信號與系統(tǒng)各章課件sas第六章

第六章離散時(shí)間信號的傅里葉分析6.1連續(xù)時(shí)間信號能用它的樣點(diǎn)來替代嗎？6.2離散時(shí)間周期信號(周期序列)的傅里葉分析(DTFS/DFS)6.3離散時(shí)間非周期信號的傅里葉分析（DTFT）6.4四類典型信號傅里葉分析的內(nèi)在聯(lián)系6.5怎樣才能實(shí)現(xiàn)用計(jì)算機(jī)對四類信號直接進(jìn)行計(jì)算和分析6.6離散傅立葉變換的性質(zhì)6.1連續(xù)時(shí)間信號能用它的樣點(diǎn)來替代嗎？6.1.1連續(xù)時(shí)間信號離散化過程和存在的問題離散時(shí)間信號是一個(gè)在離散時(shí)刻取值的信號。

時(shí)域取樣過程也就是把一個(gè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)的信號，變成為具有一定時(shí)間間隔才有函數(shù)值的離散時(shí)間信號的過程。

現(xiàn)實(shí)生活中的信號一般是連續(xù)的，如：語音信號、生物信號、地震信號等，要對連續(xù)信號進(jìn)行數(shù)字處理，首先必須對信號進(jìn)行采樣。6.1連續(xù)時(shí)間信號能用它的樣點(diǎn)來替代嗎？6.1連續(xù)時(shí)間信號能用它的樣點(diǎn)來替代嗎？

將連續(xù)信號進(jìn)行離散化，在取樣過程樣點(diǎn)是否可以隨意選取，均勻取樣的取樣間隔的確定有什么規(guī)律可循，這是信號取樣首先必須從理論上解決的取樣速度問題。否則就無法保證從樣點(diǎn)唯一地恢復(fù)或重建原來的連續(xù)時(shí)間信號?，F(xiàn)以每單位時(shí)間40個(gè)樣點(diǎn)的速度，即=40Hz分別對它們進(jìn)行取樣

6.1連續(xù)時(shí)間信號能用它的樣點(diǎn)來替代嗎？

無法從樣點(diǎn)中一對一地恢復(fù)或重構(gòu)出原來的模擬信號。究其原因在于取樣頻率選擇不當(dāng)，以致出現(xiàn)頻譜混疊。6.1連續(xù)時(shí)間信號能用它的樣點(diǎn)來替代嗎？混疊頻率6.1連續(xù)時(shí)間信號能用它的樣點(diǎn)來替代嗎？[例6－1]已知一模擬信號[解]①現(xiàn)以取樣率樣點(diǎn)/秒對進(jìn)行均勻取樣。試求①取樣后的離散時(shí)間信號；②若從該離散時(shí)間信號恢復(fù)成連續(xù)時(shí)間信號，是否與取樣前的原模擬信號一樣？為什么？6.1連續(xù)時(shí)間信號能用它的樣點(diǎn)來替代嗎？②將上式中的n代以，則得與原模擬信號有很大不同。究其原因在于當(dāng)以對該模擬信號進(jìn)行取樣時(shí)，由于產(chǎn)生低于的混疊頻率所造成。（a）當(dāng)分量kHz，求得（b）當(dāng)分量kHz，求得6.1連續(xù)時(shí)間信號能用它的樣點(diǎn)來替代嗎？結(jié)論：①信號離散化過程，取樣率不能任意選取，取樣間隔不能隨意確定；②只有去掉混疊才有可能從樣點(diǎn)集合恢復(fù)或重新構(gòu)成原來的連續(xù)時(shí)間信號。6.1連續(xù)時(shí)間信號能用它的樣點(diǎn)來替代嗎？6.1.2連續(xù)周期信號如何從樣點(diǎn)唯一地恢復(fù)原來信號？

如果取樣后的信號在0—fs/2（Ω：0—π）頻率范圍不出現(xiàn)頻譜混疊就有可能從樣點(diǎn)集恢復(fù)原始的信號。為此，首先必須從理論上證明具備什么條件才能從樣點(diǎn)集完全和唯一地重建原始的信號。傅里葉系數(shù)，其數(shù)量k＝2N+1

6.1連續(xù)時(shí)間信號能用它的樣點(diǎn)來替代嗎？

對一個(gè)最高頻率有限的周期信號，在一個(gè)周期取樣點(diǎn)的數(shù)量只要滿足式k＝2N+1

就可以從樣點(diǎn)唯一地恢復(fù)或構(gòu)成原始信號。[例6-1]x(t)顯示式中，N=6，所以在一個(gè)周期取樣點(diǎn)數(shù)k=2N+1=13。由于該信號無直流分量X(0)=0，所以取樣點(diǎn)數(shù)可以取k=2N=12，但必須保證都是獨(dú)立的樣點(diǎn)。6.1連續(xù)時(shí)間信號能用它的樣點(diǎn)來替代嗎？6.1連續(xù)時(shí)間信號能用它的樣點(diǎn)來替代嗎？

