2021-2022學(xué)年廣東省河源市敬梓中學(xué)高三數(shù)學(xué)文月考試卷含解析

2021-2022學(xué)年廣東省河源市敬梓中學(xué)高三數(shù)學(xué)文月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知，則的值為（）A.

B.2

C.

D.-2參考答案：B考查正切的兩角和差公式，而2.已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（-1,1）若點(diǎn)M（x,y）為平面區(qū)域上的一個(gè)動點(diǎn)，則的取值范圍是A.[-1.0]

B.[0.1]

C.[0.2]

D.[-1.2]參考答案：C本題考查了向量數(shù)量積的運(yùn)算和簡單的線性規(guī)劃知識，難度中偏低。而

畫出其表示的平面區(qū)域，可知為以（0，2），（1，2）（1，1）為頂點(diǎn)的三角形，把三點(diǎn)值代入－x+y可得，最大為2，最小為0，

故答案為C，本題也可作－x+y=0的平行線求得3.已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3=2a3﹣a1，則該數(shù)列的公比為(

)A．2 B． C．4 D．參考答案：A【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為q＞0，由S3=2a3﹣a1，可得2a1+a2=a3，即a1（2+q）=a1q2，化簡解出即可得出．【解答】解：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為q＞0，∵S3=2a3﹣a1，∴2a1+a2=a3，∴a1（2+q）=a1q2，化為q2﹣q﹣2=0，q＞0，解得q=2．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．4.若某程序框圖如圖所示，則輸出的p的值是(A)21

(B)26

(C)30

(D)55參考答案：C5.等比數(shù)列中，則=（

）A.70

B.40

C.30

D.90參考答案：答案：B6.（5分）已知sin（+α）=，則cos2α等于（）A．B．﹣C．D．﹣參考答案：D【考點(diǎn)】：二倍角的余弦．【專題】：三角函數(shù)的求值．【分析】：由誘導(dǎo)公式及已知可求cosα，利用二倍角的余弦函數(shù)公式即可求值．解：∵sin（+α）=cosα=，∴cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣．故選：D．【點(diǎn)評】：本題主要考查了誘導(dǎo)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（1﹣i）z=2i，則z的共軛復(fù)數(shù)(

) A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i參考答案：B考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．分析：把已知的等式變形，然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，則其共軛復(fù)數(shù)可求．解答： 解：由（1﹣i）z=2i，得=，∴．故選：B．點(diǎn)評：本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．8.設(shè)集合，B={x|1<x<5,x∈Ｒ}，若AB=，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.{a|0≤a≤6}

B.{a|a≤2，或a≥4}C.{a|a≤0，或a≥6}

D.{a|2≤a≤4}參考答案：C,因?yàn)?，所以有或，即或，選C.9.“”是“”的（A）充分必要條件

（B）必要而不充分條件（C）充分而不必要條件

（D）既不充分也不必要條件參考答案：C【考點(diǎn)】充分條件與必要條件【試題解析】若，則成立；

反過來，若，不一定成立，還可能

所以“”是“”的充分而不必要條件。10.已知點(diǎn)在角的終邊上，且，則的值為A.

B.

C.

D.參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知方程的兩根為，則方程的兩根分別為________________.參考答案：12.已知平面向量，的夾角為，||=2，||=1，則|+|=

．參考答案：考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．專題：平面向量及應(yīng)用．分析：運(yùn)用數(shù)量積的定義求解得出=||?||cos，結(jié)合向量的運(yùn)算，與模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化：|+|2=（）2=||2+||2+2，代入數(shù)據(jù)求解即可．解答： 解：∵平面向量，的夾角為，||=2，||=1，∴=||?||cos=2×=﹣1，∴|+|2=（）2=||2+||2+2=4+1﹣2=3，即|+|=．故答案為：．點(diǎn)評：本題考查了平面向量的數(shù)量積的運(yùn)用，應(yīng)用求解向量的模，計(jì)算簡單，屬于容易題．13.已知數(shù)列{an}中，，且，，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則

