大數(shù)定律及中心極限定理

大數(shù)定律及中心極限定理第1頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1在數(shù)學(xué)中大家都注意到這樣的現(xiàn)象：有時(shí)候一個(gè)有限的和很難求,但一經(jīng)取極限由有限過(guò)渡到無(wú)限,則問(wèn)題反而好辦.例如,若對(duì)某一x,要計(jì)算和

而一經(jīng)取極限，則有簡(jiǎn)單的結(jié)果

第2頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2事實(shí)證明這是可能的，而且在一般情況下和的極限分布就是正態(tài)分布，由此可見(jiàn)正態(tài)分布的重要性。對(duì)和的分布收斂于正態(tài)分布的這一類(lèi)極限定理的研究，在長(zhǎng)達(dá)兩個(gè)世紀(jì)的時(shí)期內(nèi)成了概率論研究的中心課題，因此得到了“中心極限定理”的名稱(chēng)。本章將列述這類(lèi)定理中最簡(jiǎn)單，然而也是最重要的情況。

第3頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3在概率論中，另一類(lèi)重要的極限定理是所謂“大數(shù)定律”。

在第一章中我們已經(jīng)討論了“頻率的穩(wěn)定性”。

大量的重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的頻率接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)實(shí)際上就是事件發(fā)生的概率?！按髷?shù)”的意思，就是指試驗(yàn)數(shù)目是大量的。

第4頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4§1大數(shù)定律隨機(jī)變量的方差是刻畫(huà)它圍繞其期望值的離散程度的，因此我們希望用方差來(lái)估計(jì)隨機(jī)變量與其期望值之間的偏差大于某一給定正數(shù)的概率的上界。

定理成立.一、切比雪夫不等式第5頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一5證設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x),則

定理成立.第6頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一6上式可改寫(xiě)為切比雪夫不等式具體地估算了隨機(jī)變量X取值時(shí)，以數(shù)學(xué)期望E(X)為中心的分散程度。不難看出，方差D(X)越小，則隨機(jī)變量X的取值越集中在數(shù)學(xué)期望E(X)的附近，由此可以進(jìn)一步體會(huì)到方差的概率意義，它刻劃了隨機(jī)變量的分散程度。如取第7頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一7例1已知正常男性成人血液中，每一毫升白細(xì)胞數(shù)平均是7300，均方差是700.利用切比雪夫不等式估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在5200~9400之間的概率.設(shè)每毫升白細(xì)胞數(shù)為X，依題意，E(X)=7300,D(X)=7002

，解由切比雪夫不等式，第8頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一8例2根據(jù)過(guò)去統(tǒng)計(jì)資料，某產(chǎn)品的次品率為p=0.05，試用切比雪夫不等式估計(jì)1000件產(chǎn)品中，次品數(shù)在40~60之間的概率.解設(shè)X表示1000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則由切比雪夫不等式，第9頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一9該數(shù)值是非常保守的估計(jì)，事實(shí)上，由中心極限定理可知，概率約為

注：第10頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一10記作第11頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一11幾個(gè)常見(jiàn)的大數(shù)定律定理1（切比雪夫大數(shù)定律）

設(shè)X1,X2,…是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，它們都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即D(Xi)≤C，i=1,2,…，則對(duì)任意的有或依概率收斂第12頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一12證兩邊夾,即得結(jié)論.第13頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一13解釋?zhuān)喝≈到咏谄鋽?shù)學(xué)期望的概率接近于1.當(dāng)n充分大時(shí)，差不多不再是隨機(jī)的了,第14頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一14定理2（貝努里大數(shù)定律）或

下面給出的貝努里大數(shù)定律,是定理1的一種特例.

設(shè)nA是n重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，則對(duì)任給的

,有第15頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一15引入i=1,2,…,n則

而

由切比雪夫大數(shù)定律，第16頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一16是事件A發(fā)生的頻率，

伯努里大數(shù)定律表明，當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率nA/n與事件A的概率p有較大偏差的概率很小.這就是頻率穩(wěn)定性的理論解釋。

歷史上，貝努里第一個(gè)研究了這種類(lèi)型的極限定理，在1713年發(fā)表的論文中(這是概率論的第一篇論文!),他建立了以上定理。所以有人認(rèn)為，概率論的真正歷史應(yīng)從出現(xiàn)貝努里大數(shù)定律的時(shí)刻算起。

第17頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一17

下面給出的獨(dú)立同分布下的大數(shù)定律，不要求隨機(jī)變量的方差存在.

