三年高考兩年模擬-數(shù)學(xué)平面向量

第五章平面向量、解三角形

第一節(jié)平面向量

第一部分三年高考薈萃

2010年高考題

一、選擇題

1.(2010湖南文)6.若非零向量a,b滿足|。1=161,(2。+6)-6=0,則a與b的夾角為

A.30°B,60°C.120°D.150°

【答案】C

UULUU

2.(2010全國卷2理)(8)丫48。中，點。在48上，CD平方乙4cB.若CB=a,CA=b,

uuu

|a|=1,|d|=2,則CD=

]?213443

(A)—a+—b(B)—a+—b(C)—a+—b(D)—a+—b

33335555

【答案】B

【命題意圖】本試題主要考查向量的基本運算，考查角平分線定理.

ADIICAI?

【解析】因為CD平分N/CB，由角平?分線定理得一=-所以D為AB的三等

DB||CB|1

____2___2_____.___2___i___21

分點，且前=_入§=_(而—CA),所以麗k=CA+H5=_而+_CA=_￡+_6,

333333

故選B.

3.(2010遼寧文)⑻平面上0,48三點不共線，設(shè)刀=￡,礪=刃，則AO/B的面積等

于

(A),郴一0而(B)J祚1+0而

(C).同訓(xùn)一0萬(D).用邛+?而

【答案】C

解析：

S..=—IaIIftIsin<tz,A>=—IaIIftIJl-cos2<a,h>=—IallftlJl-

nAB上2"—2

40B22Y2V\a\\b\

因桐_(￡而

4.(2010遼寧理)(8)平面上0,A,B三點不共線，設(shè)OA=a,OB=b,則△0AB的面積等于

(A)加2|62—g份2⑻7l?l2l^l2+(?b)2

(0121bl2_g32(D)3加|2力|2+g?

【答案】C

【命題立意】本題考查了三角形面積的向量表示，考查了向量的內(nèi)積以及同角三角函數(shù)的基

本關(guān)系。

【解析】三角形的面積S=1|a|bsin〈a,b>,而

2

17^|2^12-W2^^lal2lbl2-(ab)2cos2<a,b>

—IaIII-v/l-cos2<a,b>=,IaIIbIsin<a,b>

22

5.(2010全國卷2文)(10)AABC中，點D在邊AB上，CD平分NACB,若麗=a,CA=

b,|?|=1,\b|=2,貝同=

1?213443

(A)—a+—b(B)—a+—b(C)—a+—b(D)—a+—b

33335555

【答案】B

【解析】B：本題考查了平面向量的基礎(chǔ)知識

BDBC

?：CD為角平分線，；.4DAC2,AB=CB-CA=a-b,

AD^-AB^-a--bCD^CA+AD^b+-a--h^-a+-b

333,二3333

⑶設(shè)向量a=(1,0),6=(；,；),則下列結(jié)論中正確的是

6.(2010安徽文)

(A)同=同(B)ab=

2

(C)a!1b(D)。一6與6垂直

【答案】D

【解析】a—/>=(；,-g),(a-b)b=O,所以a—)與分垂直.

【規(guī)律總結(jié)】根據(jù)向量是坐標運算，直接代入求解，判斷即可得出結(jié)論.

7.(2010重慶文)(3)若向量Q=(3,〃7),h=(2,-1),ab=0,則實數(shù)的值為

33

(A)一一(B)一

22

(C)2(D)6

【答案】D

解析：ab=6-m=0,所以加二6

8.(2010重慶理)(2)8知向量a,b滿足a?b=0,同=1,例=2,,則|2””

A.0B.20C.4D.8

【答案】B

解析：|2a—臼=yl(2a-b)2=^4a2-4a-b+b2=a=2叵

9.(2010山東文)(12)定義平面向量之間的一種運算“”如下：對任意的a=(加,〃)，

b=(p,q),令ab-mq-np,下面說法錯誤的是

(A)若a與b共線，則ab=0

(B)ab-ba

(C)對任意的/le火，有(丸“)b=A(ab)

