華中科技大學(xué)研究生矩陣論Matrix演示文稿_第1頁
華中科技大學(xué)研究生矩陣論Matrix演示文稿_第2頁
華中科技大學(xué)研究生矩陣論Matrix演示文稿_第3頁
華中科技大學(xué)研究生矩陣論Matrix演示文稿_第4頁
華中科技大學(xué)研究生矩陣論Matrix演示文稿_第5頁
已閱讀5頁,還剩20頁未讀, 繼續(xù)免費(fèi)閱讀

下載本文檔

版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進(jìn)行舉報或認(rèn)領(lǐng)

文檔簡介

華中科技大學(xué)研究生矩陣論Matrix演示文稿目前一頁\總數(shù)二十五頁\編于四點(diǎn)優(yōu)選華中科技大學(xué)研究生矩陣論Matrix目前二頁\總數(shù)二十五頁\編于四點(diǎn)概述:主要內(nèi)容:介紹Kronecker積和Hadamard積討論K-積,H-積的運(yùn)算性質(zhì)、之間的關(guān)系K-積與矩陣乘積的關(guān)系K-積,H-積的矩陣性質(zhì)K-積的矩陣等價與相似關(guān)系應(yīng)用:求解矩陣方程向量化算子重點(diǎn):K-積及其應(yīng)用目前三頁\總數(shù)二十五頁\編于四點(diǎn)6.1

Kronecker積和Hadamard積的定義定義6.1(P.136)

設(shè)矩陣A=[aij]mn和B=[bij]st,則A和B的Kronecker被定義為AB:

AB=[aijB]msnt設(shè)A=[aij]mn和B=[bij]mn為同階矩陣,則A和B的Hadamard被定義為AB:AB=[aijbij]mn目前四頁\總數(shù)二十五頁\編于四點(diǎn)

6.1

K-積和H-積的定義例題1設(shè),計算

AB,BA,I2B,AB,I2A目前五頁\總數(shù)二十五頁\編于四點(diǎn)例題1設(shè),計算

AB,BA,I2B,AB,I2A分塊對角矩陣對角矩陣

6.1

K-積和H-積的定義目前六頁\總數(shù)二十五頁\編于四點(diǎn)例題2

設(shè)分塊矩陣A=(Ast),則

AB=(Ast

B)特別地,若A=(A1,A2,…,An),則

AB=(A1B,A2B,…,AnB)例題3

快速Walsh(Hadamard)變換yN=HNxN,其中于是有

6.1

K-積和H-積的定義目前七頁\總數(shù)二十五頁\編于四點(diǎn)例題2

設(shè)分塊矩陣A=(Ast),則

AB=(Ast

B)特別地,若A=(A1,A2,…,An),則

AB=(A1B,A2B,…,AnB)例題3

快速Walsh(Hadamard)變換yN=HNxN,其中于是有

6.1

K-積和H-積的定義目前八頁\總數(shù)二十五頁\編于四點(diǎn)K-積,H-積的基本結(jié)果:A和B中有一個為零矩陣,則AB=0,AB=0II=I,II=I若A為對角矩陣,則AB為分塊對角矩陣,AB為對角矩陣。K-積的基本性質(zhì)定理6.1(P.138)設(shè)以下矩陣使計算有意義,則(kA)B=A(kB)A(B+C)=AB+AC(AB)C=A(BC)(AB)H=AHBHABBA目前九頁\總數(shù)二十五頁\編于四點(diǎn)H-積的基本性質(zhì):設(shè)A,B為同階矩陣,則AB=BA(kA)B=A(kB)A(B+C)=AB+AC(AB)C=A(BC)(AB)H=AHBHKronecker和Hadamard的關(guān)系:定理6.3(P.139)AB可由AB的元素構(gòu)成。目前十頁\總數(shù)二十五頁\編于四點(diǎn)K-積與矩陣乘法

定理6.2(P.138)設(shè)矩陣A,B,C,D使得下列運(yùn)算有意義,則有(AB)(CD)=(AC)(BD)

意義:建立Kronecker積和矩陣乘法的相互轉(zhuǎn)換。特別情形:設(shè)AFmm,BFnn,則

AB=(ImA)(BIn)=(AIm)(InB)=(ImB)(AIn)=(AIn)(ImB)

(AB)k=Ak

Bk(A1B1C1)(A2B2C2)

=(A1A2)(B1B2)(C1C2)(A1B1)(A2B2)(A3B3)

=(A1A2A3)(B1B2B3)目前十一頁\總數(shù)二十五頁\編于四點(diǎn)6.2Kronecker積和Hadamard積的性質(zhì)Kronecker積的矩陣性質(zhì)定理6.4