無論周期信號是否存在直流項(xiàng)，只要它的諧波分量有限，而且在一個(gè)基本周期取樣點(diǎn)數(shù)k大于或略大于二倍最高諧波次數(shù)N，即

K≥2N+1就能從有限樣點(diǎn)唯一無失真地恢復(fù)原連續(xù)信號。按對連續(xù)周期信號的取樣率為fs=kf0樣點(diǎn)數(shù)/秒，故

kf0≥2Nf0+f0即fs≥2fm+f0表明對最高頻率為fm=Nf0

的周期信號進(jìn)行取樣，其取樣速度fs

應(yīng)大于2fm才能恢復(fù)原來信號。6.1連續(xù)時(shí)間信號能用它的樣點(diǎn)來替代嗎？由此可見連續(xù)周期信號要從樣點(diǎn)恢復(fù)原始信號必須滿足2個(gè)條件①信號的最高頻率是有限的；②信號的取樣率應(yīng)受到fs≥2fm+f0的制約。6.1連續(xù)時(shí)間信號能用它的樣點(diǎn)來替代嗎？6.1.3非周期信號如何從樣點(diǎn)唯一無失真地恢復(fù)原來信號？

——時(shí)域取樣定理6.1連續(xù)時(shí)間信號能用它的樣點(diǎn)來替代嗎？為了分析方便，設(shè)，脈沖寬度，則取樣過程就變成沖激取樣或稱為理想取樣。6.1連續(xù)時(shí)間信號能用它的樣點(diǎn)來替代嗎？

6.1連續(xù)時(shí)間信號能用它的樣點(diǎn)來替代嗎？6.1連續(xù)時(shí)間信號能用它的樣點(diǎn)來替代嗎？表明一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號以取樣率進(jìn)行取樣后，所得到的取樣信號，其頻譜是原信號頻譜的周期重復(fù)。在頻域重復(fù)周期為，幅度是原頻譜幅度的1/T。6.1連續(xù)時(shí)間信號能用它的樣點(diǎn)來替代嗎？結(jié)論：①在時(shí)域?qū)B續(xù)時(shí)間信號進(jìn)行均勻取樣，即帶限的連續(xù)信號與周期的脈沖序列相乘，使原信號頻譜因調(diào)制作用而被搬移到被調(diào)制信號的頻譜上去。所以在頻域得到的取樣信號頻譜，是一個(gè)重復(fù)周期與取樣率相等的周期性連續(xù)頻譜。②當(dāng)，即時(shí)，取樣信號的頻譜在每一周期都完整地保留原來模擬信號的信息。③取樣率(或取樣間隔)的確定取決于模擬信號的最高頻率，即。由于取樣信號的頻譜是以為周期，所以在奇數(shù)倍的數(shù)字頻率附近是高頻，在偶數(shù)倍的數(shù)字頻率附近是低頻。6.1連續(xù)時(shí)間信號能用它的樣點(diǎn)來替代嗎？根據(jù)傅里葉變換卷積性質(zhì)有6.1連續(xù)時(shí)間信號能用它的樣點(diǎn)來替代嗎？已知矩形窗函數(shù)的頻譜，按對偶性質(zhì)得

在取樣時(shí)刻能給出準(zhǔn)確的x(t)值。但是在非取樣時(shí)刻，由于各和式均不為零，所以在樣點(diǎn)之間任意點(diǎn)的數(shù)值應(yīng)由這無限項(xiàng)的和式所決定。為此，把決定樣點(diǎn)間任一時(shí)刻t的值的函數(shù)Saωm(t-nT)叫做內(nèi)插函數(shù)，而把式（6.7）稱為內(nèi)插公式。所謂內(nèi)插就是從已知離散點(diǎn)的值，求在離散點(diǎn)之間任意點(diǎn)的值時(shí)，在數(shù)學(xué)上所采用的一種插值的方法。所以說信號重建過程也就是內(nèi)插過程。6.1連續(xù)時(shí)間信號能用它的樣點(diǎn)來替代嗎？6.1連續(xù)時(shí)間信號能用它的樣點(diǎn)來替代嗎？時(shí)域取樣定理可歸納為：一個(gè)具有有限能量的帶限信號x(t)，最高頻率為fm，在時(shí)域取樣率fs≥2fm條件下，能夠從樣點(diǎn)集合準(zhǔn)確地恢復(fù)（重建）原信號。該定理也稱為帶限信號取樣定理，有時(shí)也把式（6.4）稱為周期信號取樣定理。把最低取樣速率fsmin=2fm