(D)(ab)2+(a?b)2=lal2l/>l2

【答案】B

10.(2010四川理)(5)設(shè)點M是線段a'的中點，點｛在直線比1外，

苑*=16,|篇+配|=|樂一祝貝ijAM\^

(4)8")492(〃)1解析：由前2=16,得|a1=4

+JC|=|JB-JC|=|BC|=4

而AB+AC\=2\AM\

故AM\=2

【答案】C

11.(2010天津文)(9)如圖，在△ABC中，前=/麗，|而卜1,貝I1％?瓦=

(R)6(C)&

(A)273VD?-----------(D)V3

23

【答案】D

【解析】本題主要考查平面向量的基本運算與解三角形的基礎(chǔ)知

識，屬于難題。

AC?AD=\AC\?\AD\cosZDAC=1ACI?cosADAC=1NCIsinABAC

=5CsinB=V3

【溫馨提示】近幾年天津卷中總可以看到平面向量的身影，且均屬于中等題或難題，應(yīng)加強

平面向量的基本運算的訓(xùn)練，尤其是與三角形綜合的問題。

12.(2010廣東文)

5.若皮量a=(LD，b-(2,5)?c=(3,x)滿足條件(8a-b).c=30,則》=

A.6B.5C.4D.3?

WWWW*VWWMeVWWWI

解：(8J-?)=(8,S)-(2.5)?(6,3)

(8。-.c=6x3+3x=30=>x=4,選C

13.(2010福建文)

S.gf?Jla=(x,3)(x€^).則"x=4"是卜5”的

A.充分而不必襄條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必矍條件

【答富】A

【解析】由x=4得，=(45.所以卜，反之,由|：卜5可匍x=±4?

【第JE意圖】本題看查平面向，、常用邏輯用港等基部知識.

14.(2010全國卷1文)(11)已知圓。的半徑為1,PA、PB為該圓的兩條切線，A、B為兩

切點，那么蘇?麗的最小值為

(A)—4+6⑻—3+0(C)—4+20(D)-3+272

【答案】D

【命題意圖】本小題主要考查向量的數(shù)量積運算與圓的切線長定理，著重考查最值的求法一

一判別式法，同時也考查了考生綜合運用數(shù)學(xué)知識解題的能力及運算能力.

即力—（1+?。?一丁=0,由F是實數(shù)，所以

A=[-（l+^）]2-4xlx（-y）>0,y2+6y+l>Q,解得yV—3—2啦或y2—3+2血.

故（蘇?麗）min=-3+2JL此時X=VV2-1.

mafic.O17ADDnnnPA?PB-（PA\（PB\cOS01/tan—COS，

【解析2】設(shè)44PB=。,0<。<乃，'八）（2）

20

cos

l-2sin2q）2e

_____2換元：x=sin"—,0<x<l

.2。2

sin-

2

蘇?麗=支』二=2x+_L—3z2血一3

XX

【解析3】建系：園的方程為一+;/=1,設(shè)44切）,8（七,一凹）,P*o,O），

尸/?尸8=（須一//1）,（為一/，一%）=玉2-2石與十片一切2

2

AO-LPA=>（X）,?（Xj-x0,yj）=0=>X]-x}xG4-=0=>x]xQ-1

——

PA?PB—x；2X|XQ+Xg-—x；-2+x；-（1-x；）—2x；+x；-322^/23

,2

15.（2010四川文）（6）設(shè)點〃是線段BC的中點，點4在直線8C外，BC=16,

同+陽=府-園，貝“西=

(1)8(0492(〃)1

【答案】C

解析：由8C=16,得18a=4

方+配|=|而-祝|=|元|=4

而刀+刀|=2|夜|

故AM\-2

16.(2010湖北文)8.已知A48c和點M滿足加+礪+荻=0.若存在實加使得

AM+AC=tnAM成立，則加二

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】由題目條件可知，M為^ABC的重心，連接AM并延長交BC于D,

則瓦7-2力①，因為AD為中線則怎+而=2力=加刀7,

3

即2①=疝說②，聯(lián)立①可得京3,故B正確.

17.(2010山東理)(12)定義平面向量之間的一種運算“”如下，對任意的￡=(m,n),

b=(p,q),令ab=mq-np,下面說法錯誤的是()

A.若a與S共線，則ab=OB.ab=ba

c.對任意的XeR,有(而)b=2(ab)D.(ab)2+(ab)2=lal2lbl2

【答案】B

【解析】若a與E共線，則有ab=mq-np=0,故A正確；因為6a=pn-qm,而

ab=mq-np,所以有abba,故選項B錯誤，故選B。

【命題意圖】本題在平面向量的基礎(chǔ)上，加以創(chuàng)新，屬創(chuàng)新題型，考查平面向量的基礎(chǔ)知識

以及分析問題、解決問題的能力。

LlllUUUU1

18.(2010湖南理)4、在H/A48c中，ZC=90°AC=4,則N8/C等于

A、-16B、-8C、8D、16

【答窠】A

【解析】因為NC=90?，所以就?而=3

HiQAJ5-JC=(JC+CB>JC=(JC):+AC^CB=16,故選IX

【命題意圖】本題考查向量的加法的運算，向量的數(shù)量積，屋中檔題"

