現(xiàn)代控制理論第一章

.第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式§1－1狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式一．狀態(tài)變量足以完全表征系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的最小個(gè)數(shù)的一組變量為狀nn個(gè)獨(dú)立變量。一般應(yīng)用到物理系統(tǒng)微分方程的階數(shù)取決于系統(tǒng)中獨(dú)立0nn個(gè)獨(dú)立的初始條件。初始條件就是一組狀態(tài)變量的初始時(shí)刻t的值。0當(dāng)其在t＝t0tt0作用下，便能完全確定系統(tǒng)在任何二．狀態(tài)矢量

t0如果n個(gè)狀態(tài)變量用x1tx2t，….xnt表示，并這些xt的分量，則xt就稱為狀態(tài)矢量。記x xxt＝ x xxtxt, xt, xt 以狀態(tài)變量x1tx2t,xnt為坐標(biāo)軸所構(gòu)成的n維四．狀態(tài)方程由系統(tǒng)的狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組稱作系統(tǒng)的狀1－1R－L－C2C，L2uc和i作為此系統(tǒng)的兩個(gè)CC

duci

圖

Riucc c

1C

L

Ri1u

量用一般符號(hào)xi表示即令x1t＝uc，x2ti;寫成矢量矩陣

1x

0

C

1

Rx 2

2 L

L＝Ax x1

10 C0

01其中x＝

，A=

R,B= 2

L

L五．輸出方程y

ucyuC

y

y

yCT

x2x

式中

六．狀態(tài)空間表達(dá)式＝Ax+ByCT在經(jīng)典控制理論中圖（1－1）

R

1

1u

ucus

s2

Rs

若改選uc和uc作為兩個(gè)狀態(tài)變量,即令x1＝uc

R1R1

x1

Lx2LC

即x

x

01

R11x2

Lx2 LC

例2．求圖（1－2）系統(tǒng)的狀態(tài)方程解：按定律可列出方程式圖（1-解： 定律可列出方程L

R

i)

R1

i2 Cduc 選取i1uc為狀態(tài)變量，由上式消除i2，由2

22

1L

Ri

uc 1

R 1 R 1 RL

R

1 u R RRR2iRL111 11 1cu R1R2 R2iRRiR2iRL11 121 11 1cu R1R2Ldi1R1R2i1 R1 R1di1 L(R1R2 L(R1R2 di1 L(R1R2 L(R1R2 Ri c 1 C(R1R2 C(R1R2

1

L(RR

L(RR)i11

L

uc

0C(R1R2

C(R1R2)

1

R

L(R

R)x1

L

x2

0C(R1R2

C(R1R2)x1y

1 2x1i1，x2uc，yuc設(shè)單輸入-x1,x2,,xn

a11

a12

a1nxn＋

a21

a22

a2nxn＋b2

an1

an2

ann

yc1

c2

cn＝Ax+ByCTx1

x2式 x=

n維狀態(tài)矢

xn

a1nA

a2n

an2

ann矩陣,為nn方b1b2B＝

bn里稱為n×1r個(gè)輸入，m為

a11

a12

a1n

b1rur

a21

a22

a2n

b2rurannxnbn1u1bn2uannxnbn1u1bn2u2

c1n

d12

d1rury2c21

c22

c2n

d22

d2rurymcm1

cm2

cmn

dm2u2

dmrur＝Ax+ByCxDu

x為n維狀態(tài)矢量A為nn系統(tǒng)矩u1u u2u＝

ru ury1y yy 2

my ym

b1r 2rB＝

n×r

bn bnrc

c1n 2nC=

mn維輸出矩 mnd

d1r 2rD=

m×r mr,§1－2axy

a0xa1a2y

x1C

其中

1-y＝x1＋x2

x

x02 2 x3

y 1x1xx 21-

a11

a12

2＝a21

a22

y1c11x1y2c21

c22

a12x1

b12u1x

bu2 22

2 222y1 a12x1y x2 2221-§1－3的輸出選作一個(gè)狀態(tài)變量xi其輸入便是相應(yīng)的xi由模擬圖注 1ss 11u注u 1TT xsx(t 1TTT1