稱為Nyquist速率

取樣定理的核心是無混疊，其目的是實(shí)現(xiàn)唯一無失真地恢復(fù)原信號。6.1連續(xù)時(shí)間信號能用它的樣點(diǎn)來替代嗎？6.1連續(xù)時(shí)間信號能用它的樣點(diǎn)來替代嗎？6.1連續(xù)時(shí)間信號能用它的樣點(diǎn)來替代嗎？當(dāng)選取取樣間隔6.1連續(xù)時(shí)間信號能用它的樣點(diǎn)來替代嗎？6.1.4能否從連續(xù)頻譜的樣點(diǎn)無失真地恢復(fù)原頻譜？

——頻域取樣定理6.1連續(xù)時(shí)間信號能用它的樣點(diǎn)來替代嗎？

一個(gè)時(shí)域取樣信號，它的頻譜一定是原信號頻譜的周期延拓。同理，一個(gè)頻域取樣信號，它所對應(yīng)的時(shí)間函數(shù)也一定是原時(shí)域信號的周期延拓。6.1連續(xù)時(shí)間信號能用它的樣點(diǎn)來替代嗎？頻域取樣間隔,該式說明當(dāng)信號頻譜以的取樣間隔進(jìn)行取樣，其相應(yīng)的時(shí)域信號就形成了以為周期對原信號進(jìn)行周期延拓的波形.顯見，當(dāng)或時(shí)，不出現(xiàn)時(shí)域波形混疊，因此有可能從頻域的樣點(diǎn)完整地恢復(fù)原來的連續(xù)頻譜。當(dāng)或時(shí)，由于時(shí)域波形出現(xiàn)混疊，無法準(zhǔn)確地恢復(fù)原來地頻譜。6.1連續(xù)時(shí)間信號能用它的樣點(diǎn)來替代嗎？6.1連續(xù)時(shí)間信號能用它的樣點(diǎn)來替代嗎？6.1連續(xù)時(shí)間信號能用它的樣點(diǎn)來替代嗎？

頻域取樣定理與時(shí)域取樣定理存在對偶的關(guān)系，只要如上節(jié)所述將有關(guān)參數(shù)進(jìn)行互換，就可以從一個(gè)域求得另一域的結(jié)果。頻域內(nèi)插公式又可寫成為6.2離散時(shí)間周期信號(周期序列)的傅里葉分析

(Discrete－TimeFourierSeries,DTFS/DFS)6.2.1周期序列的時(shí)域分析

如果在時(shí)域通過傅里葉級數(shù)展開，把它分解為一系列正弦信號的加權(quán)和則稱為時(shí)域分析；

如果在頻域通過傅里葉系數(shù)即頻譜函數(shù)用一系列不同頻率正弦信號的幅度和相位來刻劃信號的特征則稱為頻域分析。6.2離散時(shí)間周期信號(周期序列)的傅里葉分析

(Discrete－TimeFourierSeries,DTFS/DFS)

將連續(xù)時(shí)間周期信號進(jìn)行離散化的結(jié)果，在頻域其相應(yīng)的頻譜必然是周期和離散的。在離散域(數(shù)字域)中各參數(shù)存在如下關(guān)系，即

時(shí)域周期為式中T表示時(shí)域取樣間隔，N是在一周期內(nèi)的樣點(diǎn)數(shù)

頻域周期為式中表示頻域中相鄰譜線間隔，即離散域的基本頻率，N是在一周期內(nèi)的譜線數(shù)。6.2離散時(shí)間周期信號(周期序列)的傅里葉分析

(Discrete－TimeFourierSeries,DTFS/DFS)連續(xù)時(shí)間周期信號離散化后，在時(shí)域的離散變量取n即nT，頻域離散變量取k即。6.2離散時(shí)間周期信號(周期序列)的傅里葉分析

(Discrete－TimeFourierSeries,DTFS/DFS)6.2離散時(shí)間周期信號(周期序列)的傅里葉分析

(Discrete－TimeFourierSeries,DTFS/DFS)n=0,1,…,N-1k=0,1,…,N-1離散時(shí)間傅里葉級數(shù)(DTFS)變換對

6.2離散時(shí)間周期信號(周期序列)的傅里葉分析

(Discrete－TimeFourierSeries,DTFS/DFS)下注腳N表示該因子以N為周期具有周期性和對稱性6.2離散時(shí)間周期信號(周期序列)的傅里葉分析

(Discrete－TimeFourierSeries,DTFS/DFS)[例6－2]已知以N為周期的單位脈沖序列如圖6.11所示，求出它在時(shí)域的離散傅里葉級數(shù)表示式。6.2離散時(shí)間周期信號(周期序列)的傅里葉分析