19.(2010年安徽理)

3、設(shè)向量a=0.0),&=(；'),則下列站途中正碉的是

A、同=陽B、a?b=*■C、a-A與白垂直IXaHb

3.C

【解析】a-?=d.-3，(a-6)O>=0,驅(qū)a-▲與A垂直

【方法4確】利用向量的坐標運過.■接驗證很容易先掛除掉選項A、B、D.然后驗證C即可得出結(jié)論

20.(2010湖北理)5.已知AABC和點M滿足M^+M百+M±=0.若存在實數(shù)m使得

->-->-->

AB+AC=mAM成立，則m=

A.2B.3C.4D.5

5?【答案】B

【解析】由題目條件可知，M為aABC的重心，連接AV并延長交BC于D,

則麗.2①①，因為AD為中線則荏+而?2樂-m麗，

3

即2力=加罰②，聯(lián)立①②可得斤3,故B正確.

二、填空題

1.(2010上海文)13.在平面直角坐標系中，雙曲線「的中心在原點，它的一個焦點坐標為

(75,0),3=(2,1)、&=(2,—1)分別是兩條漸近線的方向向量。任取雙曲線「上的

點P,若OP=ae\+be2(a>/?￡7?),則a、b滿足的一個等式是_4ab=1。

解析：因為Z=(2,1)、e2=(2,—1)是漸進線方向向量,所以雙曲線漸近線方程為y=土gx,

又c=V5,a=2,b=1

2

雙曲線方程為二--y=1OP-ae\+be?=(2a+2b,a—b),

4

W+2，）一（“_6尸=i,化簡得4ab=l

4

2.（2010浙江理）（16）已知平面向量。,￡（。工0,&力￡）滿足期=1,且a與￡一a的夾

角為120°,則悶的取值范圍是.

解析：利用題設(shè)條件及其幾何意義表示在三角形中，即可迎刃而解，本題主要考察了平面向

量的四則運算及其兒何意義，突出考察了對問題的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)形結(jié)合的能力，屬中檔題。

3.（2010陜西文）12.已知向量a=（2,-1）,b=（-1,加，c=（一1,2）若（a+6）

He,則

m=.

【答案】一1

解析：a+b=（1,m一1）,由（o+b）〃c得1x2-（m-l）x（-1）=0,所以m=T

4.（2010江西理）13.已知向量￡,刃滿足問=1,河=2,［與否的夾

角為60°,則**

【答案】也/

【解析】考查向量的夾角和向量的模長公式，以及向量三角形法則、余弦

定理等知識，如圖￡=以花=礪,￡-5=麗一礪=血，由余弦定理

得：百

5.（2010浙江文）（17）在平行四邊形ABCD中，O是AC與BD的交點，P、Q、M、N分

別是線段OA、OB、OC、OD的中點，在APMC中任取一點記為E,在B、Q、N、D中任

取一點記為F,設(shè)G為滿足向量03=0匹赤的點，則在上述的點G組成的集合中的點,

落在平行四邊形ABCD外（不含邊界）的概率為-

(由170“.)

3

答案：-

4

6.(2010浙江文)(13)已知平面向量閔a|=l,忸|=2,aJ.(a-2叫則|2a+#|的值是

答案：Vio

7.(2010天津理)(15)如圖，在/BC中，ADA.AB,BC=43BD,

回=1,則ACZ5=.'

【答案】D/)

【解析】本題主要考查平面向量的基本運算與解三角形的基礎(chǔ)知識，屬于難題。

AC*AD=\AC\?\AD\cosZDAC=\AC\?cosZDAC=\AC\sinZBAC

-BCsinB=y/3

【解析】近兒年天津卷中總可以看到平面向量的身影，且均屬于中等題或難題，應(yīng)加強平面

向量的基本運算的訓(xùn)練，尤其是與三角形綜合的問題。

8.(2010廣東理)10.若向量。=(l,l,x),"(1,2,1),I=(1,1,1),滿足條件(1聯(lián)).(2%)=-2,

則刀=;

【答案】2

?=(0,0,l-x),(c-a).(26)=2(0,0,l-x)-(l,2,l)=2(l-x)=-2,解得x=2.

