2022-2023學(xué)年廣西桂林市重點(diǎn)名校數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017版)規(guī)定了數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng).為了比較甲、乙兩名高二學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平，現(xiàn)以六大素養(yǎng)為指標(biāo)對(duì)二人進(jìn)行了測(cè)驗(yàn)，根據(jù)測(cè)驗(yàn)結(jié)果繪制了雷達(dá)圖(如圖，每項(xiàng)指標(biāo)值滿分為5分，分值高者為優(yōu))，則下面敘述正確的是（）(注:雷達(dá)圖(RadarChart)，又可稱為戴布拉圖、蜘蛛網(wǎng)圖(SpiderChart)，可用于對(duì)研究對(duì)象的多維分析)A．甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)高于乙B．甲的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)C．乙的六大素養(yǎng)中邏輯推理最差D．乙的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于甲2．已知為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，則下列四個(gè)命題中正確的是①若則;②若則;③若,則;④若則A．①②④ B．②③ C．①④ D．②④3．如圖所示，在邊長(zhǎng)為1的正方形中任取一點(diǎn)，則點(diǎn)恰好取自陰影部分的概率為（）A． B． C． D．4．閱讀如圖所示的程序框圖，則輸出的S等于()A．38 B．40 C．20 D．325．在ΔABC中，∠ACB=π2，AC=BC，現(xiàn)將ΔABC繞BC所在直線旋轉(zhuǎn)至ΔPBC，設(shè)二面角P-BC-A的大小為θ，PB與平面ABC所成角為α，PC與平面PAB所成角為β，若0<θ<π，則（A．α>θ B．β<θ C．0<α≤π46．正邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，若，則的最小值是（）A． B． C． D．7．已知正實(shí)數(shù)、、滿足，，，則、、的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．8．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x，y)，則A． B． C． D．9．的展開(kāi)式中的系數(shù)是A．－20 B．－5 C．5 D．2010．定義語(yǔ)句“”表示把正整數(shù)除以所得的余數(shù)賦值給，如表示7除以3的余數(shù)為1，若輸入，，則執(zhí)行框圖后輸出的結(jié)果為（）A．6 B．4 C．2 D．111．“”是“函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既不充分也必要條件12．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)（是實(shí)數(shù)，是虛數(shù)單位），則等于（）A．2 B．-2 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．復(fù)數(shù)的虛部是．14．已知，則不等式的解集為_(kāi)_____．15．已知圓C1：，圓C2：，M，N分別是圓C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為軸上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值_____．16．已知變量滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)的最小值為_(kāi)_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間.（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，記，是否存在整數(shù)，使得關(guān)于的不等式有解？若存在求出的最小值，若不存在，說(shuō)明理由.18．（12分）已知函數(shù)，不等式的解集是.（1）求a的值；（2）若關(guān)于x的不等式的解集非空，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.19．（12分）設(shè)函數(shù).(1)求不等式的解集；(2)若存在使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，，且平面平面.（1）證明：（2）求二面角的余弦值.21．（12分）如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，，且為線段的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面所成角的正弦值.22．（10分）設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)雷達(dá)圖，依次判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤得到答案.【詳解】根據(jù)雷達(dá)圖得甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)低于乙，所以A錯(cuò)誤根據(jù)雷達(dá)圖得甲的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)等于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，所以B錯(cuò)誤根據(jù)雷達(dá)圖得乙的六大素養(yǎng)中數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象最差，所以C錯(cuò)誤根據(jù)雷達(dá)圖得乙整體為27分，甲整體為22分，乙的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于甲，所以D正確故答案選D【點(diǎn)睛】本題考查了雷達(dá)圖，意在考查學(xué)生解決問(wèn)題的能力.2、D【解析】

根據(jù)選項(xiàng)利用判定定理、性質(zhì)定理以及定義、舉例逐項(xiàng)分析.【詳解】①當(dāng)都在平面內(nèi)時(shí)，顯然不成立，故錯(cuò)誤；②因?yàn)?，則過(guò)的平面與平面的交線必然與平行；又因?yàn)?，所以垂直于平面?nèi)的所有直線，所以交線，又因?yàn)榻痪€，則，故正確；③正方體上底面的兩條對(duì)角線平行于下底面，但是兩條對(duì)角線不平行，故錯(cuò)誤；④因?yàn)榇怪庇谕黄矫娴膬蓷l直線互相平行，故正確；故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查判斷立體幾何中的符號(hào)語(yǔ)言表述的命題的真假，難度一般.處理立體幾何中符號(hào)語(yǔ)言問(wèn)題，一般可采用以下方法：（1）根據(jù)判定、性質(zhì)定理分析；（2）根據(jù)定義分析；（3）舉例說(shuō)明或者作圖說(shuō)明.3、B【解析】

