平面體系的幾何組成

平面體系的幾何組成分析本章討論平面結(jié)構的幾何組成規(guī)則，進行幾何構造分析。在幾何構造分析中，最基本的規(guī)則是三角形組成規(guī)則。規(guī)則本身是簡單淺顯的，但規(guī)則的運用則是變化無窮。因此，學習本章時遇到的困難不在于學懂，而在于運用。16.1

分析幾何組成的目的16.2

平面體系的自由度及約束16.3

幾何不變體系的簡單組成規(guī)則16.4

幾何組成分析舉例16.5

靜定結(jié)構與超靜定結(jié)構16.1分析幾何組成的目的

結(jié)構是用來支承和傳遞荷載的，因此，它應能在荷載作用下保持自身的幾何形狀和位置。

平面桿件結(jié)構是由桿件和桿件之間的聯(lián)結(jié)裝置所組成的，但并不是桿系無論怎樣組成都能作為工程結(jié)構使用。如圖16.1所示。由圖16.1可以看出，平面桿件體系可以分為兩類：

（1）幾何不變體系在不考慮材料應變的假定下，能保持其幾何形狀和位置的體系，如圖16.1(b)。

（2）幾何可變體系即使不考慮材料的應變，其幾何形狀和位置也是可以改變的體系，如圖16.1(a)。對結(jié)構進行分析計算時，必須首先分析判別它是否是幾何不變的。這種分析判別體系是否幾何不變的過程稱為體系的幾何組成分析，其目的在于：

（1）判斷某一體系是否幾何不變，從而確定它能否作為結(jié)構，以保證結(jié)構的幾何不變性。

（2）根據(jù)體系的幾何組成，可以確定結(jié)構是靜定的還是超靜定的，從而選擇相應的計算方法。

（3）通過幾何組成分析，明確結(jié)構各部分在幾何組成上的相互關系，從而選擇簡便合理的計算順序。在進行幾何組成分析時，由于不考慮材料的應變，因而體系中的某一桿件或已經(jīng)判明是幾何不變的部分，均可視為剛體。平面內(nèi)的剛體又稱剛片。圖16.116.2平面體系的自由度及約束

所謂自由度是指確定體系位置所必需的獨立坐標的個數(shù)；也可以說是一個體系運動時，可以獨立改變其位置的坐標的個數(shù)。平面內(nèi)的一個點，要確定它的位置，需要有x，y兩個獨立的坐標（圖16.2(a))，因此，一個點在平面內(nèi)有兩個自由度。確定一個剛片在平面內(nèi)的位置則需要有三個獨立的幾何參變量。如圖16.2(b)所示。16.2.1自由度由以上分析可見，凡體系的自由度大于零，則是可以發(fā)生運動的，位置是可以改變的，即都是幾何可變體系。圖16.2能使體系減少自由度的裝置稱為約束（或稱聯(lián)系）。減少一個自由度的裝置，稱為一個約束，減少n個自由度的裝置，稱為n個約束。下面分析幾種聯(lián)結(jié)裝置的約束作用。

(1)

鏈桿如圖16.3(a)所示。一根鏈桿能使體系減少一個自由度，它相當于一個約束。

(2)

鉸聯(lián)結(jié)兩個剛片的鉸稱為單鉸。如圖16.3(b)所示。單鉸的作用相當于兩個約束，或相當于兩根鏈桿的作用。16.2.2約束

（3）

剛性聯(lián)結(jié)所謂剛性聯(lián)結(jié)如圖16.3(c)所示，它的作用是使兩個剛片不能有相對的移動及轉(zhuǎn)動。剛性聯(lián)結(jié)能減少三個自由度，相當于三個約束。如果在一個體系中增加約束，體系的自由度并不減少，則這種約束稱為多余約束?；蛘哒f多余約束對體系的自由度沒有影響。

圖16.316.3幾何不變體系的簡單組成規(guī)則規(guī)則一：二元體規(guī)則在剛片上用兩根不共線的鏈桿聯(lián)結(jié)出一個結(jié)點，則形成無多余約束的幾何不變體系（圖16.4(a)）。這種由兩根不共線的鏈桿聯(lián)結(jié)一個新結(jié)點的裝置稱為二元體。并有如下推論：在一個體系上依次增加或依次拆除二元體不改變原體系的幾何不變性（或可變性）。規(guī)則二：兩剛片規(guī)則兩剛片用一個鉸和一根不通過該鉸的鏈桿相連，則組成無多余約束的幾何不變體系（圖16.4(b))

規(guī)則三：三剛片規(guī)則三剛片用三個不共線的鉸兩兩相連，組成無多余約束的幾何不變體系（圖16.4(c))。

現(xiàn)結(jié)合規(guī)則一作如下說明：

如圖16.4(a)，若設剛片Ⅰ不動，考慮鏈桿1的約束作用，A點應繞B點以鏈桿1為半徑作圓弧運動；考慮鏈桿2的作用，A點應繞C點以鏈桿2為半徑作圓弧運動。當鏈桿1、2不共線時，兩圓弧在A點相交，則A點不能運動，被完全固定，因此該體系是幾何不變的。

顯然若在此基礎上再增加一根鏈桿3(如圖16.5(a))，則體系仍是幾何不變的，但有一多余約束。在圖16.5(b)中，兩鏈桿1、2在一條直線上，前述兩圓弧便不能相交，而是在A點相切，在這種特殊情況下，當鏈桿1不動時，A點可沿著公切線有無限小的運動。前已說明，一個鉸或兩根鏈桿都相當于兩個約束?，F(xiàn)在進一步說明，聯(lián)結(jié)兩剛片的任何兩根鏈桿相當于一個鉸。如圖16.6所示。

