文檔02-5對偶原理

對偶原理一、原理原理：字面上“原來的理由”，最基礎(chǔ)，最根本的理論。是自然界（或人類社會）中已經(jīng)存在的，不可改變的基本規(guī)律。原理反映的是各個有關(guān)概念之間相互依存制約關(guān)系，是規(guī)律性的必然關(guān)系。人們以大量實踐、現(xiàn)象為基礎(chǔ)，將這個規(guī)律性的東西抽象概括出來，形成文字，他就叫“原理”。它具有普遍性，是最基本的、可以作為其他規(guī)律的基礎(chǔ)，其正確性直接由實踐檢驗與確定。某一領(lǐng)域或?qū)W科中的某一“原理”，指這一領(lǐng)域或該學(xué)科中帶有普遍性的、最基本的、可以作為其他規(guī)律基礎(chǔ)的規(guī)律?！癨o"杠桿原理"杠桿原理、相對性原理、光速不變原理、等效原理”有些原理還具有是跨學(xué)科性質(zhì)，如對偶原理。在邏輯學(xué)上“原理”屬于“有條件關(guān)系判斷”。既所描述的有關(guān)物理概念之間的必然關(guān)系是在某種特定條件下的物理事實，則可稱之謂物理原理。如“帕斯卡原理”：“在密閉容器內(nèi)，液體向各個方向傳遞的壓強相等”。這里的“密閉容器”就是條件。又如“動能原理”：“無論作用在物體上的合力大小和方向是否變化，物體運動的路徑是直線還是曲線，合外力對物體所做的功都等于該物體動能的增量”。這里“無論……”也是條件。二、對偶“對”：雙，成雙的；配對、對偶、對仗?！芭肌保弘p，對，成雙成對伙伴；同伴；與人共處。“對偶”——近義合成“對偶或?qū)ΨQ”現(xiàn)象是大自然中最為廣泛存在的一種結(jié)構(gòu)規(guī)律，在人文社會科學(xué)中也常常出現(xiàn)，如文學(xué)中的對聯(lián)等。清朝康熙年間一進士——車萬育（1632-1750）寫有一本書，叫《聲律啟蒙》。書中開篇：“云對雨，雪對風(fēng)。晚照對晴空。來鴻對去燕，宿鳥對鳴蟲。三尺劍，六鈞弓。嶺北對江東。人間清署殿，天上廣寒宮。兩岸曉煙楊柳綠，一圓春雨杏花紅。兩鬢風(fēng)霜，途次（“中”的意思，和后面的“邊”相對）早行之客；一蓑煙雨，溪邊晚釣之翁。”不僅讀起來聲調(diào)和諧，節(jié)奏響亮；而且天地間常見的自然景物盡來眼底?！皩ε肌痹诓煌念I(lǐng)域有著不同的詮釋。在文學(xué)中：“對偶”概念婦孺皆知：如駱賓王的《詠鵝》“鵝、鵝、鵝，曲項向天歌。白毛浮綠水，紅掌撥清波?！蓖醪摹奥湎寂c孤鶩齊飛，秋水共長天一色?！薄跋鹿P千言，離題萬里?！薄且环N修辭方式：兩個字數(shù)相等、結(jié)構(gòu)相似的語句表現(xiàn)相關(guān)或相反的意思，或用兩個對稱語句加強語言效果。作品中采用了他，使之便于吟誦，易于記憶；表意凝煉，有音樂美。對偶在中國詩中有時也稱為對仗?！皩Α弊衷诖俗鰟釉~，意謂著將兩兩一對的東西放在一起?！罢獭弊謩t來自古代儀式，往往由兩人一組來舉行，有“儀仗”的“仗”意。你能看出以下各組對偶的特點嗎？“峰回路轉(zhuǎn)”、“曉風(fēng)殘月”、“羽扇綸巾”?！案」廛S金，靜影沉璧?！?、“岡陵起伏，草木行列?！薄膀U驥一躍，不能十步；駑馬十駕，功在不舍?！薄坝H不負楚，疏不負漢，愛國忠君真氣節(jié)；騷可為經(jīng)，策可為史，經(jīng)天行地大文章?！薄吧虾Ｗ詠硭畞碜院Ｉ?；前門落葉松葉落門前?！薄靶聵歉邩蚨?，樓高橋新。”“連云港海港云連；飛云洞石洞云飛?！?