層次分析法原理

層次分析法原理第1頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一2背景介紹AHP(AnalyticHierarchyProcess)層次分析法是美國運(yùn)籌學(xué)家Saaty教授于二十世紀(jì)80年代提出的一種實(shí)用的多方案或多目標(biāo)的決策方法。其主要特征是，它合理地將定性與定量的決策結(jié)合起來，按照思維、心理的規(guī)律把決策過程層次化、數(shù)量化。該方法自1982年被介紹到我國以來，以其定性與定量相結(jié)合地處理各種決策因素的特點(diǎn)，以及其系統(tǒng)靈活簡潔的優(yōu)點(diǎn)，迅速地在我國社會經(jīng)濟(jì)各個(gè)領(lǐng)域內(nèi)，如能源系統(tǒng)分析、城市規(guī)劃、經(jīng)濟(jì)管理、科研評價(jià)等，得到了廣泛的重視和應(yīng)用。第2頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一層次分析法建模一問題的提出日常生活中有許多決策問題。決策是指在面臨多種方案時(shí)需要依據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)選擇某一種方案。例1購物買鋼筆，一般要依據(jù)質(zhì)量、顏色、實(shí)用性、價(jià)格、外形等方面的因素選擇某一支鋼筆。買飯，則要依據(jù)色、香、味、價(jià)格等方面的因素選擇某種飯菜。例2旅游假期旅游，是去風(fēng)光秀麗的蘇州，還是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般會依據(jù)景色、費(fèi)用、食宿條件、旅途等因素選擇去哪個(gè)地方。第3頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一例3擇業(yè)

面臨畢業(yè)，可能有高校、科研單位、企業(yè)等單位可以去選擇，一般依據(jù)工作環(huán)境、工資待遇、發(fā)展前途、住房條件等因素?fù)駱I(yè)。例4科研課題的選擇由于經(jīng)費(fèi)等因素，有時(shí)不能同時(shí)開展幾個(gè)課題，一般依據(jù)課題的可行性、應(yīng)用價(jià)值、理論價(jià)值、被培養(yǎng)人才等因素進(jìn)行選題。第4頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一

