《論文-B組題數(shù)學(xué)建模影院座位設(shè)計(jì)問 題(定稿)》

B電影院座位設(shè)計(jì)問題物流072黃永釗物流072侯寶玲影院座位設(shè)計(jì)問題（摘要)觀眾的滿意度主要取決于視角a和仰角"兩個因素，但在實(shí)際生活中兩者又不可能同時(shí)達(dá)到最佳，只能二者兼顧.針對問題1,本文根據(jù)已知條件通過計(jì)算得知，最前排視角a和仰角P的值均為最大，最后排視角a和仰角的值均為最小，a和的正切值呈遞減趨勢.那么仰角P=30°時(shí)的位置是否是最佳位置呢？本文先將離散的座位連續(xù)化，求出了?ga的表達(dá)式，并通過計(jì)算?的最大值，找到了最佳座位點(diǎn).針對問題2,由于觀眾的滿意度是一個模糊的概念，本文引入了“滿意度函數(shù)”的概念，構(gòu)造了滿意度函數(shù)，通過這一函數(shù)來度量觀眾滿意程度隨其座位離屏幕的距離x的變化趨勢.在傾斜角6固定的情況下，滿意度函數(shù)值隨x的變化而變化，不同的x有不同的滿意度.根據(jù)滿意度函數(shù)這一衡量標(biāo)準(zhǔn)，本文再次將問題離散化，求出了座位的平均滿意度.總之，本文針對電影院的座位設(shè)計(jì)問題，通過合理假設(shè)將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，抽象問題具體化，幾何問題代數(shù)化，離散問題連續(xù)化，建立了合理的數(shù)學(xué)模型。本文建立的模型穩(wěn)定性好，求解方法簡單，計(jì)算效率高，而且模型及結(jié)果具有一定的現(xiàn)實(shí)意義.影院座位設(shè)計(jì)問題一.問題的提出滿意程度主要取決于視角《和仰角視角是觀眾的眼睛到屏幕上、下邊緣視線的夾角，視角《越大越好；仰角是觀眾眼睛到屏幕上邊緣視線與水平線的夾角，仰角太大使人的頭部過分上仰，引起不舒適感，一般不超過30°.設(shè)影院屏幕高h(yuǎn)，上邊緣距地面高H,地板線傾角e，第一排和最后一排座位與屏幕水平距離分別為d和D，觀眾平均坐高為C(指眼睛到地面的距離）。（如圖所示）地板線傾角e=1〇°，問最佳座位在什么地方.求地板線傾角0，使所有觀眾的平均滿意程度最大。問題的分析觀眾在電影院觀賞電影，感覺是否滿意不僅取決于電影的精彩與否，而且還取決于座位設(shè)計(jì)的舒適程度.座位的設(shè)計(jì)應(yīng)滿足什么要求，是一個非?，F(xiàn)實(shí)的問題.根據(jù)題意觀眾對座位的滿意程度主要取決于觀看時(shí)的視角和仰角.經(jīng)調(diào)查可知這兩者都要滿足一定的條件.但在實(shí)際生活中又不可能同時(shí)滿足，只能在二者兼顧的條件下求出使平均滿意度最大的那種情況.根據(jù)題意很容易得知^和^的正切值呈遞減趨勢，這對問題的解決很有幫助.下文針對題0提出的三個問題逐一進(jìn)行分析.針對問題1:為方便求解，可以以屏幕所在的墻壁的剖面為y軸，向上為正方向，以與之垂直的地面為X軸，以交點(diǎn)為原點(diǎn)0,建立直角坐標(biāo)系.a地板線傾角=1(T時(shí)，根據(jù)已知條件通過計(jì)算得知，最前排視角a和仰角p的值均為最大，最后排視角a和仰角/?的值均為最小.那么仰角戶=30°時(shí)的位置是否是最佳位置呢？我們可以先將離散的座位連續(xù)化，根據(jù)條件求出fga的表達(dá)式，作出《對^的變化圖象以及其變化率圖象，計(jì)算炫《的最大值，找到最佳座位點(diǎn)，然后再將問題離散化，對求得的最佳座位點(diǎn)進(jìn)行優(yōu)化.針對問題2:—般地，人們對某件事物看法的心理變化是一個模糊的概念.本文觀眾對座位是否滿意也是一個模糊概念.根據(jù)模糊數(shù)學(xué)隸屬度的概念和心理學(xué)的相關(guān)知識，我們可以引入滿意度函數(shù)的概念，構(gòu)造一個滿意度函數(shù)，通過這一函數(shù)來度量觀眾滿意程度隨其座位離屏幕的距離x的變化趨勢.在傾斜角固定的情況下，滿意度函數(shù)值隨x的變化而變化，不同的x有不同的滿意度.有了滿意度函數(shù)這一衡量標(biāo)準(zhǔn)后，我們可以求出所有座位的平均滿意度.當(dāng)平均滿意度最大時(shí)，求出此時(shí)對應(yīng)的傾斜角6?，即為所要求的平均滿意度最大時(shí)地板線的傾斜角度.模型的假設(shè)假設(shè)座位在地板線上嚴(yán)格等距，且均勻分布；假設(shè)觀眾的滿意度可以用一連續(xù)函數(shù)來衡量，因而可將離散問題連續(xù)化;假設(shè)視角對觀眾的滿意度影響較大；符號說明a 當(dāng)人坐下時(shí)眼睛到屏幕上、下邊緣視線的夾角J 當(dāng)人坐下時(shí)眼睛到屏幕上邊緣視線與水平線的夾角pxy 當(dāng)人坐下時(shí)眼睛所處在坐標(biāo)系中的位置坐標(biāo)F(x) a關(guān)于距離a'和傾斜角的正切函數(shù)Gx P關(guān)于距離x和傾斜角0的正切函數(shù)