、在科學(xué)上：“對偶思想”則源于數(shù)學(xué)：1825年，JosephGergonne研究射影幾何①時發(fā)現(xiàn)：對任何平面射影幾何中的定理，若將其中的“點”、“線”觀念對易（即把點改成直線，把直線改成點，把點的共線關(guān)系改成直線的共點關(guān)系），則陳述依然成立。例如：有命題：“屬于兩條不同直線、，有一個且只有一個點成立?！比绻麑⒋嗣}中的點與直線互換：則命題：“屬于兩個不同點、，有一條且只有一條直線。”也成立。見圖2-1圖2-1因為此處射影幾何的公理對“點”、“線”二者是對稱（互為對偶）的。又如：兩個圖形G和Gˊ，如果Gˊ可以通過從G中的元素或運算替換為G的對偶元素（此處“點和面”互為對偶元素）或經(jīng)過對偶運算而達到，則Gˊ是通過對偶運算由G得到的圖形兩者當(dāng)然互為對偶。比如由一個立方體到一個正八面體。（見圖2-2、2-3）圖2-2立方體和正八面體圖2-3立方體和正八面體互為對偶圖2-4是一個平面網(wǎng)絡(luò)圖（藍色線）和它的對偶圖（紅色線）圖2-4Aplanargraph,G,anditsdualgraph,G′電路結(jié)構(gòu)電阻串聯(lián)電導(dǎo)并聯(lián)網(wǎng)孔獨立節(jié)點外網(wǎng)孔參考節(jié)點（接地）三角形連接星形連接電路狀態(tài)開路短路電路元件及參數(shù)電阻電導(dǎo)電壓源電流源電感電容電路變量電流電壓電荷磁鏈網(wǎng)孔電流獨立節(jié)點點位元件伏安關(guān)系電阻電導(dǎo)電容電感電路定律電路分析法支路電流法支路電壓法網(wǎng)孔分析法節(jié)點分析法回路分析法割集分析法結(jié)論電路開路電路短路電壓源不能短路電流源不能開路戴維南定理（等效電壓源）諾頓定理（等效電流源）短路開路對偶關(guān)系的意義？舉例說明：有一電路（兩電阻串聯(lián)至一電壓源）如圖所示：圖2-6電路圖2-7相關(guān)電流電壓關(guān)系式通過分析可以得出該電路的電流電壓的一些關(guān)系式，如上右圖所示。假如知道另一電路和上電路有對偶關(guān)系，那么可以將上面右邊各表達式中的各個物理量用它們的對偶量替換，直接得到電路的電流電壓關(guān)系式，而不需又進行復(fù)雜的分析過程。分析一個電路而獲得連個電路的結(jié)果，效率大大增加。圖2-6所示電路的對偶電路（兩電阻并聯(lián)接至一電流源）就是兩電阻并聯(lián)接至一電流源的電路，如圖2-8所示。圖2-8電路圖2-9相關(guān)電流電壓關(guān)系式如何求得對偶電路？對偶關(guān)系的確定和變換十分復(fù)雜，這里只介紹簡單的情況，下面舉例說明：兩電路對偶變換如圖2-10、圖2-11所示：1）確定對偶元素：串聯(lián)—并聯(lián)、電阻—電導(dǎo)………2）每一網(wǎng)孔對應(yīng)一節(jié)點，外網(wǎng)孔對應(yīng)參考節(jié)點。參考方向：按慣例網(wǎng)孔電流取順時針方向，節(jié)點電壓方向由獨立節(jié)點指向參考節(jié)點。圖2-10圖2-113）各對偶元素進行替換。數(shù)值相同，量綱不同。得到表4-2中各表達式。4）電源方向（在按慣例選取網(wǎng)孔電流和節(jié)點電壓方向的前提下）A、原網(wǎng)孔中所包含的電壓源如果沿順時針方向電壓升高，則在對偶電路中電流源的電流方向應(yīng)指向該網(wǎng)孔對應(yīng)的獨立節(jié)點。