uTK

sx(t)

x(t) x(t)(s1)K x(t) TsT Ts1

KT x2T3 KTT2

x2 T2T

x3

K1K

x1 1y＝

1x1

01 1

0 x2＋KKK

3

3

1T T

1 1x1y＝

x02xx3s

1

z

s

s

21-

(z

p)x1

(z

y＝

0x1

kx

2＝ 2＋

x3

x1y＝

x02xx31－31－10所示的機(jī)械運(yùn)動(dòng)模型中M1M2為質(zhì)量塊，K1K2為彈簧，也為彈性系數(shù)B1B2是阻尼器，列寫出在外力fM1M2y1y2為輸出的狀態(tài)空間K1K2，質(zhì)量M1M2y 質(zhì)量塊M1M2的速度v1v2

1＝

2＝

3＝1＝dtx4＝v2＝dt根據(jù)定律，對(duì)于M1有2

(

)

(

dy1)Ky

對(duì)于M2M

fK

(

)

(

dy1

將1＝1414

2＝

3＝ 4＝ ＝帶11

)x1K2M1K2M

x2

B2xM1

K2M

x1K2M2K2M

x2M2M

x3M2M

x4 1M21M

B B

x1

0

K

x

02＝

(K1K2

M(B1B2

2＋0

x3

1 K

K

B2x 4 M

M M

4M2

M2x1y1

x 02xy＝

x32

x4xy1 x1y＝x2 21－51－12R，L分J為機(jī)械轉(zhuǎn)動(dòng)部分的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，BLJi及旋轉(zhuǎn)速度v是相互獨(dú)立的，可選為狀態(tài)變量。x1＝

x2＝

di

L

Rie由動(dòng)力學(xué)方程

J

Kai

由電磁感應(yīng)關(guān)系有eKbe－反電動(dòng)勢(shì)B

Ka－轉(zhuǎn)矩常數(shù)

Kb－反電動(dòng)勢(shì)常數(shù)diRi

Kb1u d

KaiB x1＝ix2＝

Kb

1 Lx 11 B 11 a x2＋0 Jx12若指定角速度為輸 y＝x＝2

1 2若指定電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)角為輸出，必須增加一個(gè)狀態(tài)變量x3＝

0 Kb 0

1 x1

L

a

0x

02＝

2＋

0Ax

x1y＝x3＝

x 12xy＝

x3§1－4狀態(tài)空間表達(dá)式的建立（二考慮一個(gè)單變量線性定常系統(tǒng)，它的運(yùn)動(dòng)方程是一個(gè)n階yn

yn1

y

um

um1bb

Y

bsm

sm1

sW(s)

Um

sn

sn1

s

AxyCTx

實(shí)現(xiàn)的存在條件是mnmn時(shí)，式（1－20）中的D

0Y

bsm

sm1

sW(s)

=U

sn

sn1

sbsm

sm1bsbb

sn1asa)b

sn1asa

sn

sn1as10m=nbsmbsn10 b(sn

sn1asa)

sm1bsbb

sn1asa＝

sn

sn1as10 10

b)sn

sn2

a

)s

abW(s)=

n1

n2

1

010 sn10

sn1as

（1－21）即不出現(xiàn)零極點(diǎn)對(duì)消，則n階系統(tǒng)必有n個(gè)獨(dú)立狀態(tài)變量，必有nA的元素取值雖各有yn

y

a1

a0

W(s)