．參考答案：因?yàn)椋?，因?yàn)椋詳?shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以，即，，所以．14.已知?jiǎng)t的值

.參考答案：15.已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）﹣ax的圖象在x=1處的切線與直線x+2y﹣1=0平行，則實(shí)數(shù)a的值為

．參考答案：1【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)值等于﹣求得實(shí)數(shù)a的值．【解答】解：由f（x）=ln（1+x）﹣ax，得，則．∵函數(shù)f（x）=ln（1+x）﹣ax的圖象在x=1處的切線與直線x+2y﹣1=0平行，∴，即a=1．故答案為：1．16.定義映射，其中，，已知對所有的有序正整數(shù)對滿足下述條件:①；②若，；③，則

，

．參考答案：

根據(jù)定義得。，，，所以根據(jù)歸納推理可知。17.已知點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)滿足條件則點(diǎn)P到直線3x－4y－9＝0距離的最小值為_________．參考答案：2 略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)．（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)x＞0時(shí)，，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】3F：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．【專題】33：函數(shù)思想；49：綜合法；53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）先求出f（x）的定義域，再利用導(dǎo)數(shù)判斷f（x）的單調(diào)性，（2）分類參數(shù)可得a＞h（x），利用導(dǎo)數(shù)求出h（x）的最值或極限即可得出a的范圍．【解答】解：（1）令g（x）=xex，則g′（x）=ex（1+x），∴當(dāng)x＜﹣1時(shí)，g′（x）＜0，當(dāng)x＞﹣1時(shí)，g′（x）＞0，∴g（x）≥g（﹣1）=﹣，即xex≥﹣＞﹣1，∴xex+1＞0恒成立，∴f（x）的定義域?yàn)镽．f′（x）==，令f′（x）＞0得x＜0，令f′（x）＜0得x＞0，∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（﹣∞，0），單調(diào)減區(qū)間為（0，+∞）．（2）當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0，ax2+1＞0（a≥0），∵，∴a＞﹣+（x＞0），令h（x）=﹣+（x＞0），則h′（x）=﹣+﹣=，令p（x）=2ex﹣2﹣x﹣xex（x＞0），則p′（x）=ex﹣1﹣xex，∴p″（x）=﹣xex＜0，∴P′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，∴p′（x）＜p′（0）=0，∴p（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，∴p（x）＜p（0）=0，∴h′（x）＜0，∴h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，又h（x）=，∴==，∴h（x）＜，∴a≥．19.某班50名學(xué)生在一次數(shù)學(xué)測試中，成績?nèi)拷橛?0與100之間，將測試結(jié)果按如下方式分成五組：第一組[50，60），第二組[60，70），…，第五組[90，100]．如圖所示是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．（Ⅰ）若成績大于或等于60且小于80，認(rèn)為合格，求該班在這次數(shù)學(xué)測試中成績合格的人數(shù)；（Ⅱ）從測試成績在[50，60）∪[90，100]內(nèi)的所有學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名同學(xué)，設(shè)其測試成績分別為m、n，求事件“|m﹣n|＞10”概率．參考答案：【考點(diǎn)】頻率分布直方圖．【專題】計(jì)算題．【分析】（1）先算出頻率分布直方圖成績大于或等于60且小于80的頻率，再利用頻數(shù)等于頻率×樣本總數(shù)即可解得全班學(xué)生中成績合格的人數(shù)．（2）欲求事件“|m﹣n|＞10”概率，根據(jù)古典概型，算出基本事件的總個(gè)數(shù)n和算出事件事件“|m﹣n|＞10”中包含的基本事件的個(gè)數(shù)m；最后算出事件A的概率，即P（A）=．【解答】解：（I）由直方圖知，成績在[60，80）內(nèi)的人數(shù)為：50×10×（0.18+0.040）=29．所以該班在這次數(shù)學(xué)測試中成績合格的有29人．（II）由直方圖知，成績在[50，60）內(nèi)的人數(shù)為：50×10×0.004=2，設(shè)成績?yōu)閤、y成績在[90，100]的人數(shù)為50×10×0.006=3，設(shè)成績?yōu)閍、b、c，若m，n∈[50，60）時(shí)，只有xy一種情況，若m，n∈[90，100]時(shí)，有ab，bc，ac三種情況，若m，n分別在[50，60）和[90，100]內(nèi)時(shí)，有