根據(jù)題意，易得正方形OABC的面積，觀察圖形可得，陰影部分由函數(shù)y=x與圍成，由定積分公式，計(jì)算可得陰影部分的面積，進(jìn)而由幾何概型公式計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，正方形OABC的面積為1×1=1，而陰影部分由函數(shù)y=x與圍成,其面積為，則正方形OABC中任取一點(diǎn)P,點(diǎn)P取自陰影部分的概率為；故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查定積分在求面積中的應(yīng)用,幾何概型求概率，屬于綜合題，難度不大，屬于簡(jiǎn)單題.4、B【解析】

模擬程序,依次寫出各步的結(jié)果,即可得到所求輸出值．【詳解】程序的起始為第一次變?yōu)榈诙巫優(yōu)榈谌巫優(yōu)榈谒拇巫優(yōu)闈M足條件可得故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu),難度較易.5、C【解析】

由題意畫出圖形，由線面角的概念可得α的范圍，得到C正確，取特殊情況說(shuō)明A，B，D錯(cuò)誤．【詳解】如圖，ΔABC為等腰直角三角形，AC=BC，將ΔABC繞BC所在直線旋轉(zhuǎn)至ΔPBC，則PC⊥BC，可得BC⊥平面PAC，∴二面角P-BC-A的大小θ=∠ACP，PB是平面ABC的一條斜線，則PC與平面ABC垂直時(shí)，PB與平面ABC所成角最大，則α的范圍為(0，π4]，故此時(shí)α<θ，故A錯(cuò)誤；當(dāng)PC與平面ABC垂直時(shí)，三棱錐C-PAB滿足CA⊥CB，CA⊥CP，CB⊥CP，CA=CB=CP，則PA=PB=AB，設(shè)AC=BC=1，則PA=PB=AB=2，C在平面PAB的射影為ΔPAB求得OP=63，即PC與平面PAB所成角β的余弦值cosβ=63當(dāng)θ無(wú)限接近0時(shí)，β無(wú)限接近π4，β>θ，故B綜上，正確的選項(xiàng)是C．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查空間角及其求法，考查空間想象能力與思維能力，屬難題．6、A【解析】分析：建立直角坐標(biāo)系后求出各點(diǎn)坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示詳解：如圖：以為原點(diǎn)，所在直線為軸，過(guò)點(diǎn)垂直于為軸則，，設(shè)，則點(diǎn)軌跡為由可得：故當(dāng)時(shí)，故選點(diǎn)睛：本題主要考查的是平面向量的基本定理．設(shè)不共線的兩個(gè)向量為基底，求參量和的最值，本題的解法較多，可以通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，求交點(diǎn)坐標(biāo)建立數(shù)量關(guān)系，也可以用等和線來(lái)解．7、A【解析】

計(jì)算出的值，然后考慮的大小.【詳解】因?yàn)椋?，則，故選：A.【點(diǎn)睛】指對(duì)式的比較大小，可以從正負(fù)的角度來(lái)分析，也可以從同指數(shù)的角度來(lái)分析大小.8、C【解析】

本題考點(diǎn)為復(fù)數(shù)的運(yùn)算，為基礎(chǔ)題目，難度偏易．此題可采用幾何法，根據(jù)點(diǎn)（x，y）和點(diǎn)(0，1)之間的距離為1，可選正確答案C．【詳解】則．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義和模的運(yùn)算，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取公式法或幾何法，利用方程思想解題．9、A【解析】

利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求解所求項(xiàng)的系數(shù)即可【詳解】由二項(xiàng)式定理可知：；要求的展開(kāi)式中的系數(shù)，所以令，則；所以的展開(kāi)式中的系數(shù)是是-20；故答案選A【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。10、C【解析】

模擬執(zhí)行程序框圖，只要按照程序框圖規(guī)定的運(yùn)算方法逐次計(jì)算，直到達(dá)到輸出條件即可得到輸出的的值.【詳解】第一次進(jìn)入循環(huán)，因?yàn)?6除以18的余數(shù)為2，所以，，，判斷不等于0，返回循環(huán)；第二次進(jìn)入循環(huán)，因?yàn)?8除以2的余數(shù)為0，所以，，，判斷等于0，跳出循環(huán)，輸出的值為2.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，屬于中檔題.解決程序框圖問(wèn)題時(shí)一定注意以下幾點(diǎn)：(1)不要混淆處理框和輸入框；(2)注意區(qū)分程序框圖是條件分支結(jié)構(gòu)還是循環(huán)結(jié)構(gòu)；(3)注意區(qū)分當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)；(4)處理循環(huán)結(jié)構(gòu)的問(wèn)題時(shí)一定要正確控制循環(huán)次數(shù)；(5)要注意各個(gè)框的順序,（6）在給出程序框圖求解輸出結(jié)果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運(yùn)算方法逐次計(jì)算，直到達(dá)到輸出條件即可.11、A【解析】