圖2-12圖2-13B、原回路中所包含的電流源的電流方向如果和網(wǎng)孔電流方向一致，則在對偶電路中電壓源的正極性落在該網(wǎng)孔對應(yīng)的獨立節(jié)點上。圖2-14圖2-15下面把上述過程——由一個已知電路的結(jié)果直接通過對偶原理獲得它的對偶電路的分析結(jié)果列在表4-2中。表4-2兩電阻串聯(lián)至一電壓源兩電阻并聯(lián)至一電流源等效電阻等效電導(dǎo)由上面列出的這兩個電路的方程和分析結(jié)果看出：所有對應(yīng)的結(jié)果，形式上相似，只要把左欄各式中的各個量，按表4-1換成與之對偶的量，就得到右欄的各式，反之亦然。這些相對應(yīng)的式子或結(jié)果也可以稱是對偶的。這里的對偶就比表4-1中所含的對偶有更廣泛的意義。在對偶電路中，某些元素之間的關(guān)系(或方程)可以通過對偶元素的互換而相互轉(zhuǎn)換。對偶原理是電路分析中出現(xiàn)的大量相似性的歸納和總結(jié)。根據(jù)對偶原理，如果在某電路中導(dǎo)出某一關(guān)系式和結(jié)論，就等于解決了和它對偶的另一個電路中的關(guān)系式和結(jié)論。對偶原理的應(yīng)用價值在于，若以知原電路的電路方程及其解答，則根據(jù)對偶關(guān)系即可直接寫出其對偶電路的電路方程及其解答。它不但為電路的分析與計算提供了一種新方法。使電路的計算方法及對公式的記憶工作減少了一半，而且為研究新的電路開辟了新的蹊徑。關(guān)于對偶原理的注意點

1．對偶命題是相互的。2．對偶與等效是兩個不同的概念，不可混淆。另外也不是相似和對稱。

3．欲求一個簡單電路的對偶電路，通過直接觀察即可畫出，例如圖2-10、圖2-11的兩個電路即是。但要求一個復(fù)雜電路的對偶電路，就有些困難了，其具體求法不介紹了。對偶原理的內(nèi)容是十分豐富的。現(xiàn)就已學(xué)過的內(nèi)容匯總于表4-1中，其余內(nèi)容將隨著課程的進行陸續(xù)擴充。例2：有兩個方程組，網(wǎng)孔電流方程方程組1和結(jié)點電位方程方程組2，對應(yīng)于兩個電路電路。比較這兩組方程，可看出它們的形式相同，且對應(yīng)變量為對偶元素（對照表4-1可看出），所以這兩組方程是互為對偶的兩個方程組，它們對應(yīng)的電路也一定是對偶電路。方程組1方成組2對方程租1；它有兩個方程組成，所以對應(yīng)的電路有兩內(nèi)個網(wǎng)孔和一個外網(wǎng)孔，每個內(nèi)網(wǎng)孔有一個網(wǎng)孔網(wǎng)孔電流；從方程中可知，內(nèi)網(wǎng)孔電流流過兩個電阻和，還流過一個電壓源，方向是電壓升。第二個內(nèi)網(wǎng)孔電流流過兩個電阻和，流過一個電壓源，方向是電壓降。兩個網(wǎng)孔電流都流過電阻，說明是兩個網(wǎng)孔的公共支路上的電阻。采用同一繞向的網(wǎng)孔電流，可畫出其電路圖（圖2-16）。圖2-16圖2-17方程組2對應(yīng)的電路圖可通過方程組畫出，也可以由圖2-16根據(jù)對偶性質(zhì)來畫，結(jié)果如圖2-17。對圖2-16；有三個網(wǎng)孔和一個外網(wǎng)孔，每個內(nèi)網(wǎng)孔有一個網(wǎng)孔網(wǎng)孔電流；對圖2-17有三個節(jié)點和一個參考節(jié)點，每個獨立節(jié)點有一個節(jié)點電位，它們一一對應(yīng)，互為對偶關(guān)系。