sn

s

1-

a0

a1

an2

an1xny＝b01 1

x1

2

2

u

x

n1

n1

n

Ax

n1 n y

A1，

7

yx1＝

x2＝

x3＝

x

7x41x6x

0x1

1x

2＝ 2+

x3x1

y6x1

x 02x

x3yn yn1aay

um um1bb

bsm

sm1

s W(s)m

sn

sn1

s

n Y

s3

s2

s2W(s)＝U2

s3as

snm

n=mW(s)＝

)s2s3則

s

2s32

2 2

sy(s)b3u(s)yb3u(b2a2b3uy11132121140b0b23 ay2a1y1a0y1y1xx1x2y1x3

a2x3yb3u(b2a2b3

a0b3

x1

x

2＝ 2＋

a2

x3

y

a0b3

a2b3)x2 x3

推廣到n階系1 1

x1

2

2

u

x n1

n1

n n1 n y

b1

an1bn

bn nxn1

（1-x x n（1-uudtdx1b2115與上頁(yè)圖相比，從輸入輸出關(guān)系看，二者是等效1－16a012316圖bu0u0x32x212ss+a2）+a1x x2 2

aa2GR0

G1GW(s)

(s3s2＝ s3(W(s)＝ 3 32

即

2313

2

1b13

203

21

0

03

03

02

0

1

10

2u

a0

a2x3yx13u

x1

2

x 2=

2＋

1

a2

x3

x1y

0

x2+xx3擴(kuò)展到n階系統(tǒng)，其狀態(tài)空間表達(dá)式x1

x1

n10 0x2

0x 20x

n2

0n1 0

xn1x

1n n

n1xn

0x1ny 0nx x nnn1bn1n2bn2an2

0

a0

ain1（其中i＝1，2，…n－1） 0 n

bn

b

n1

n1

101

b0

a2b0

a1

a0

b3

b2

x1

x 2＝ 2＋

x1

x3

y

x02xx3按式（1－33）方法列寫，根據(jù)（1－34）求32

2310

132

2212

03按照

x1

x

2＝ 2＋

x3

x1y

0x2x3

a2

2 2

a3

a4

a1

a2

a3

a4

y1

=(a1

＝(a1

22

xdty2(a3

u1u1x3設(shè)x x

x1yuu yuux3y2

a1

a2a4

a3

y1y2

x1

0u

x

b 2＝

2

2＋

3u

x

b23

3

3 4x1y1

0xy 122

x3§1－5狀態(tài)向量的線性變換（坐標(biāo)變換）一．系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的非唯一性

Ax

x(0)yCxDu

(1-我們總可以找到任意一個(gè)非奇異矩陣TX作線性變換，得到另一狀態(tài)矢量Z，設(shè)變換關(guān)系為XTZZT1

T

T1Bu；Z(0)T

T0y0

Du

由于T為任意非奇異陣，故狀態(tài)空間表達(dá)式為非唯一的，T稱

2x

（0）=

（1-T

T

1 121若取變換矩陣 2

0即

2

1Z＝

1即 1 1x31 Z1Z2x1x211T1ATZT111=2

3 32 1

16

1

1

2

=2

2

＝2

1Z

=

1yCTTZ1

2Z

1

11

1Z0T1x(0)

2 2 3

22＝

2

T

1即

2 T1x

z＝

2

1

2

- 2-

3 -

20

-

0

2＝

y

3

z

T

-

2

2

3B從21 T

12

0

T

1

000T30

2，此時(shí)

1 21

0~z

z

1 2 1

0

12

0~

z

2u

2

y ~

60z(0)T3z(0)

1

XAx系

Cx系統(tǒng)特征值就是系統(tǒng)矩陣A的特征值，也即特征方程IA0nn方陣有nAA為對(duì)稱方程，ZT1ATZTYCTZ

IT1AT

（1－43（1－44IT1

T

T1

T

T1T1

T

IA

T

IA

II

a01an1an2a1a01一個(gè)npiApipi＝

pii（A的特征值）

piA的對(duì)應(yīng)于i

pi＝

pi2 A＝

65解：A6I 6

6 6

1

(11)(26116

6I

0即

611,

2,

對(duì)應(yīng)于

1p11

p＝

p21p

1

31

p11

p11

p21

p31

6

6

10

6

21即

5

6

11p 6

p11

p11

p31

p1＝取

2

2

p31 6

9

6

p11 (

p21 6

7

2

p12 1

2令 2時(shí)，p31

即 22

4取

3

32 3

p21p31

1(

p2166

8

6p318

(

3p21)