(Discrete－TimeFourierSeries,DTFS/DFS)[解]按圖式可表示為

6.2離散時(shí)間周期信號(周期序列)的傅里葉分析

(Discrete－TimeFourierSeries,DTFS/DFS)n不等N的整數(shù)倍n為N的整數(shù)倍故得其他6.2離散時(shí)間周期信號(周期序列)的傅里葉分析

(Discrete－TimeFourierSeries,DTFS/DFS)[例6－3]已知一周期序列，周期N=6如圖6.12所示，求該序列的頻譜及傅里葉級數(shù)展開的表達(dá)式。6.2離散時(shí)間周期信號(周期序列)的傅里葉分析

(Discrete－TimeFourierSeries,DTFS/DFS)[解]6.2離散時(shí)間周期信號(周期序列)的傅里葉分析

(Discrete－TimeFourierSeries,DTFS/DFS)6.2離散時(shí)間周期信號(周期序列)的傅里葉分析

(Discrete－TimeFourierSeries,DTFS/DFS)表明在時(shí)域以N為周期的序列，在頻域也是以N為周期的序列。6.2離散時(shí)間周期信號(周期序列)的傅里葉分析

(Discrete－TimeFourierSeries,DTFS/DFS)6.2.2周期序列的頻域分析[例6－4]已知周期序列如6.13所示，求出它的頻譜函數(shù)并繪出相應(yīng)的幅度頻譜和相位頻譜圖。[解]從圖序列的周期N=5，所以在離散頻域的數(shù)字基頻6.2離散時(shí)間周期信號(周期序列)的傅里葉分析

(Discrete－TimeFourierSeries,DTFS/DFS)6.2離散時(shí)間周期信號(周期序列)的傅里葉分析

(Discrete－TimeFourierSeries,DTFS/DFS)在頻域一周期分別計(jì)算得各數(shù)字頻率的復(fù)振幅為：6.2離散時(shí)間周期信號(周期序列)的傅里葉分析

(Discrete－TimeFourierSeries,DTFS/DFS)6.2離散時(shí)間周期信號(周期序列)的傅里葉分析

(Discrete－TimeFourierSeries,DTFS/DFS)6.2.3離散時(shí)間周期信號與連續(xù)時(shí)間周期信號頻譜之間的內(nèi)在聯(lián)系——DFS與CTFS之間的關(guān)系

如果周期序列是從連續(xù)時(shí)間周期信號經(jīng)取樣生成的，那么對的頻域分析與的頻譜結(jié)構(gòu)又有什么關(guān)系？能否從求或從求？[例6－5]一連續(xù)周期信號，現(xiàn)以取樣率

點(diǎn)/秒(Hz)進(jìn)行離散化，求取樣所得的周期序列的頻譜并與原連續(xù)周期信號的頻譜作一比較。[解]按題意已知即,若給定即則6.2離散時(shí)間周期信號(周期序列)的傅里葉分析

(Discrete－TimeFourierSeries,DTFS/DFS)首先確定離散化后是否周期序列，周期序列在時(shí)域一個(gè)周期內(nèi)取樣點(diǎn)數(shù)其余現(xiàn)將按傅里葉級數(shù)展開為復(fù)指數(shù)信號的線性疊加，得其余6.2離散時(shí)間周期信號(周期序列)的傅里葉分析

(Discrete－TimeFourierSeries,DTFS/DFS)6.2離散時(shí)間周期信號(周期序列)的傅里葉分析

(Discrete－TimeFourierSeries,DTFS/DFS)6.2離散時(shí)間周期信號(周期序列)的傅里葉分析

(Discrete－TimeFourierSeries,DTFS/DFS)顯見在一個(gè)周期內(nèi)該例說明離散時(shí)間周期信號在范圍內(nèi)的離散頻譜可以準(zhǔn)確地等于連續(xù)時(shí)間周期信號的離散頻譜，因而計(jì)算連續(xù)周期信號的譜，可方便地通過計(jì)算機(jī)計(jì)算離散周期信號的譜來獲得。那么是否在任何情況下，這個(gè)結(jié)論都是正確的？6.2離散時(shí)間周期信號(周期序列)的傅里葉分析

(Discrete－TimeFourierSeries,DTFS/DFS)[例6－6]已知一連續(xù)時(shí)間周期信號現(xiàn)以不同的取樣率(a)樣點(diǎn)/周期，(b)樣點(diǎn)/周期對它進(jìn)行離散化。試分別求出離散化后所得周期序列頻譜并與原連續(xù)周期的的頻譜進(jìn)行比較。[解](a)已知給定的非正弦周期信號只有3次與5次諧波分量。6.2離散時(shí)間周期信號(周期序列)的傅里葉分析

(Discrete－TimeFourierSeries,DTFS/DFS)求得在一周期內(nèi)序列的幅度頻譜為其余在離散域一周期內(nèi)因?yàn)?.2離散時(shí)間周期信號(周期序列)的傅里葉分析

(D