設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2,…獨(dú)立同分布，具有有限的數(shù)學(xué)期望E(Xi)=μ,i=1,2,…，定理3（辛欽大數(shù)定律）辛欽

辛欽大數(shù)定律為尋找隨機(jī)變量的期望值提供了一條實(shí)際可行的途徑.第18頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一18

例如要估計(jì)某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量，要收割某些有代表性的地塊，例如n塊.計(jì)算其平均畝產(chǎn)量，則當(dāng)n

較大時(shí)，可用它作為整個(gè)地區(qū)平均畝產(chǎn)量的一個(gè)估計(jì).第19頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一19例3解切比雪夫大數(shù)定理?xiàng)l件有兩條：

1、隨機(jī)變量序列要相互獨(dú)立；2、各個(gè)隨機(jī)變量的方差均存在且有界.

四個(gè)選項(xiàng)中，獨(dú)立性條件均滿(mǎn)足，但惟獨(dú)(D)中，

故選(D).第20頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一20將一枚均勻?qū)ΨQ(chēng)的骰子重復(fù)擲n次，則當(dāng)n時(shí)，求n次擲出點(diǎn)數(shù)的算術(shù)平均值依概率收斂的極限．

例4解其共同的數(shù)學(xué)期望為第21頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一21練習(xí)：P104習(xí)題5-11.第22頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一22§2中心極限定理中心極限定理從理論上證明，對(duì)于大量的獨(dú)立隨機(jī)變量來(lái)說(shuō)，只要每個(gè)隨機(jī)變量在總和中所占比重很小，那么不論其中各個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)是什么形狀，也不論它們是已知還是未知，而它們的和的分布函數(shù)必然和正態(tài)分布函數(shù)很近似。這就是為什么實(shí)際中遇到的隨機(jī)變量很多都服從正態(tài)分布的原因，也正因如此，正態(tài)分布在概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)中占有極其重要的地位。

第23頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一23下面介紹幾個(gè)常用的中心極限定理。

在概率論中，習(xí)慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類(lèi)定理都叫做中心極限定理.第24頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一24

由于無(wú)窮個(gè)隨機(jī)變量之和可能趨于∞，故我們不直接研究n個(gè)隨機(jī)變量之和，本身而考慮它的標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量的分布函數(shù)的極限.第25頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一25列維一林德伯格中心極限定理第26頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一26（證略）

第27頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一27此定理說(shuō)明,當(dāng)n充分大時(shí),有

或第28頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一28將n個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)相加時(shí)，首先對(duì)小數(shù)部分按“四舍五入”舍去小數(shù)位后化為整數(shù)．試?yán)弥行臉O限定理估計(jì)，

例1解(1)當(dāng)n=1500時(shí),舍入誤差之和的絕對(duì)值大于15的概率；(2)n滿(mǎn)足何條件時(shí)，能以不小于0.90的概率使舍入誤差之和的絕對(duì)值小于10．根據(jù)列維-林德伯格中心極限定理，當(dāng)n充分大時(shí)第29頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一29(1)第30頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一30(2)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)n應(yīng)滿(mǎn)足條件：即當(dāng)

時(shí)，才能使誤差之和的絕對(duì)值小于10的概率不小于0.90．第31頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一31

一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機(jī)的,假設(shè)每箱的平均重50千克,標(biāo)準(zhǔn)差5千克.若用最大載重量為5噸的汽車(chē)承運(yùn),試?yán)弥行臉O限定理說(shuō)明每輛車(chē)最多可以裝多少箱,才能保證不超載的概率大于0.977.例2解由列維-林德伯格中心極限定理,有

總重量第32頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一32所以n必須滿(mǎn)足即最多可以裝98箱.