面臨各種各樣的方案，要進(jìn)行比較、判斷、評價(jià)、最后作出決策。這個(gè)過程主觀因素占有相當(dāng)?shù)谋戎亟o用數(shù)學(xué)方法解決問題帶來不便。T.L.saaty等人20世紀(jì)在七十年代提出了一種能有效處理這類問題的實(shí)用方法。層次分析法（AnalyticHierarchyProcess,AHP)這是一種定性和定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化的、層次化的分析方法。過去研究自然和社會現(xiàn)象主要有機(jī)理分析法和統(tǒng)計(jì)分析法兩種方法，前者用經(jīng)典的數(shù)學(xué)工具分析現(xiàn)象的因果關(guān)系，后者以隨機(jī)數(shù)學(xué)為工具，通過大量的觀察數(shù)據(jù)尋求統(tǒng)計(jì)規(guī)律。近年發(fā)展的系統(tǒng)分析是又一種方法，而層次分析法是系統(tǒng)分析的數(shù)學(xué)工具之一。第5頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一層次分析法的基本思路：與人們對某一復(fù)雜決策問題的思維、判斷過程大體一致。選擇鋼筆質(zhì)量、顏色、價(jià)格、外形、實(shí)用鋼筆1、鋼筆2、鋼筆3、鋼筆4質(zhì)量、顏色、價(jià)格、外形、實(shí)用進(jìn)行排序?qū)⒏鱾€(gè)鋼筆的質(zhì)量、顏色、價(jià)格、外形、實(shí)用進(jìn)行排序經(jīng)綜合分析決定買哪支鋼筆第6頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一7層次分析法的基本思路：先分解后綜合整理和綜合人們的主觀判斷，使定性分析與定量分析有機(jī)結(jié)合，實(shí)現(xiàn)定量化決策。首先將所要分析的問題層次化，根據(jù)問題的性質(zhì)和要達(dá)到的總目標(biāo)，將問題分解成不同的組成因素，按照因素間的相互關(guān)系及隸屬關(guān)系，將因素按不同層次聚集組合，形成一個(gè)多層分析結(jié)構(gòu)模型，最終歸結(jié)為最低層（方案、措施、指標(biāo)等）相對于最高層（總目標(biāo)）相對重要程度的權(quán)值或相對優(yōu)劣次序的問題。第7頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一8層次分析法的基本思路：先分解后綜合整理和綜合人們的主觀判斷，使定性分析與定量分析有機(jī)結(jié)合，實(shí)現(xiàn)定量化決策。首先將所要分析的問題層次化，根據(jù)問題的性質(zhì)和要達(dá)到的總目標(biāo)，將問題分解成不同的組成因素，按照因素間的相互關(guān)系及隸屬關(guān)系，將因素按不同層次聚集組合，形成一個(gè)多層分析結(jié)構(gòu)模型，最終歸結(jié)為最低層（方案、措施、指標(biāo)等）相對于最高層（總目標(biāo)）相對重要程度的權(quán)值或相對優(yōu)劣次序的問題。第8頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一9用AHP分析問題大體要經(jīng)過以下五個(gè)步驟：（1）建立層次結(jié)構(gòu)模型；（2）構(gòu)造判斷矩陣；（3）層次單排序；（4）一致性檢驗(yàn)；（5）層次總排序。其中后三個(gè)步驟在整個(gè)過程中需要逐層地進(jìn)行。第9頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一10常規(guī)思維過程確定這些準(zhǔn)則在你心目中各占的比重多大；將這兩個(gè)層次的比較判斷進(jìn)行綜合，作出選擇。就每一準(zhǔn)則將三個(gè)地點(diǎn)進(jìn)行對比；實(shí)例：人們在日常生活中經(jīng)常會碰到多目標(biāo)決策問題，例如假期某人想要出去旅游，現(xiàn)有三個(gè)目的地（方案）：風(fēng)光綺麗的杭州（P1）、迷人的北戴河（P2）和山水甲天下的桂林（P3）。假如選擇的標(biāo)準(zhǔn)和依據(jù)（行動方案準(zhǔn)則）有5個(gè)：景色，費(fèi)用，飲食，居住和旅途。則常規(guī)思維的方式如下：第10頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一11目標(biāo)層Z選擇旅游目的地景色費(fèi)用居住飲食旅途準(zhǔn)則層C方案層P選擇旅游地的層次結(jié)構(gòu)擬解決的問題（總目標(biāo)）為實(shí)現(xiàn)總目標(biāo)而采取的措施和方案用于解決問題的備選方案（1）建立層次結(jié)構(gòu)模型第11頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一12

通過相互比較確定各準(zhǔn)則對于目標(biāo)的權(quán)重，即構(gòu)造判斷矩陣。在層次分析法中，為使矩陣中的各要素的重要性能夠進(jìn)行定量顯示，引進(jìn)了矩陣判斷標(biāo)度（1～9標(biāo)度法）:（2）構(gòu)造判斷矩陣標(biāo)度含義1表示兩個(gè)元素相比，具有同樣的重要性3表示兩個(gè)元素相比，前者比后者稍重要5表示兩個(gè)元素相比，前者比后者明顯重要7表示兩個(gè)元素相比，前者比后者極其重要9表示兩個(gè)元素相比，前者比后者強(qiáng)烈重要2，4，6，8表示上述相鄰判斷的中間值倒數(shù)：若元素i和元素j的重要性之比為aij,那么元素j與元素i的重要性之比為aji=1/aij對于要比較的因子而言，你認(rèn)為一樣重要就是1:1，強(qiáng)烈重要就是9:1，也可以取中間數(shù)值6:1等，兩兩比較，把數(shù)值填入，并排列成判斷矩陣（判斷矩陣是對角線積是1的正反矩陣即可）。第12頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一13選擇旅游目的地景色費(fèi)用居住飲食旅途設(shè)準(zhǔn)則層包含5個(gè)準(zhǔn)則，景色：C1，費(fèi)用：C2，居?。篊3，飲食：C4，旅途：C5。相對于目標(biāo)層：選擇旅游地，進(jìn)行兩兩比較打分。第13頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一14相對于景色相對于費(fèi)用相對于居住相對于飲食相對于旅途構(gòu)造所有相對于不同準(zhǔn)則的方案層判斷矩陣第14頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一15所謂層次單排序是指，對于上一層某因素而言，本層次各因素的重要性的排序。具體計(jì)算是：對于判斷矩陣B，計(jì)算滿足的特征根與特征向量。（3）層次單排序式中為的最大特征根，為對應(yīng)于的正規(guī)化的特征向量，的分量即是相應(yīng)元素單排序的權(quán)值。第15頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一16基本概念什么是權(quán)重（權(quán)系數(shù)）？注意，X1，X2，…，Xn中有的不是基數(shù)變量，而有可能是序數(shù)變量如舒適程度或積極性之類。小石塊W1小石塊Wn小石塊W2…設(shè)想：把一塊單位重量的石頭砸成n塊小石塊

