無窮級數(shù)的斂散性及其應(yīng)用

-.z.無窮級數(shù)的斂散性及其應(yīng)用摘要：無窮級數(shù)貫穿于高等數(shù)學(xué)的各個(gè)分支，是數(shù)學(xué)分析中的重要組成局部。本文簡單討論了一個(gè)級數(shù)的斂散性的判別，并會應(yīng)用其解決問題。著重強(qiáng)調(diào)了無窮級數(shù)在求極限中以及在數(shù)值計(jì)算中的近似計(jì)算中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：級數(shù)斂散極限判別近似計(jì)算TheConvergenceAndDivergenceOfInfiniteSeriesAndItsApplicationAbstract:Infiniteseriesthroughoutthehigherthevariousbranchesofmathematics,mathematicalanalysisisanimportantpartin.Thispaperdiscussesaseriesofdistinguishingtheconvergenceanddivergence,andwillapplythesolutiontotheproblem.Emphasizestheinfiniteseriesinthelimitaswellasinthenumericalcalculationofappro*imatecalculation.Keywords:Series;Convergenceanddivergence;Limit;Distinguish;Appro*imatecalculation1.級數(shù)斂散性的定義1.1定義：如果數(shù)項(xiàng)級數(shù)的局部和數(shù)列{}收斂于〔),則稱此數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂。2.級數(shù)斂散性的判定方法在數(shù)學(xué)分析中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)到了幾種判別法。在本文我主要整理總結(jié)級數(shù)斂散性的判別法的思想。對于一個(gè)任意項(xiàng)級數(shù)，首先應(yīng)判別此級數(shù)的類型，主要分為正項(xiàng)級數(shù)和一般項(xiàng)級數(shù)。其中一般項(xiàng)級數(shù)中再判斷它是否是交織級數(shù)。如果是正項(xiàng)級數(shù)，先可以利用級數(shù)收斂的必要條件判定級數(shù)是否發(fā)散。即判斷極限發(fā)散，，則不確定級數(shù)是否收斂，需要再次判別。接著，根據(jù)級數(shù)的一般項(xiàng)的特性選擇不同的判別方法：a:假設(shè)一般項(xiàng)中含有階乘項(xiàng)和乘積形式，一般用比式判別法。b:假設(shè)一般項(xiàng)中含有冪指數(shù)形式，一般用根式判別法。c:假設(shè)一般項(xiàng)中含有不是整數(shù)，一般用比擬判別法。此外還有比式判別法的極限形式，積分判別法，拉貝爾判別法等等。利用級數(shù)斂散性的定義判別特殊類型級數(shù)的判別方法a:如果一個(gè)級數(shù)是交織級數(shù)，可以用萊布尼茨判別法b:如果交織級數(shù)不符合萊布尼茨判別法條件則可以運(yùn)用狄利克雷判別法和阿貝爾判別法等等。下面看幾個(gè)例子，觀察是如何判別級數(shù)斂散性的。例1討論數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂性。分析：這道題如果用比式判別法，發(fā)現(xiàn)不能判別出級數(shù)是否收斂。因此想到用定義是否可以先求出局部和，在判斷其極限的存在性。解：級數(shù)的第n個(gè)局部和===于是，因此，根據(jù)定義，此級數(shù)收斂。并能求出其和為。例2判別以下級數(shù)的斂散性〔1〕〔2〕〔3〕0.003++解：〔1〕因?yàn)?lt;()而正項(xiàng)級數(shù)收斂，所以級數(shù)收斂。分析：這是運(yùn)用了比擬判別法，即把，與收斂性一樣。