三、解答題

1.(2010江蘇卷)15、(本小題滿分14分)

在平面直角坐標系xOy中，點A(—"1,—2)、B(2,3)>C(—2,-1)1,

(1)求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長；

⑵設(shè)實數(shù)t滿足(獲一而)?而=0,求t的值。

［解析］本小題考查平面向量的兒何意義、線性運算、數(shù)量積，考查運算求解能力。滿分14

分。

(1)(方法一)由題設(shè)知方=(3,5),%=(—1,1),則

方+%=(2,6),海-配=(4,4).

所以I方+配1=2而,1方一萬1=472.

故所求的兩條對角線的長分別為40、2廂。

(方法二)設(shè)該平行四邊形的第四個頂點為D,兩條對角線的交點為E,貝IJ:

E為B、C的中點，E(0,1)

又E(0,1)為A、D的中點，所以D(1,4)

故所求的兩條對角線的長分別為BC=4V2、AD=2jIU；

(2)由題設(shè)知：OC=(-2,-1),萬一/0e=(3+2/,5+力。

由(礪一/而)?而=0,得：(3+27,5+/>(—2,—1)=0,

從而57=—11,所以，=—以。

5

或者：ABOC=tOC\7^=(3,5),/="空定=_U

IOCI25

2009年高考題

一、選擇題

1.（2009年廣東卷文）已知平面向量a=（x,D,左（一x,》2）,則向量a+方（）

A平行于x軸B.平行于第一、三象限的角平分線

C.平行于歹軸D.平行于第二、四象限的角平分線

答案C

解析?+/?=（0,l+x2）,由1+/=0及向量的性質(zhì)可知,C正確.

2.（2009廣東卷理）一質(zhì)點受到平面上的三個力大，工，招（單位：牛頓）的作用而處于

平衡狀態(tài).已知月，工成60°角，且片，「2的大小分別為2和4,則月的大小為（）

A.6B.2C.275D.2不

答案D

解析F；=F：+8-2月F2cos(180°-60°)=28,所以居=2幣，選D.

3.(2009浙江卷理)設(shè)向量a,》滿足：la1=3,161=4,ab-0.以a,b,a-力的

模為邊長構(gòu)成三角形，則它的邊與半徑為1的圓的公共點個數(shù)最多為（）

A.3B.4C.5D.6

答案C

解析對于半徑為1的圓有一個位置是正好是三角形的內(nèi)切圓，此時只有三個交點，

對于圓的位置稍?右移或其他的變化,能實現(xiàn)4個交點的情況，但5個以上的交點不能

實現(xiàn).

4.（2009浙江卷文）已知向量a=（1,2）,5=（2,—3）.若向量c滿足（c+a）//》，c，（“+》）,

則。=（）

答案D

解析不妨設(shè)。=（加,〃），則。+。=（1+機,2+〃）,。+3=（3,-1）,對于

77

則有一3（1+機）=2（2+〃）；又c_L（a+B）,則有3加一〃=0,則有加=——,n-——

93

【命題意圖】此題主要考查了平血向量的坐標運算，通過平面向量的平行和垂直關(guān)系的

考查，很好地體現(xiàn)了平面向量的坐標運算在解決具體問題中的應(yīng)用.

5.（2009北京卷文）已知向量a==（0,l）,c=ka+b（左eR）,d=a-b,如果。〃d

那么（）

A.A：=1且。與d同向B.k=1且c與d反向

C.左=-1且c與d同向D.4=-1且c與“反向

答案D

解析本題主要考查向量的共線（平行）、向量的加減法.屬于基礎(chǔ)知識、基本運算考查.

".'a=（l,0）,b=（0,1）>若k=1,JS!|c=a+b—（1,1）>d-a—,

顯然，a與b不平行，排除A、B.

若左=-l,貝IIc=-a+6=（-1,1）,d=-a+6=—1,1）,

即c〃"且c與d反向，排除C,故選D.