利用虛鉸的概念，兩剛片規(guī)則可表述為：兩剛片用三根不交于一點且不全平行的鏈桿相連，組成無多余約束的幾何不變體系（圖16.7(a))。

圖16.7(b)所示的兩剛片Ⅰ、Ⅱ用全交于C點的三根鏈桿相連。此體系為瞬變體系。

圖16.7(c)為三鏈桿相互平行且不等長的情況，此體系為瞬變體系。特殊情況下，若三鏈桿平行且等長（圖16.7(d))時，則當兩剛片發(fā)生一相對位移后，此三鏈桿仍互相平行，位移可繼續(xù)發(fā)生，則為幾何可變體系。圖16.4圖16.4圖16.5圖16.6圖16.召716.課4幾何組成均分析舉例分析的一依般要領是霉：先將能直志接觀察出泄的幾何不隆變部分當滋作剛片，今并盡可能李擴大其范等圍，這樣完可簡化體子系的組成俊，揭示出沉分析的重抄點，便于夜運用組成支規(guī)則考察恒這些剛片盤間的聯(lián)結(jié)境情況，作過出結(jié)論。忠下面提出鼻幾個組成亡分析的途循徑，可視麻具體情況諷靈活運用蕩。（1）當體系樣中有明歷顯的二比元體時扣，可先術依次去淘掉其上攪的二元滲體，再視對余下棕的部分腐進行分艘析。如圖16.化8所示體賣系。(2)當體系明的基礎惜以上部襪分與基僚礎間以午三根支病承鏈桿品按規(guī)則扎二相聯(lián)禮結(jié)時，碌可先拆叉除這些鎖支桿，啞只就上袋部體系錘本身進汗行分析織，所得落結(jié)果即笨代表整抱個體系梨的組成煮性質(zhì)。紋如圖16.封9所示體菌系。(3)凡是只以鍛兩個鉸與森外界相連烘的剛片，膏不論其形醒狀如何，由從幾何組浴成分析的因角度看，糞都可看作芹為通過鉸小心的鏈桿擾。如圖16.簽10所示體系宅。【例16.1押】試對圖16.冊11所示體趕系進行扎幾何組哭成分析穩(wěn)。【解】AB桿與基礎墨之間用鉸A和鏈桿1相連，贈組成幾才何不變再體系，椒可看作爭一擴大炒了的剛段片。將BC桿看作盛鏈桿，姓則CD桿用不旱交于一墳點的三泡根鏈桿BC、2、3和擴大鏡剛片相塑連，組參成無多仁余約束隨的幾何蓋不變體明系。【例16.2睬】試對圖16.1只2所示體渡系進行侮幾何組溫成分析惱?！窘狻矿w系中折養(yǎng)桿DHG和FKG可分別貍看作鏈泰桿DG、FG（圖16.撐12中虛線所鄉(xiāng)豐示），依煎次去掉二平元體（DG、FG）、（EF、CF），對余蜂下部分，腿將折桿ADE、桿BE和基礎分散別看作剛檢片，它們麻通過不共勸線的三個跌鉸A、E、B兩兩相火連，故派為無多藝余約束瞞的幾何軌不變體鎖系?！纠?6.3梅】試對圖16.釣13所示體系仙進行幾何云組成分析送?！窘狻矿w系基滔礎以上予部分與供基礎用陷三根不沃交于一蝴點且不倦完全平睡行的鏈采桿1、2、3相連，符刺合兩剛片吳規(guī)則，只候分析上部與體系。將AB看作剛片Ⅰ，用鏈桿AC、EC固定C，鏈桿BD、FD固定D，則鏈駛桿CD是多余約鴉束，故此款體系是有挖一多余約堵束的幾何戀不變體系叢。在本例鐮中鏈桿AC、EC、CD、FD及BD其中之障一均可酒視為多閑余約束昂?！纠?6.4飲】分析圖16.誰14所示體疤系的幾罰何構造艘?！窘狻浚?）分析圖(a)中的體屋系首先，焰三角形ADE和AFG是兩個槐無多余津約束的輔幾何不壞變體系自，分別賤以Ⅰ和Ⅱ表示。Ⅰ與地基Ⅲ間的鏈我桿1、2相當于上瞬鉸B，Ⅱ與地基Ⅲ間的鏈罵桿3、4相當于閘鉸C。如A、B、C三個鉸出不共線買，則體懲系為無破多余約靈束的幾扯何不變鬧體系。覽（2）分析圖損（b)中的體企系先把折桿AC和BD用虛線識表示的聽鏈桿2與3來替換，眠于是T形剛片CDE由三個絨鏈桿1、2、3與基礎毅相連。莫如三鏈部桿共點脫，則體膠系是瞬爪變的。圖16.駕8圖16.球9圖16.草10圖16.1掉1圖16.1平2圖16.1帝3圖16.墳1416.5靜定結(jié)構滅與超靜定目結(jié)構平面桿件炎結(jié)構可分喉為靜定結(jié)構和超靜定結(jié)驅(qū)構兩類。凡只需億利用靜餓力平衡乘條件就型能確定猜全部支桐座反力異和內(nèi)力棚的結(jié)構村稱為靜定結(jié)構。全部支座脹反力或內(nèi)條力不能只船由靜力平點衡條件來怒確定的結(jié)毀構稱為超靜定結(jié)租構。圖16.1懂5(a)所示為取一簡支附梁。簡槽支梁是餃靜定結(jié)科構的一篇個例子低。圖16.煉15(浴b)所示為一昨連續(xù)梁。作連續(xù)梁是刮超靜定結(jié)船構的一個隨例子。從幾何趁組成分瀉析方面話來看，駛圖16.介15(順a)為無多余