(2)分析：由于級數(shù)的一般項(xiàng)含有階乘，首先想到用比式判別法能否判別。因?yàn)樗源思墧?shù)發(fā)散?！?〕分析：這題是利用級數(shù)收斂的必要條件的逆否命題：假設(shè)，則級數(shù)發(fā)散。所以此級數(shù)發(fā)散。3.無窮級數(shù)的應(yīng)用無窮級數(shù)在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛，無論是在實(shí)數(shù)領(lǐng)域還是復(fù)數(shù)領(lǐng)域，級數(shù)都占據(jù)著至關(guān)重要的地位。我們可以用無窮級數(shù)理論來求*些數(shù)列和函數(shù)的極限。另外，對于一個(gè)很難計(jì)算的數(shù)值如無理數(shù)也可用無窮級數(shù)逐漸逼近得到較為準(zhǔn)確的值。譬如可以用無窮級數(shù)逼近的方法求出圓周率的近似值。下面舉例說明級數(shù)的*些應(yīng)用。3.1利用無窮級數(shù)求極限〔1〕利用級數(shù)斂散性的必要條件例3求極限分析：我們發(fā)現(xiàn)直接來求解這題顯得比擬繁瑣，如果把看作是級數(shù)的通項(xiàng)，如果此級數(shù)收斂，則。解：根據(jù)比式判別法所以<1，則正項(xiàng)級數(shù)收斂，故由級數(shù)收斂的必要性，得例4求當(dāng)>>0時(shí)，。分析;用其他方法求這題比擬難求，，未知。我們先考慮級數(shù)的收斂性。解由比式判別法==<1所以級數(shù)收斂，則=0〔2〕〔2〕通過冪級數(shù)展式求極限根據(jù)所求函數(shù)性質(zhì)的不同，可以將函數(shù)的*一項(xiàng)進(jìn)展展開，然后求得極限值。這種方法求極限，可以簡便計(jì)算量。對于不易求出極限的函數(shù)，可以使用這類方法。下面看一個(gè)例子。例5〔1〕(2)分析：第一題我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)*趨于無窮時(shí)，是無窮小量，則可以用泰勒展式將展開求解。第二題可以利用泰勒展式將，展開。解〔1〕=〔2〕=利用級數(shù)的和函數(shù)求極限在求極限的過程中，我們通常會遇到與n有關(guān)的和式極限。對于這類求極限是較難的。如果可以將這種和式化為一個(gè)和式的級數(shù)。這類問題就能得到簡便化。下面看幾個(gè)例子。例6求極限分析：將其看作一個(gè)級數(shù)，由公式，把這題求極限看作是級數(shù)的求和問題。解原式=，由級數(shù)的比式判別法，得=<1。設(shè)，利用錯(cuò)位相減法得，兩式相減得，=，===1例7求極限解根據(jù)比式判別法，由正項(xiàng)級數(shù)，得==<1所以此級數(shù)收斂。設(shè)此時(shí)<1，令，則=3.2無窮級數(shù)在近似計(jì)算中的應(yīng)用〔1〕計(jì)算無理數(shù)的近似值例8計(jì)算的近似值，并使其截?cái)嗾`差不超過。解用泰勒展式將展開并取，得截?cái)嗾`差R7=<〔2〕計(jì)算定積分的近似值對于一些函數(shù)如，，它們的原函數(shù)不能用的初等函數(shù)表示，計(jì)算它們的定積分很困難。通常解法是先將被積函數(shù)化成冪級數(shù)展式，再逐項(xiàng)積分，最后求出定積分的近似值。下面看例子例9計(jì)算積分的近似值，誤差不超過。解用泰勒展式展開，由于第四項(xiàng)<所以總之，討論并研究一個(gè)無窮級數(shù)的斂散性和應(yīng)用，無論對級數(shù)求和問題，一些極限的求解，還是在近似計(jì)算中，都在我們生活生產(chǎn)中占據(jù)著非常重要的作用。從無窮級數(shù)的框架看，它是一個(gè)嚴(yán)密的網(wǎng)狀體系，與函數(shù)思想、極限思想和化歸轉(zhuǎn)化思想密切聯(lián)系。參考文獻(xiàn)：華東師大學(xué)數(shù)學(xué)系編"數(shù)學(xué)分析下冊"第三版高等教育儀娜無窮級數(shù)在求極限中的應(yīng)用高等數(shù)學(xué)季刊1998年第二期井石峰高等數(shù)學(xué)〔一〕華中科技大學(xué)