6.（2009北京卷文）設(shè)D是正生鳥鳥及其內(nèi)部的點構(gòu)成的集合，點片是ME鳥的中心,

若集合5=仍1尸€。,1。4國尸甲"=1,2,3},則集合S表示的平面區(qū)域是（）

A.三角形區(qū)域B.四邊形區(qū)域

C.五邊形區(qū)域D.六邊形區(qū)域

答案D

解析本題主要考查集合與平面幾何基礎(chǔ)知識.本題主要

考查閱讀與理解、信息遷移以及學(xué)生的學(xué)習(xí)潛力，考查學(xué)生

分析問題和解決問題的能力.屬于創(chuàng)新題型.如圖，A、B、

C、D、E、F為各邊三等分點，答案是集合S為六邊形ABCDEF,

其中，P0A=P2A<PiA{i=\,S）即點P可以是點A.

7.（2009北京卷理）已知向量3、6不共線，6=人+%左€而，仁&一力,如果"/",那么（）

A.左=1且c與d同向B.左=1且c與d反向

C.攵=—1且c與"同向D.左=—1且c與"反向

答案D

解析本題主要考查向量的共線（平行）、向量的加減法.屬于基礎(chǔ)知識、基本運算的考

查.

取a=(l,O),6=(0,1),若k=1,則c=a+6=(1,1),d=a—b=(1,—1)?

顯然，a與6不平行，排除A、B.

若左=-1,貝ijc=—a+6=（—1,1）,d=—a+Z>=—1,1）?

即c〃"且c與d反向，排除C,故選D.

8.（2009山東卷理）設(shè)P是AABC所在平面內(nèi)的一點，BC+BA=2BP,則（）

A.PA+PB=OB.PC+PA=0C.PB+PC=QD.PA+PB+PC=（）

答案B

解析：因為冊+強=2而，所以點P為線段AC的中點，所以應(yīng)該選B。

【命題立意】：本題考查了向量的加法運算和平行四邊形法則，可以借助圖形解答.

9.（2009全國卷H文）已知向量a=（2,1）,a?b-10,\a+bI=5&，則I6I=

A.y/5B.V10C.5D.25

答案C

解析本題考查平面向量數(shù)量積運算和性質(zhì)，由。+6=5&知（a+b）2=a、b2+2ab=50,

得|b|=5選C.

10.（2009全國卷I理）設(shè)a、b、。是單位向量，且a?6=0,則（a-c）?優(yōu)一c）的最

小值為)

A.—2B.572—2C.-1D.1-^2

答案D

:a,c是單位向量二（a—c）?（―?—?\―?―?—?—?—?—?2

解析b-c\=ab-(a+b)c+c

=I—lZ+BlR=l-夜COS<a+b,c>>1-V2.

11.（2009湖北卷理）已知

P={a\a=(1,0)+加(0,1),加w周,。={616=(1,1)+n(-l,l),weR)是兩個向量集合,

則PIQ=

A.((1,1)}B.{[-1,1)}C.{(1,0)}D.{(0,1)}

答案A

解析因為￡=（1,相）5=（1-〃/+〃）代入選項可得PC0=｛（1,1）｝故選A.

12.（2009全國卷n理）已知向量4=（2,1）,42=10,1。+加=5a,則161=（）

A.MB.V1OC.5D.25

答案C

解析?/50=1o+612=1aI2+2ab+1612=5+20+1bI2/.161=5故選C.

13.（2009遼寧卷理）平面向量a與b的夾角為60°,a=（2,0）,同=1則卜+2耳=（）

A.V3B.C.4D.2

答案B

解析由已知⑷=2,|a+2b|2=a?+4a?b+4b2=4+4X2X1XCOS60°+4=12

.?.卜+2.=26

14.（2009寧夏海南卷理）已知0,N,P在A4BC所在平面內(nèi)，且

|萬卜|歷|=|四麗+麗+標=0,且強?麗=麗.定=正?西，則點0,

N,P依次是AA5C的（）

A.重心外心垂心B.重心外心內(nèi)心

C.外心重心垂心D.外心重心內(nèi)心

答案C

（注：三角形的三條高線交于一點，此點為三角型的垂心）

解析

由網(wǎng)=函=|明知,O為入43即外心；由附+赤+而1=0知，O為入48皿重心

■.■PA?~PB^PB?PC,：.（7A-PCyPB^Q,：.CA?PB^O,：.CA1PB,

同理，45_18。,；.尸為兇8（：的垂心，選C.