131

2p13

6

9，p11

即 23

p33

p13

0 0

Ax

y

T

y

（J=T1ATJ J＝=

0（沒重根 0J 0

n0

（Q個(gè)重根求變換的控制矩陣T1B和輸出矩陣CT，先求出變換矩陣T。下面介紹幾種求T陣的方法。A1iA的n（i＝12n）求出

的特征矢量

變換矩陣由A的特征矢量p1,p2,,pnT＝p1p2pn證明（1）由于特征值12n互異，故特征矢p1,p2,,pnT＝p1p2pn必為非奇異，故T1

Bu

T1T

Ty將變換矩陣兩邊乘 T＝p1

pnAT

Apn

pn

pi＝

pi（i＝1，2，…，n 2

npn 0=p1

pn n 0 =T n兩邊左乘T

T

0 AT=

（1－48） n證明了式（1－48）中系統(tǒng)矩陣T

AT

6x

5 y A的特征值及對(duì)應(yīng)特征矢量為

1,

2,

p1＝

p13

detT4

60

1

T 4

1

＝

3 32＝

3

1

1

6

T

AT=

1

5

＝＝

0 1 0T1AT 0 ＝

3

3 32

303T

B＝

1

CT

000

6 ＝6

1

0z1

0z

32＝

2＋

z3

z1y

z 12z2A

z3Aq個(gè)i（n-q）個(gè)根為互異根，TnT＝ pnpq1pn是對(duì)應(yīng)于（n-q）q個(gè)i1p1Ap1

（1-p1仍為1p2pq則稱為廣義特征矢量4：將下式化為約旦

1x y

0

0I 13

21221,21,3

1的特征矢量

p1可按式（144）求得

T1AT

p11

p11 1

21 21

p31

p31

p21

1

p＝ 21＝ 2

3

p31

1再求對(duì)應(yīng)于

1

p2

因

1p12

0p12

1

1

1 22

22

p32

p32

1

p12

1

1

22 p32

p即p

2

3

1p12 1

1;p220,

p2

p022 p0當(dāng)32

p3，應(yīng)用3

p32

p13

p13

2 1

2

2

23 23

0

2 3 2 33

33

當(dāng)p131，則p232p33

p3

1 2

detT36 1 2

1

＝ 9 1

2 21

21

1T

3

3 39 ＝

1

9 0 ZT1ATZT1Bu

0

z1z1

1

z2

9

2

1

z3 2

1

9 1

5 z1

21

3

z

1＝9

2＋

z3

1z1 2z 1 2＋

z30z1

12

0z

1＝

2＋3

1

y A A A的特征值無(wú)重根時(shí)，其變換矩陣是一個(gè)范德矩 T

1 n n1 A T 1

1 d

1 T

2

4 23434

3

32 0

3 03

00 00 4

bsm

sm1

s W(s)

sn

sn1

s

(1-bsm

sm1

s W(s)

sn

sn1

s

式中12nbsm

sm1

s W(s)

(s1)(s2)(sn

WYsW＝U

s

s

s

nn

s

0

x

y

ncn0

c1

x

2

c n ny

u

||

c1c1c2 |||xn圖為并聯(lián)型模擬結(jié)構(gòu)設(shè)有一個(gè)q重的主根其余q1q2,W(sn2W(s)n2

是互異根，這時(shí)

q(s1q

(s

(s1

(s1

iq1(si11

Xq-

1s-s-11s-1s-1s-1s-X11X1X21X2…

1Xq1XXq1XqC12Xq1C11XqCq1C12Xq1C11XqCq1Xq1CnXn

XnnXn 1x1 2 11 2 10 q11xq 1 0xqq1xq1 0xq1 00n y

x122xCCCCCq1n

q

（1—xq1 xn§1—6從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)。XAX

YCT

du

Xn維狀態(tài)矢量 AB是n1C

是1n列陣，d（0

AX（s）Bu（s）其中

左乘

A)uCT

d

（1—UXW

uU

是一（n1）的列陣函數(shù)