利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得a的取值范圍，再利用簡(jiǎn)易邏輯的判定方法即可得出．【詳解】函數(shù)f（x）=x2﹣2ax﹣2=（x﹣a）2﹣a2﹣2在區(qū)間（﹣∞，2]內(nèi)單調(diào)遞減，∴2≤a．∴“a＞3”是“函數(shù)f（x）=x2﹣2ax﹣2在區(qū)間（﹣∞，2]內(nèi)單調(diào)遞減”的充分非必要條件．故選：A．【點(diǎn)睛】充分、必要條件的三種判斷方法．1．定義法：直接判斷“若則”、“若則”的真假．并注意和圖示相結(jié)合，例如“?”為真，則是的充分條件．2．等價(jià)法：利用?與非?非，?與非?非，?與非?非的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法．3．集合法：若?，則是的充分條件或是的必要條件；若＝，則是的充要條件．12、B【解析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再利用純虛數(shù)的定義即可得出．【詳解】∵復(fù)數(shù)（1+ai）（1﹣i）＝1+a+（1a﹣1）i是純虛數(shù)，∴，解得a＝﹣1．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算、純虛數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】試題分析：因?yàn)?，，所以，?fù)數(shù)的虛部是．考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算，復(fù)數(shù)的概念．點(diǎn)評(píng)：簡(jiǎn)單題，復(fù)數(shù)的除法，要注意分子分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，實(shí)現(xiàn)分母實(shí)數(shù)化．14、【解析】當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，恒成立，解得：，合并解集為，故填：.15、【解析】

求出圓關(guān)于軸對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo)，以及半徑，然后求解圓與圓的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑和，即可得到的最小值.【詳解】如圖所示，圓關(guān)于軸對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo)，以及半徑，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以的最小值為圓與圓的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑和，即.【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的對(duì)稱圓的方程的求法，以及兩圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中把的最小值轉(zhuǎn)化為圓與圓的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑和是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.16、4【解析】分析：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用的幾何意義和數(shù)形結(jié)合即可得到答案詳解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由可得：平移直線，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線的截距最大，此時(shí)最小，解得，即此時(shí)故目標(biāo)函數(shù)的最小值為點(diǎn)睛：本題主要考查的知識(shí)點(diǎn)是線性規(guī)劃的應(yīng)用，畫出可行域，轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)，將其轉(zhuǎn)化為幾何意義，在軸的截距問(wèn)題即可解答。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）0.【解析】

（Ⅰ）對(duì)分三種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）先求出函數(shù)h(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，再求出，即得解.【詳解】解：（I）時(shí)，令令故在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；0≤≤1時(shí)，恒成立，故在單調(diào)遞增.時(shí)，令令故在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上：在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；時(shí)在單調(diào)遞增.時(shí)，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（II）當(dāng)時(shí)，由于在上單調(diào)遞增且故唯一存在使得即故h(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故又且在上單調(diào)遞增，故即依題意：有解，故又故【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式存在性問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.18、（1）2；（2）.【解析】

（1）根據(jù)絕對(duì)值不等式的解法，結(jié)合不等式的解集建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．（2）利用解集非空轉(zhuǎn)化為存在使得成立，利用絕對(duì)值三角不等式找到的最小值，即可得解．【詳解】解：（1）由，得，即，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椴坏仁降慕饧?，所以，解得，?dāng)時(shí)，，因?yàn)椴坏仁降慕饧?，所以，該式無(wú)解，所以.（2）因?yàn)椋砸勾嬖趯?shí)數(shù)解，只需，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用，利用解集非空轉(zhuǎn)化為有解問(wèn)題是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．19、（1）；（2）【解析】

本題需要分類討論，對(duì)去絕對(duì)值的兩種情況分類討論。可以先令，在對(duì)進(jìn)行分類討論求出最小值，最后得出的取值范圍?！驹斀狻?1)由得，∴∴不等式的解集為(2)令則，∴∵存在x使不等式成立，∴【點(diǎn)睛】在遇到含有絕對(duì)值的不等式的時(shí)候，一定要根據(jù)函數(shù)解析式去絕對(duì)值的幾種情況進(jìn)行分類討論。20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】

（1）中點(diǎn)為，連接和，證明平面，即可證明；（2）由（1）知，、、兩兩垂直，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的法向量，即可求出二面角的余弦值.【詳解】（1）設(shè)中點(diǎn)為，連接和，如圖所示，在中，，為中點(diǎn)，所以，又四邊形為菱形，，所以是等邊三角形，為中點(diǎn)，所以，又，所以平面，又因?yàn)?/p>