15.（2009湖北卷文）若向量a=（1,1）,b=（T,1）,c=（4,2）,則c=（）

A.3a+bB.3a-bC.-a+3bD.a+3b

答案B

解析由計算可得￡=（4,2）=3之一］故選13

16.（2009湖南卷文）如圖1,D,E,F分別是AABC的邊AB,BC,CA的中點，貝U（)

A.AD+BE+CF^O

B.BD-CF+DF^()

C.AD+CE-CF=0

D.BD-BE-FC^O

答案A

圖1

解析?.?亞=麗,；.亞+爐=麗+屁=詼=定,得通+而+醞=0

或詬+而+方=而+萬斤+方=萬+麗=0.

17.（2009遼寧卷文）平面向量a與b的夾角為60°,a=（2,0）,|b|=1,貝I||a+2b|

等于（）

A.百B.26C.4D.12

答案B

解析由已知|a|=2,|a+2b|2=a2+4a?b+4b2=4+442X1+cos60°+4=12

\a+261=2-\/3

18.（2009全國卷I文）設(shè)非零向量。、了、（;滿足1。1=1b\^c\,a+b=c,則<。,了>=（）

A.150°B.120°C.60°D.30°

答案B

解析本小題考查向量的幾何運算、考查數(shù)形結(jié)合的思想，基礎(chǔ)題。

解由向量加法的平行四邊形法則，知￡、X可構(gòu)成菱形的兩條相鄰邊，且￡、Z為起

點處的對角線長等于菱形的邊長，故選擇Bo

19.（2009陜西卷文）在AABC中,M是BC的中點，AM=1,點P在AM上且滿足學(xué)秒=2PM,

則科網(wǎng)方?（而+定）等于()

4444

C

9-3--3-D.9-

A.答

案1

解析由力尸=2尸〃知，p為A48C的重心，根據(jù)向量的加法，P8+PC=2PM則

AP-(PB+定＞浜被2|碉網(wǎng)cos。=2x|xgxl=g

20.（2009寧夏海南卷文）已知“=（—3,2）,6=（—1,0）,向量/U+6與。一26垂直，則實

數(shù)/I的值為（）

1111

A.一一B.-C.一一D.-

7766

答案A

解析向量（-3A-1,22）,a—2b=（—1,2）,因為兩個向量垂直，故

有（一3幾一1,2/1）X（-1,2）=0,即3/1+1+42=0,解得：2,故選.A.

7

21.（2009湖南卷理）對于非0向時a,b,“a//b”的正確是（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析由a+6=0,可得。=一6,即得a〃b,但a〃b,不一定有。=一6,所以

““+6=0”是的充分不必要條件。

22.（2009福建卷文）設(shè)W,b,1為同一平面內(nèi)具有相同起點的任意三個非零向量，且滿

足。與b不共線，aleIaI=IcI,則I6I的值一定等于（）

A.以工為鄰邊的平行四邊形的面積

-》—?

B.以6,C為兩邊的三角形面積

C.a,1為兩邊的三角形面積

D.以1,I為鄰邊的平行四邊形的面積

答案A

—

解析假設(shè)。與b的夾角為。，Ib?cI=Ib\9\c\?\cos<b,c>I

=\b\?\a\?\cos（90°±^）|=|6|?\a\?sin。，即為以。，b為鄰邊的平

行四邊形的面積.

23.（2009重慶卷理）已知同=1,例=6,“3―a）=2,則向量。與向量〃的夾角是（）

答案c

解析因為由條件得。力一片=2,所以=2+/=3=a-bcosa=1x6xcosa,

所以cosa=1,所以《=工

23

24.(2009重慶卷文)已知向量a=(l,l),b=(2,x),若a+1與劭-2a平行,則實數(shù)x的值

是()

A.-2B.0C.1D.2

答案D

解法1因為a=(1,1),6=(2,x),所以a+6=(3,x+l),4b-2a=(6,4x-2),

由于a+b與46-2。平行，得6(x+l)—3(4x—2)=0,解得x=2。

解法2因為a+b與4b—2a平行，則存在常數(shù)丸，使a+b=/l(46—2a),即

(24+1)。=(4/1—1)6,根據(jù)向量共線的條件知，向量a與6共線，故x=2

25.(2009湖北卷理)函數(shù)y=cos(2x+工)-2的圖象/按向量a平移到尸，U的函數(shù)解析

6

式為歹=/(》),當(dāng)y=/(X)為奇函數(shù)時，向量?？梢缘扔?)