sI

s）

W（s） W

s） s）

sI

sI

2。X

yCxDu

式中：ur1輸入列向量，ym1Bnr控制矩陣，CmnDmr直接傳遞陣，xA—同單變量系統(tǒng)。y

sI

u UXW

為nr矩陣函數(shù) U

sI

它是一個(gè)m

元素Wij(s都是標(biāo)量函數(shù)，它表征了第j個(gè)輸入對(duì)第i

ji關(guān)聯(lián)，稱為耦合關(guān)系，這正是多變量的特點(diǎn)（sI

adj（sI式（1—69）

|sIA

Caj

D|

A|

A

（1—可以看出W(s

T1 T1ATzT

yCTz

6669，當(dāng)

T1xx

AT1yCTz=CTT1x

sI

~=~

sI

T

1BC[（sI=C[T（sI）T1TT1ATT1]1B1

A1X

B1u1 C

Du

11簡(jiǎn)記為

2

A2X

B2u2y2C2X

D2u2

u，y

y1y2

Ox1B1

Ax

B2

22

2y

x1C 1

Dx 2 x2

C2X

D2C(sIA)1BuDuC(sIA)1BuD 1 1 1uW＝y(tǒng)1C(sIA)1B1u 1W＝y(tǒng)2C(sIA)1Bu u2

C

sI

A

B1

D

（sI

B 1 1

2

D]

A

D1

2

（1-74）u1

y1

y

C2X

u2C1X

A1X1A2X

B2D1u

A2X

B2C1

B2y2C2X

D2

C2X

D2C1

D2[（sI

A）1BD 2

（sI1

C1

y2

yC2

（矩陣的順序不能顛倒u1uC2

y1

y2C2

y1

ux2A2x2B2C1yy1C1 B1C2x1B1

B

x 0

2

2 sI

B 1BW(s)

0B

1sI1

01 1

2 1sI1

B 1 F

sI

B 12112 ＝ 12112

sI

F22

B2

sI

A2 sI

B 1

B

sI

I1 1

2

22 由C陣可知

0,

0F11(sIA1)F12B2C1

A1)

A2)F12(sIA2)F11

2121

A1)

＝I

)－1B2121

)－1B

W(s)CW(s)C0

1B

B1＝FF1FB F 0 121＝FF1FB

22 W(s)CFBC(sIA)1

CFBC(sI

)1BC(sIA)1111

111

W(s)C(sIA)1B；W(s)

(sIA)1B；W(s)CF

111W(s)W1(s)W(s)W2(s)W1W(s)

1W1(s)1

]12W2(s)2

]1（一

u1u

y2

y1

yu2y(s)

y1(s)W1(s)[u(s)W2(s)y(s)]W1(s)u(s)W1(s)W2(s)y(s)W1(s)W2(s)y(s)W1[IW1(s)W2(s)]y(s)W11（二1

W(s)

u1(s)u(s)

y2(s)u(s)W2(s)u2(s)u(s)W2(s)y1u1(s)u(s)W2(s)W1(s)u1、y(s

y1(s)W1(s)u1

u1(s)W2(s)W1(s)u1(s)u(s)[IW2(s)W1(s)]u1(s)u(s)1u(s)1

[I

y1

W(s)

§1－7離散系

n)an1

n1)a1

1a0y(k)

n)

n1)

bzn

z

zW(z)

zn

z

z

X

1)GX(k)hu(ky(k)CTX(k)du(k

u(k)不變的條件下，式T延時(shí)器，相當(dāng)于積分器X1X2

1)1)

X2(k)kn1u(k)X3(k)kn2u(k)Xn1

1)

Xn(k)X

1)a0X1(k)a1X2(k)an1Xn(k)h0u(k)y(k)

X1(k)knu(k)01000010010000100001

kn2kX

1)

X(k)

u(k) k1

k0y(k) 0X(k)hnu(k)式中ki的求法（類似于i的計(jì)