如果已找出網(wǎng)孔電流滿足KVL，具有的性質(zhì)。那么對圖2-17，只需將各自的對偶元素替換圖2-16中的個元素，則電路圖2-17中也必有相應(yīng)的性質(zhì)：節(jié)點電位（對應(yīng)圖2-16中的網(wǎng)孔電流）滿足KCL（對應(yīng)圖2-16中的KVL），具有。例3：系與已有的關(guān)系又相互對偶。以\o"已知線性"已知線性時不變電感元件的電壓－電流關(guān)系為例，若根據(jù)對偶原理，利用表中的對偶元素來置換上式的有關(guān)元素,即用v(t)換i(t)，v(0)換i(0)，C換L和i(τ)換v(τ)，便得出新的關(guān)系：此式即為與線性時不變電感元件相對偶的線性時不變電容元件的電壓-電流關(guān)系，表明新關(guān)系確實成立。

對偶原理的實用性和重要性顯而易見。應(yīng)用對偶原理可直接：從電感元件的電壓－電流關(guān)系推出電容元件的電壓-電流關(guān)系;從\o"戴維南定理"戴維南定理導(dǎo)出\o"諾頓定理"諾頓定理;從KCL得出KVL(見\o"基爾霍夫定律"基爾霍夫定律)；從R-L-C串聯(lián)的方程求出R-L-C并聯(lián)的方程；從有關(guān)串聯(lián)諧振（共振）的結(jié)論寫出有關(guān)并聯(lián)諧振的結(jié)論等。總之，應(yīng)用它不僅使我們能夠大大精簡研究的內(nèi)容，而且還會使我們有可能從已有的方法、理論和電路導(dǎo)出新的方法、理論和電路。

對偶現(xiàn)象并不只存在于電路中，在別的科學(xué)領(lǐng)域也有對偶原理。附1：射影幾何①：歐幾里德幾何，它的所有圖形通過剛體變換（如平移、旋轉(zhuǎn)）以后，線段的長短、角度的大小、圖形和形狀和面積等都不會改變。研究平面或空間幾何圖形在剛體變換下有哪些不變性質(zhì)的幾何學(xué)，就是歐氏幾何學(xué)。如果從中心O發(fā)出一個光線的投射錐，矩形ABCD在平面P上的截景是A′B′C′D′。截景A′B′C′D′未必還是一個矩形。從直觀上很容易看到與ABCD在大小和形狀上都發(fā)生了變化。那么圖形A′B′C′D′與ABCD通過這種射影變換后，還有什么共同的幾何性質(zhì)呢？研究圖形在射影變換下有哪些不變的性質(zhì)的幾何學(xué)就叫做射影幾何學(xué)。附2：對偶原理（principleofduality）歷史射影幾何學(xué)的基本理論之一。對偶是關(guān)聯(lián)關(guān)系的一種，在射影幾何中，直線與點在邏輯上處于平等地位，因此被稱為平面上的對偶元素。將平面上一個以點和直線構(gòu)成的圖形中的點和直線對換，得到另一個圖形，叫做所給圖形的對偶。在射影幾何中，如果一個命題成立，則它的對偶命題也成立，稱之為對偶原理。最早論及對偶原理的是法國數(shù)學(xué)家龐斯列，1822年他在《論圖形的射影性質(zhì)》中提出“互反極法則”，給出從極點到極線和從極線到極點的變換的一般表述。兩年后他又完成《論配極的一般理論》（1829年發(fā)表），進一步應(yīng)用了這一方法，促進了對偶原理的建立。同時期的另一位數(shù)學(xué)家熱爾崗于1825－1826年提出“對偶”概念，將對偶原理擴充到除涉及度量性質(zhì)外普遍適用的原理。他研究了射影幾何的先驅(qū)德扎格提出的定理：如果兩個三