4(一二,一2)5.(--,2)C.(—2)

o666

答案B

解析直接用代入法檢驗比較簡單.或者設(shè);=(￡4'),根據(jù)定義

y-y=cos[2(x-xz)+-]-2,根據(jù)y是奇函數(shù)，對應(yīng)求出x',yf

6

26.(2009湖北卷文)函數(shù)”cos(2x+*-2的圖像F按向量a平移至I」F,F的解析式y(tǒng)=f(x),

當(dāng)尸f(x)為奇函數(shù)時，向量a可以等于()

A.(9,-2)B.(￡,2)C.(--,-2)D.(-J,2)

6666

答案D

解析由平面向量平行規(guī)律可知，僅當(dāng)￡=(-9,2)時，

6

7TTT

F'：f(x)=cos[2(x+—)+—]-2=-sin2x為奇函數(shù)，故選D.

26.(2009廣東卷理)若平面向量［，［滿足1+3=1,Z+V平行于x軸，6=(2,-1),

貝!Ja=_________.71\

答案(-1,0)-(-2(-1)=(-3,1)//\

解析"+g=(1,0)或(—1,0),則1=(1,0)-(2,-1)=(—1,1)//\

ApC

或1=(-1,0)-(2,-1)=(-3,1).

27.(2009江蘇卷)已知向量Z和向量1的夾角為30°,I箱2屜>瓦則向量Z和向量刃的

數(shù)量積[花=.

答案3

解析考查數(shù)量積的運算。a-b=2-43-=3

2

28.(2009安徽卷理)給定兩個長度為1的平面向量方和方，它們的夾角為120°.

如圖所示，點C在以。為圓心的圓弧方上變動.-----與

若雙=xE+y而，其中則x+y'

的最大值是.0人

答案2

解析設(shè)NNOC=a

\0C.0A=xdA.0A+ydB.0A,,cosa=x-1

OC.OB^xOA-OB+yOB-OB,cos(120°-a)=-L+y

,x+y=2fcosa+cos(l20°一a)]=cosa+Gsina=2sin(a+—)<2

6

29.(2009安徽卷文)在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點，或

AC二1AB+lAP，其中1,LER,則)二

答案4/3

.—?.—?■.I—*—?.—?I—?.—?—?

解析設(shè)BC=b、胡=a則4尸=—6—Q,AE=b——a,AC=b-a

22

24

代入條件得4=〃=—「.4+〃=—

33

30.(2009江西卷文)已知向量。=(3,1),b=(1,3),c=/,2),若(a-c)_L6則

答案0

解析因為￡—)=(3—左1),所以左=0.

31.(2009江西卷理)已知向量￡=(3,1),3=(1,3),1=(左,7),若(￡—3)〃了,則

k=.

答案5

.?.3—k—6,_

解析----=—=>左=5

32.(2009湖南卷文)如圖2,兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起，若AD=xAB+yAC,

貝IIx=,y=.

答案Z嗎y吟

解析作DFLAB,設(shè)AB=AC=lnBC=DE=e,

NDEB=60°,BD=

由ZDBF=45°解得DF=BF=旦x包=B,故x=T+盤,y=B

22222

33.(2009遼寧卷文)在平面直角坐標系xoy中，四邊形ABCD的邊AB〃DC,AD〃BC,已知點

A(-2,0),B(6,8),C(8,6),則D點的坐標為.

答案(0,-2)

解析平行四邊形ABCD中，礪+歷=刀+反

：.OD=OA+OC-OB^(~2,0)+(8,6)-(6,8)=(0,-2)

即D點坐標為(0,-2)

7T

34.(2009年廣東卷文)(已知向量。=(sin。,一2)與b=(l,cos。)互相垂直，其中?！?0,一)

2

(1)求sin>和cos6的值

(2)若5cos(8-(/))=3后cos(p,0<°<],求cos夕的值

解(1),.?.)§?)=sin。-2cos8=0,即sin。=2cos。

2222=

又sin?8+cos。=1,4cos^+cos0=\yBPcos=,/.sin~

又0G(0,—)z.sin0=,cos0--

255

(2)5cos(。-(p)-5(cos^cos°+sin6sin.=石cos(p+275sin(p=375cos0

二.cos。=sin°，cos2=sin2=1-cos2(p,DPcos2^=~

__TCV2

又0</<萬,/.cos(p-

35.(2009江蘇卷)設(shè)向量。=(4cosa,sina),「=(sin/3,4cos/?),c=(cos/?,-4sin