在決策問題中，通常要把變量Z表示成變量x1，x2，…，xn的線性組合：nnxwxwxwz+++=L2211其中.則叫各因素對于目標(biāo)Z的權(quán)重，

叫權(quán)向量.nwww,...,,211,01=>?=niiiwwTwnw2w1w),...,,(=第16頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一17利用判斷矩陣計(jì)算各因素C對目標(biāo)層Z的權(quán)重（權(quán)系數(shù)）b.對按行求和得：a.將A的每一列向量歸一化得：c.將

歸一化，即為近似特征根（權(quán)向量）d.計(jì)算，作為最大特征根的近似值。例：列向量歸一化按行求和歸一化úúú?ùêêê?é268.0972.0760.1úúú?ùêêê?é091.0077.01.0364.0308.03.0545.0615.06.0úúú?ùêêê?é=14/16/1412/1621A?==niiiwAwn1)(1l?==njijiww1~~?==niijijijaaw1/~w=úúú?ùêêê?é089.0324.0587.0úúú?ùêêê?é=268.0974.0769.1Aw009.3)089.0268.0324.0974.0587.0769.1(31=++=lTnniiiiwwwwwww),...,,(,~/~211==?=iw~ijw~得到排序結(jié)果：w=(0.588,0.322,0.090)T,max=3.009第17頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一18矩陣與向量的乘積計(jì)算：=Awúúú?ùêêê?é14/16/1412/1621úúú?ùêêê?é089.0324.0587.0=úúú?ùêêê?é268.0974.0769.1第18頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一19判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)（1）一致性指標(biāo)：判斷矩陣通常是不一致的，但是為了能用它的對應(yīng)于特征根的特征向量作為被比較因素的權(quán)向量，其不一致程度應(yīng)在容許的范圍內(nèi).如何確定這個(gè)范圍？CI=0時(shí)A一致；CI越大，A的不一致性程度越嚴(yán)重。（3）一致性比率（用于確定A的不一致性的容許范圍）n1234567891011RI000.580.9021.411.451.491.51（2）隨機(jī)一致性指標(biāo)RI：當(dāng)CR<0.1時(shí)，A的不一致性程度在容許范圍內(nèi)，此時(shí)可用A的特征向量作為權(quán)向量。RICICR=1--=nnCIl第19頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一20第一步：自上而下，先求判斷矩陣A的最大特征根與特征向量。對應(yīng)于的正規(guī)化的特征向量為：第20頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一21第二步：計(jì)算與準(zhǔn)則層各準(zhǔn)則相關(guān)的判斷矩陣最大特征跟及權(quán)向量：相對于景色經(jīng)計(jì)算得：對應(yīng)于的正規(guī)化的特征向量為：第21頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一22第三步，算出的最大特征值分別為：所對應(yīng)的特征向量分別為：第22頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一23（4）一致性檢驗(yàn)前述計(jì)算得到了最大特征跟：查表知平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI，從而可檢驗(yàn)矩陣一致性：同理，對于第二層次的景色、費(fèi)用、居住、飲食、旅途五個(gè)判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)均通過。第23頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一24選擇旅游地景色費(fèi)用居住飲食旅途利用層次結(jié)構(gòu)圖繪出從目標(biāo)層到方案層的計(jì)算結(jié)果：第24頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一25以為列向量構(gòu)成矩陣：第25頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一26決策結(jié)果是首選旅游地為，其次為，再次為。一般地，若層次結(jié)構(gòu)由k個(gè)層次（目標(biāo)層算第一層），則方案的優(yōu)先程度的排序向量為:（5）層次總排序各個(gè)方案優(yōu)先程度的排序向量為：第26頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一27范例一某單位擬從3名干部中選拔一名領(lǐng)導(dǎo)，選拔的標(biāo)準(zhǔn)有政策水平、工作作風(fēng)、業(yè)務(wù)知識、口才、寫作能力和健康狀況。