(P.140)設(shè)矩陣使下列運(yùn)算有意義,則當(dāng)A,B分別為可逆矩陣時,AB和BA均為可逆矩陣,而且有(AB)–1=A–1B–1當(dāng)方陣AFmm,BFnn時,方陣ABFmnmn的行列式為|AB|=|BA|=|A|n|B|m若A,B是Hermite矩陣,則AB和BA均是Hermite矩陣若A,B是酉矩陣,則AB和BA均是酉矩陣。目前十二頁\總數(shù)二十五頁\編于四點(diǎn)Kronecker與矩陣等價、相似關(guān)系定理6.5(P.141)設(shè)矩陣A,B,為等價矩陣,則(AI)等價于(BI)設(shè)方陣A相似與JA,方陣B相似于JB,則(AB)相似于(JAJB)K-積特征值和特征向量定理6.6(P.142)設(shè)AFmm的特征值、特征向量分別是i,xi,BFnn的特征值、特征向量分別是

j,yj,則(AB)的特征值是ij

。特征向量是(xiyj)。(AIn)+(ImB)的特征值是i

+

j

,特征向量是(xiyj)Kronecker和,記為AB

目前十三頁\總數(shù)二十五頁\編于四點(diǎn)Kronecker與矩陣等價、相似關(guān)系推論若A,B正定(半正定),則AB和AB均正定(半正定);

若A相似于JA,B相似于JB,則AB

相似于

JAJB,AB相似于JAJB。更一般的結(jié)果:定理6.7(P.142)

的特征值為目前十四頁\總數(shù)二十五頁\編于四點(diǎn)Kronecker積的矩陣函數(shù)性質(zhì)定理6.8(P.143)設(shè)是f(z)解析函數(shù),f(A)有意義,則

f(IA)=If(A)

f(AI)=f(A)I特例:

定理的證明思路:利用定理5.12,矩陣函數(shù)可由多項式表示。也可以直接用極限性質(zhì)證明。SN(IA)=ISN(A)SN(AI)=SN(A)I目前十五頁\總數(shù)二十五頁\編于四點(diǎn)例題1設(shè)AFmn,BFst,證明rank(AB)=rank(A)rank(B)例題2(P.144),設(shè),求(AB)的特征值和特征向量求[(AI)+(IB)]的特征值和特征向量

例題3:證明對任何方陣A,B,有目前十六頁\總數(shù)二十五頁\編于四點(diǎn)Hadamard積的性質(zhì)定理6.9(Schur積定理)設(shè)A、B為同階方陣。若A和B半正定(正定),則AB亦半正定(正定)。證明思路:利用定理3.6,有推出AB可表示為目前十七頁\總數(shù)二十五頁\編于四點(diǎn)6.3矩陣的向量化算子和K-積向量化算子Vec:Fm×n

Fmn定義(P.143)設(shè)

A=[aij]mn,則Vec(A)=(a11a21…

am1;

a12a22…

am2;…;

a1na2n…

amn)T

性質(zhì):(P.146)Vec是線性算子,并保持線性關(guān)系不變:

Vec(k1A+k2B)=k1Vec(A)+k2Vec(B)2.

定理6.10(P.146)Vec(ABC)=(CTA)VecB

3.

Vec(AX)=(I

A)VecX4.Vec(XC)=(CTI)VecX令B=X,C=I令B=X,A=I目前十八頁\總數(shù)二十五頁\編于四點(diǎn)用向量化算子求解矩陣方程思想:用Vec算子,結(jié)合Kronecker積將矩陣方程化為線性方程組求解。1、AFmm,BFnn,DFmn,AX+XB=D分析:

AX+XB=D(IA+BTI)VecX=VecDG=(IA+BTI),方程有惟一解的充要條件是G為可逆矩陣,即A和-B沒有共同的特征值。例題1(P.147)目前十九頁\總數(shù)二十五頁\編于四點(diǎn)用向量化算子求解矩陣方程2、A,XFnn,AX–XA=kX分析:

AX–XA=kX

(I

A–ATI)VecX=kVecXH=(IA–ATI),方程(kI–

H)y=0有非零解的充要條件是k為H的特征值,k=ij。例題2求解矩陣方程AX–XA=–2X

目前二十頁\總數(shù)二十五頁\編于四點(diǎn)用向量化算子求解矩陣方程3A,B,D,XFnn,AXB=D分析:AXB=D(BTA)VecX=VecDL

=

BT

A,方程有惟一解的充要條件是L為可逆矩陣.例題3求解方程A1XB1+A2XB2=D目前二十一頁\總數(shù)二十五頁\編于四點(diǎn)例題4

設(shè)ACmm,BCnn,DFmn,證明譜半徑(A)

·(B)1時方程:X=AXB+D的解為證目前二十二頁\總數(shù)二十五頁\編于四點(diǎn)用向量化算子求解矩陣微分方程

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
  • 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

最新文檔

評論

0/150

提交評論