Mx滿意度函數(shù)MU,.)第/個位置的滿意程度M平均滿意程度2滿意度函數(shù)的相關(guān)因子（即滿意因子)五.模型的建立1.建模的準(zhǔn)備1.1建立坐標(biāo)系為了建立合適的數(shù)學(xué)模型，我們先建立如下坐標(biāo)系:由題意及坐標(biāo)圖得，直線L的方程：y=扠6>(x-d)+c (1)直線L上任意一點(diǎn)尸(x,_v)的仰角￡5的正切值為：(2)(3)——(x—d^tQ(2)(3)又由圖可知：H—C htgd— htgd—2(//—c+dtgd)+(1+^~d)x+1.2構(gòu)造滿意度函數(shù)一般說來，人們的心理變化是一個模糊的概念.本文中觀眾對某個座位是否滿意的看法就是一個典型的模糊概念.由模糊數(shù)學(xué)隸屬度的概念和心理學(xué)的相關(guān)知識，根據(jù)人們通常對一件事物評價(jià)的心理變化應(yīng)遵循一定規(guī)律，不妨定義觀眾對座位的滿意度為：(-V-.Vq)~(4)^ (乂>0)(4)其中2表示觀眾滿意度的相關(guān)因子，稱為滿意因子，一般為常數(shù)表示最佳座位點(diǎn)，

即最佳座位處的橫坐標(biāo)值.2.模型的建立2.1問題1的模型座位的滿意程度主要取決于視角和仰角越大越好，太大使人的頭部過分上仰，引起不舒適感，一般要求0不超過30°.要確定最佳座位，必須同時(shí)兼顧視角a和仰角P. htgO^{fl+dtg0^+(1+ +H—c—、x—d、tg0

x htgO^{fl+dtg0^+(1+ +H—c—、x—d、tg0

x(5)(6)由戶<30°，即如炫30°得：x>H~c+則x的取值范圍為：H~Cx<D(7)TC則x的取值范圍為：H~Cx<D(7)TC從而得到求解最佳座位的數(shù)學(xué)模型: -c++2 (//—c+dtgd)2—h{M—c+dtg0)nD(8)當(dāng)0=l〇度時(shí)求得模型的解2.2問題2的模型為了求平均滿意程度最大時(shí)地板的傾角0，本文先設(shè)法求平均滿意程度I.n則區(qū)間[義Z)]上h個座位的滿意度為：IM(10)n則區(qū)間[義Z)]上h個座位的滿意度為：IM(10)Xmco從而得座位的平均滿意程度為：M=S (11)從而得到求解地板傾角的數(shù)學(xué)模型：M (12)其中x;的表達(dá)式為：x,.=d+〇_-l)/，Z為常數(shù)，表示前后兩個座位之間的距離.，