借助AHP方法對3人進(jìn)行綜合評估，并最終完成量化排序。⑴建立層次結(jié)構(gòu)模型目標(biāo)層選一領(lǐng)導(dǎo)干部健康狀況業(yè)務(wù)知識口才寫作能力工作作風(fēng)準(zhǔn)則層方案層政策水平第27頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一28健康情況業(yè)務(wù)知識寫作能力口才政策水平工作作風(fēng)健康情況業(yè)務(wù)知識寫作能力口才政策水平工作作風(fēng)A的最大特征值相應(yīng)的特征向量為：第28頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一29假設(shè)3名候選人關(guān)于6個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的判斷矩陣為：健康情況業(yè)務(wù)知識寫作能力口才第29頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一30政策水平工作作風(fēng)由此可求得各屬性的最大特征值和相應(yīng)的特征向量。特征值健康情況業(yè)務(wù)知識寫作能力口才政策水平工作作風(fēng)3.023.023.563.053.003.21各屬性的最大特征值第30頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一31從而有即在3名候選人中應(yīng)選擇A擔(dān)任領(lǐng)導(dǎo)職務(wù)。第31頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一32某工廠有一筆企業(yè)留成利潤，要由領(lǐng)導(dǎo)決定如何利用?？晒┻x擇的方案有：以獎(jiǎng)金名義發(fā)給職工；擴(kuò)建集體福利設(shè)施；購進(jìn)新設(shè)備等。為了進(jìn)一步促進(jìn)企業(yè)發(fā)展，比如調(diào)動職工的積極性、提高企業(yè)的技術(shù)水平、引進(jìn)新設(shè)備等。如何合理使用這筆利潤。范例二合理分配資金的決策第32頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一33層次結(jié)構(gòu)建模合理利用企業(yè)利潤Z調(diào)動職工的積極性C1提高企業(yè)的技術(shù)水平C2改善職工的生活條件C3發(fā)獎(jiǎng)金P1

擴(kuò)建福利事業(yè)P2

引進(jìn)新設(shè)備P3

第33頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一34計(jì)算求解Z-C矩陣ZC1C2C3WC1C2C311/51/351331/310.1050.6370.258CIRICR3.0380.0190.580.0033<0.1OK第34頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一35C-P矩陣C1P1P2

WP1P2131/310.750.25CI1RI200OKC2P2P3

WP2P311/5510.1670.833CI2RI200OK{0.75,0.25,0}{0,0.167,0.833}第35頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一36C3P1P2

WP1P2121/210.6670.333CI3RI200OK{0.667,0.333,0}第36頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一37Z-P矩陣ZPC1C2C30.1050.6370.258總排序權(quán)值P1P2P30.7500.6670.250.1670.33300.83300.2510.2180.531CIRICR0.105CI1+0.637CI2+0.258CI3=000<0.1OK{0.251,0.218,0.531}P3>P1>P2第37頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一38范例三第38頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一39第39頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一40第40頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一41第41頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一42第42頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一43第43頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一44第44頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一45第45頁，共50頁，2023年，2月20日，星期一46參考素材：部分層次結(jié)構(gòu)模型素材一：有三個(gè)后備干部候選人Y1，Y2，Y3，選拔