兩端取共軛，注重到系數(shù)皆為實(shí)數(shù)，并且按照復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算規(guī)章，()

nn

zz

=，由此得到：1

0110

()()0

nn

n

azazaza

-

-

++++=

L

由此說明：若z為實(shí)系數(shù)代數(shù)方程的一個(gè)根，則z也是。結(jié)論得證。（4）若1,

a=則,

ba

?≠皆有

1

ab

a

ab

-

=

-

證實(shí)：按照已知條件，有1aa=，因此：

1

1()abababaabaaabaaba====，證畢。（5）若1,1ab<<，則有

11ab

ab

-<-證實(shí)：

222

()()abababababab-=--=+--，

2

22

1(1)(1)1abababababab-=--=+--，

由于

1,1ab<<，所以，

2

2

2

2

2

2

1(1)(1)0ababab+--=--<，

因而2

2

1abab-<-，即

11ab

ab

-<-，結(jié)論得證。7．設(shè)

1,z≤試寫出訪nza+達(dá)到最大的z的表達(dá)式，

其中n為正整數(shù)，a為復(fù)數(shù)。

解：首先，由復(fù)數(shù)的三角不等式有

1nnzazaa+≤+≤+，

在上面兩個(gè)不等式都取等號(hào)時(shí)

nza+達(dá)到最大，為此，需要取n

z

與a同向且1n

z=，即n

z應(yīng)為a的單位化向量，由此，n

a

za

=，

z=

8．試用123,,zzz來表述使這三個(gè)點(diǎn)共線的條件。解：要使三點(diǎn)共線，那么用向量表示時(shí)，2

1zz-與31zz-應(yīng)平行，因而二

者應(yīng)同向或反向，即幅角應(yīng)相差0或π的整數(shù)倍，再由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算規(guī)章知21

31

zzArg

zz--應(yīng)為0或π的整數(shù)倍，至此得到：

123,,zzz三個(gè)點(diǎn)共線的條件是

21

31

zzzz--為實(shí)數(shù)。

9．寫出過1212,()zzzz≠兩點(diǎn)的直線的復(fù)參數(shù)方程。

解：過兩點(diǎn)的直線的實(shí)參數(shù)方程為：121121()

()

xxtxxyytyy=+-??

=+-?，因而，復(fù)參數(shù)方程為：

112121121()()zxiyxiytxxiyiyztzz=+=++-+-=+-

其中t為實(shí)參數(shù)。

10．下列參數(shù)方程表示什么曲線？（其中t為實(shí)參數(shù)）

（1）(1)zit=+（2）cossinzatibt=+（3）i

ztt

=+

解：只需化為實(shí)參數(shù)方程即可。（1）,xty

t==，因而表示直線yx=

（2）cos,sinxatybt==，因而表示橢圓22

221xyab

+=

（3）1

,xtyt

==，因而表示雙曲線1xy=

11．證實(shí)復(fù)平面上的圓周方程可表示為0zzazazc+++=，

其中a為復(fù)常數(shù)，c為實(shí)常數(shù)證實(shí)：圓周的實(shí)方程可表示為：2

20x

yAxByc++++=，

代入,22zzzzxyi+-==，并注重到222

xyzzz+==，由此022zzzz

zzABci

+-+++=，收拾，得

022

ABiABi

zzzzc-++++=

記2ABia+=，則2

ABi

a-=，由此得到

0zzazazc+++=，結(jié)論得證。

12．證實(shí)：幅角主值函數(shù)argz在原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸上不延續(xù)。證實(shí)：首先，argz在原點(diǎn)無定義，因而不延續(xù)。對(duì)于00x<，由a