abcxxaxbxcyyaybyc共有6種情況，所以基本事件總數(shù)為10種，事件“|m﹣n|＞10”所包含的基本事件個(gè)數(shù)有6種∴．【點(diǎn)評】在頻率分布直方圖中，每一個(gè)小矩形都是等寬的，即等于組距，高是，所以有：×組距=頻率；即可把所求范圍內(nèi)的頻率求出，進(jìn)而求該范圍的人數(shù)．20.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足2asinA=（2b﹣c）sinB+（2c﹣b）sinC．（Ⅰ）求角A的大??；（Ⅱ）若a=2，b=2，求△ABC的面積．參考答案：【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理．【專題】解三角形．【分析】（Ⅰ）△ABC中，由正弦定理得，再由余弦定理求得cosA=，A=；（Ⅱ）△ABC中，由正弦定理得到，進(jìn)而得到角B，再由內(nèi)角和為π得到角C，由三角形面積公式即得結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得，整理得，所以．

又A∈（0，π），故．

（Ⅱ）由正弦定理可知，又a=2，，，所以．

又，故或．

若，則，于是；

若，則，于是．【點(diǎn)評】本題主要考查正弦定理、余弦定理，以及三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題21.（14分）如圖，在正四棱錐P﹣ABCD中，PA=AB，E，F(xiàn)分別為PB，PD的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：AC⊥平面PBD；（Ⅱ）求異面直線PC與AE所成角的余弦值；（Ⅲ）若平面AEF與棱PC交于點(diǎn)M，求的值．參考答案：【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角；直線與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）設(shè)AC∩BD=O，則O為底面正方形ABCD中心．連接PO，推導(dǎo)出PO⊥AC，BD⊥AC，由此能證明AC⊥平面PBD．（Ⅱ）由OA，OB，OP兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，利用向量法能求出異面直線PC與AE所成角的余弦值．（Ⅲ）連接AM．設(shè)，其中λ∈[0，1]，求出平面AEMF的法向量，利用向量法能求出．【解答】（本小題滿分14分）證明：（Ⅰ）設(shè)AC∩BD=O，則O為底面正方形ABCD中心．連接PO．因?yàn)镻﹣ABCD為正四棱錐，所以PO⊥平面ABCD．（1分）所以PO⊥AC．（2分）又BD⊥AC，且PO∩BD=O，（3分）所以AC⊥平面PBD．（4分）（Ⅱ）因?yàn)镺A，OB，OP兩兩互相垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz．因?yàn)镻B=AB，所以Rt△POB≌Rt△AOB．所以O(shè)A=OP．（6分）設(shè)OA=2．所以A（2，0，0），B（0，2，0），C（﹣2，0，0），D（0，﹣2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），F(xiàn)（0，﹣1，1）．所以=（﹣2，1，1），=（﹣2，0，﹣2）．（7分）所以|cos＜＞|==．即異面直線PC與AE所成角的余弦值為．（9分）（Ⅲ）連接AM．設(shè)，其中λ∈[0，1]，則==（﹣2λ，0，﹣2λ），（10分）所以==（﹣2﹣2λ，0，2﹣2λ）．設(shè)平面AEMF的法向量為=（x，y，z），又=（﹣2，﹣1，1），所以，即所以y=0．令x=1，z=2，所以=（1，0，2）．（12分）因?yàn)锳M?平面AEF，所以=0，（13分）即﹣2﹣2λ+2（2﹣2λ）=0，解得，所以．（14分）【點(diǎn)評】本題考查線面垂直的證明，考查異面直線所成角的求法，考查線段比值的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查運(yùn)用意識，是中檔題．22.在中，內(nèi)角，，的對