大數(shù)定律和中心極限定理

大數(shù)定律和中心極限定理第1頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期一蒲豐投針問(wèn)題中解法的理論依據(jù)就是大數(shù)定律當(dāng)投針次數(shù)n很大時(shí)，用針與線相交的頻率m/n近似針與線相交的概率p，從而求得π的近似值.針長(zhǎng)L線距a第2頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期一定義:

設(shè){Xn}為隨機(jī)變量序列，a是一個(gè)常數(shù)，若對(duì)于任意>0,

有則稱{Xn}依概率收斂于a。可記為§1大數(shù)定律一、依概率收斂意思是:當(dāng)a時(shí),Xn落在內(nèi)的概率越來(lái)越大。即第3頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期一二、幾個(gè)常用的大數(shù)定律切比雪夫大數(shù)定律設(shè){Xk,k=1,2,...}為獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，且有相同的數(shù)學(xué)期望，及方差2>0，則即對(duì)任何>0,

證明:

由切比雪夫不等式這里故第4頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期一伯努里大數(shù)定律

設(shè)進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，記fn=nA/n為n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻率，則證明:

設(shè)第i次試驗(yàn)事件A發(fā)生第i次試驗(yàn)事件A不發(fā)生則由切比雪夫大數(shù)定理：第5頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期一辛欽大數(shù)定律

若{Xk,k=1,2,...}為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列,EXk=<,k=1,2,…

則當(dāng)隨機(jī)變量序列X1,X2,...,Xn,…獨(dú)立同分布時(shí),有如下更實(shí)用的結(jié)論：例

在擲骰子過(guò)程中，以Xn記第n次擲出的點(diǎn)數(shù)，在依概率收斂意義下，求的極限。第6頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期一下面我們?cè)倥e一例說(shuō)明大數(shù)定律的應(yīng)用.定積分的概率計(jì)算法求的值第7頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

我們介紹均值法，步驟是1)產(chǎn)生在(0,1)上均勻分布的隨機(jī)數(shù)rn,2)計(jì)算g(rn)，n=1,2,…,Nn=1,2,…,N即3)用平均值近似積分值求的值第8頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

我們介紹均值法，步驟是1)產(chǎn)生在(0,1)上均勻分布的隨機(jī)數(shù)rn,2)計(jì)算g(rn)，n=1,2,…,Nn=1,2,…,N即3)用平均值近似積分值求的值第9頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期一應(yīng)如何近似計(jì)算？請(qǐng)思考.問(wèn)：若求的值第10頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期一大數(shù)定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了隨機(jī)現(xiàn)象最根本的性質(zhì)之一：它是隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的具體表現(xiàn).大數(shù)定律在理論和實(shí)際中都有廣泛的應(yīng)用.平均結(jié)果的穩(wěn)定性第11頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期一一、依分布收斂定義設(shè){Xn}為隨機(jī)變量序列，X為隨機(jī)變量，其對(duì)應(yīng)的分布函數(shù)分別為Fn(x),F(x)。若在F(x)的連續(xù)點(diǎn)，有則稱{Xn}依分布收斂于X。記為§2中心極限定理若隨機(jī)變量序列{Xn}之和的標(biāo)準(zhǔn)化變量則稱隨機(jī)變量序列{Xn}滿足中心極限定理。第12頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期一二、幾個(gè)常用的中心極限定理1、獨(dú)立同分布的中心極限定理設(shè){Xn}為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，若EXk=<，DXk=2<，k=1,2,…,

則{Xn}滿足中心極限定理。此時(shí)有因此，當(dāng)n充分大時(shí)其中Fn(x)為的分布函數(shù)。第13頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例1將一顆骰子連擲100次，試估算點(diǎn)數(shù)之和大于500的概率。解:設(shè)Xk為第k次擲出的點(diǎn)數(shù),k=1,2,…,100,則X1,…,X100獨(dú)立同分布。并且由獨(dú)立同分布的中心極限定理知：第14頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2、德莫佛-拉普拉斯中心極限定理設(shè)隨機(jī)變量n(n=1,2,...)服從參數(shù)為n,p(0<p<1)的二項(xiàng)分布，則證明:設(shè)第i次試驗(yàn)事件A發(fā)生第i次試驗(yàn)事件A不發(fā)生則由獨(dú)立同分布的中心極限定理,結(jié)論即可得證。即第15頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第16頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例：華師學(xué)生10000名，在周一晚上去自習(xí)的概率為0.7，假設(shè)彼此自習(xí)是相互獨(dú)立的，設(shè)X為周一晚上華師學(xué)生去上自習(xí)的人數(shù)。（1）寫(xiě)出X的分布；（2）用切貝謝夫不等式估算周一晚上華師學(xué)生上自習(xí)的人數(shù)在6800~7200之間的概率的近似值；（3）用棣莫弗-拉普拉斯定理計(jì)算周一晚上華師學(xué)生上自習(xí)人數(shù)在6800~7200之間的概率的近似值。解:（1）

第17頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（2）（3）第18頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例2一加法器同時(shí)收到20個(gè)噪聲電壓Vk(k=1,2,…,20),

設(shè)它們是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都服從U(0,10)分布。記V=，求V大于105的近似值。例3一船舶在某海區(qū)航行，已知每次遭受一次波浪的沖擊，縱搖角大于3度的概率p=1/3，若船遭受了90000次波浪的沖擊，問(wèn)其中有29000~30500次縱搖角大于加3度的概率是多少？例4設(shè)每個(gè)學(xué)生有0名、1名、2名家長(zhǎng)參加家長(zhǎng)會(huì)的概率分別為0.05、0.8、