第33頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一33下面給出上述定理的一個(gè)重要特例。

棣莫弗-拉普拉斯(DeMoivre-Laplace)中心極限定理證由列維一林德伯格定理可知，

第34頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一34由列維一林德伯格定理可知，

第35頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一35由列維一林德伯格定理可知，

第36頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一36或即有近似計(jì)算公式

第37頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一37例3設(shè)在某保險(xiǎn)公司有1萬(wàn)個(gè)人參加投保，每人每年付120元保險(xiǎn)費(fèi).在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為0.006，死亡時(shí)其家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得1萬(wàn)元，問(wèn):(1)該保險(xiǎn)公司虧本的概率為多少?(2)該保險(xiǎn)公司一年的利潤(rùn)不少于40,60,80萬(wàn)元的概率各是多少?

解設(shè)一年內(nèi)死亡的人數(shù)為X,則

由D-L中心極限定理,

即該保險(xiǎn)公司虧本的概率幾乎為0.

第38頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一38第39頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一39

(供電問(wèn)題)某車(chē)間有200臺(tái)車(chē)床,在生產(chǎn)期間由于需要檢修、調(diào)換刀具、變換位置及調(diào)換零件等常需停車(chē).設(shè)開(kāi)工率為0.6,并設(shè)每臺(tái)車(chē)床的工作是獨(dú)立的，且在開(kāi)工時(shí)需電力1千瓦.問(wèn)應(yīng)供應(yīng)多少瓦電力就能以99.9%的概率保證該車(chē)間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn)?例4解某一時(shí)刻開(kāi)動(dòng)的車(chē)床數(shù)要求最小的k,使由D-L中心極限定理,第40頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一40查表得所以若供電141.5千瓦，那么由于供電不足而影響生產(chǎn)的可能性不到0.001，相當(dāng)于8小時(shí)內(nèi)約有半分鐘受影響，這一般是允許的。

第41頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一41例5某產(chǎn)品次品率p=

0.05,試估計(jì)在1000件產(chǎn)品中次品數(shù)在40~60之間的概率.解次品數(shù)由D-L中心極限定理,第42頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一42次品數(shù)注由切比雪夫不等式,顯然這是過(guò)于保守的估計(jì).

第43頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一43解例6已知生男孩的概率為0.515，試用中心極限定理求在10000個(gè)新生嬰兒中女孩不少于男孩的概率。

設(shè)X為10000個(gè)新生嬰兒中男孩的個(gè)數(shù),

由D-L中心極限定理,

所以第44頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一44練習(xí)：P107習(xí)題5-21.第45頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一45補(bǔ)充題：3.某射手打靶,得10分、9分、8分、7分、6分的概率分別為0.5,0.3,0.1,0.05,0.05.現(xiàn)獨(dú)立射擊100次,求總分在900分與930分之間的概率.第46頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一46解由中心極限定理知,第47頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一47解由中心極限定理知,第48頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一48解由中心極限定理，

3.某射手打靶,得10分、9分、8分、7分、6分的概率分別為0.5,0.3,0.1,0.05,0.05.現(xiàn)獨(dú)立射擊100次,求總分在900分與930分之間的概率.第49頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一49習(xí)題課第50頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一501、將一枚硬幣拋擲10000次，出現(xiàn)正面5800次，是否有理由認(rèn)為這枚硬幣不均勻?解:設(shè)X為10000次試驗(yàn)中出現(xiàn)正面的次數(shù)，若硬幣是均勻的,則X~B(10000,0.5),由D-L定理,此概率接近于0，故認(rèn)為這枚硬幣不均勻是合理的.第51頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一512、假設(shè)生產(chǎn)線組裝每件成品的時(shí)間服從指數(shù)分布,統(tǒng)計(jì)資料表明每件成品的組裝時(shí)間平均為10分鐘.設(shè)各件產(chǎn)品的組裝時(shí)間相互獨(dú)立.

(1)試求組裝100件成品需要15到20小時(shí)的概率；

(2)以95%的概率在16小時(shí)內(nèi)最多可以組裝多少件成品?

解設(shè)第i件組裝的時(shí)間為Xi分鐘,i=1,…,100.

利用獨(dú)立同分布中心極限定理.

(1)第52頁(yè)，共59頁(yè)，2023年，2月20日，星期一52(2)