材料力學(xué)講義六

材料力學(xué)講授:顧志榮同濟(jì)大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院

顧志榮第四章扭轉(zhuǎn)材料力學(xué)第四章扭轉(zhuǎn)一扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例二外力偶矩、扭矩和扭矩圖三圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算四圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形計(jì)算五扭轉(zhuǎn)超靜定問(wèn)題六矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)七薄壁桿的自由扭轉(zhuǎn)第四章扭轉(zhuǎn)一扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例第四章扭轉(zhuǎn)/一扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例對(duì)稱扳手?jǐn)Q緊鏍帽承受扭轉(zhuǎn)變形的構(gòu)件傳動(dòng)軸汽車傳動(dòng)軸第四章扭轉(zhuǎn)/一扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例第四章扭轉(zhuǎn)/一扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例mmmm第四章扭轉(zhuǎn)/一扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例這些構(gòu)件的受力特點(diǎn):所受外力是一些力偶矩,作用在垂直于桿軸的平面內(nèi)。變形特點(diǎn):桿件的任意兩個(gè)橫截面都繞軸線發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。第四章扭轉(zhuǎn)二外力偶矩、扭矩和扭矩圖第四章扭轉(zhuǎn)/二外力偶矩、扭矩和扭矩圖1外力偶矩的計(jì)算外力偶矩與功率和轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系第四章扭轉(zhuǎn)/二外力偶矩、扭矩和扭矩圖2求扭轉(zhuǎn)內(nèi)力的方法—截面法ⅠⅠIIMn3受扭圓軸橫截面上的內(nèi)力—扭矩右手定則：右手四指內(nèi)屈，與扭矩轉(zhuǎn)向相同，則拇指的指向表示扭矩矢的方向，若扭矩矢方向與截面外法線相同，規(guī)定扭矩為正，反之為負(fù)。第四章扭轉(zhuǎn)/二外力偶矩、扭矩和扭矩圖扭矩符號(hào)規(guī)定：4扭矩的符號(hào)規(guī)定—右手螺旋法則mIImIIIIII第四章扭轉(zhuǎn)/二外力偶矩、扭矩和扭矩圖例題已知圓軸受外力偶矩mA、mB、mC作用而處于勻速轉(zhuǎn)動(dòng)平衡狀態(tài)，試求1-1、2-2截面上的扭矩。１１２２已知圓軸受外力偶矩作用，勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。則１１２２用截面法求內(nèi)力：１１11扭矩第四章扭轉(zhuǎn)/二外力偶矩、扭矩和扭矩圖１１２２１１２２截面2-2上的內(nèi)力：２２第四章扭轉(zhuǎn)/二外力偶矩、扭矩和扭矩圖（+）１１２２5扭矩隨圓軸橫截面的位置變化的圖線—扭矩圖（-）扭矩圖第四章扭轉(zhuǎn)/二外力偶矩、扭矩和扭矩圖例題圖示傳動(dòng)軸上，經(jīng)由A輪輸入功率10KW，經(jīng)由B、C、D輪輸出功率分別為2、3、5KW。軸的轉(zhuǎn)速n=300r/min，求作該軸的扭矩圖。如將A、D輪的位置更換放置是否合理？ACBDIIIIIIIIIIII第四章扭轉(zhuǎn)/二外力偶矩、扭矩和扭矩圖ACBD經(jīng)由A、B、C、D輪傳遞的外力偶矩分別為解：IIIIIIIIIIII第四章扭轉(zhuǎn)/二外力偶矩、扭矩和扭矩圖IIIIIIIIIIII繪出扭矩圖：第四章扭轉(zhuǎn)/二外力偶矩、扭矩和扭矩圖ACBD（-）扭矩Mn-圖（+）（在CA段和AD段）IIIIIIIIIIII第四章扭轉(zhuǎn)/二外力偶矩、扭矩和扭矩圖將A、遼D輪的林位置更惑換，則ACBD扭矩M效n-圖（-）（AD撫段）因此將A馳、D輪的位置更換醋不合理。IIIIIIIIIIII第四章謠扭修轉(zhuǎn)/二袖外力扣偶矩、習(xí)扭矩和犯扭矩圖課堂練榨習(xí)圖示圓軸終中，各輪聞上的轉(zhuǎn)矩喘分別為mA＝4k棋N·m粥，砍mB＝10垃kN·m,綢mC＝6kN·m，試蜓求1－凍1截面進(jìn)和2－送2截面忘上的扭功矩，并味畫(huà)扭矩競(jìng)圖。1122輪軸軸承6KN睬m4KN幻玉m第四章綁扭轉(zhuǎn)/錫二外力扎偶矩、扭治矩和扭矩俱圖第四章愈扭鳴轉(zhuǎn)三圓軸亦扭轉(zhuǎn)時(shí)的件強(qiáng)度計(jì)算第四章短扭轉(zhuǎn)/幟三圓軸賤扭轉(zhuǎn)時(shí)的責(zé)強(qiáng)度計(jì)算1受扭轟圓軸橫截尼面上的剪駐應(yīng)力（1）啄公式推羞導(dǎo)的思溪路應(yīng)力分脅布應(yīng)力公式變架形應(yīng)變分布平面假定物性關(guān)系靜力方程MeMe平面假定變形幾何1受扭予圓軸橫截痕面上的剪稀應(yīng)力（2）公咬式推導(dǎo)過(guò)蔬程dxMnMndxIp截面的藏極慣性郊矩dxTTdxIp截面的被極慣性膊矩(3)毅受扭圓必軸橫截績(jī)面上的婆剪應(yīng)力撓計(jì)算公柴式扭轉(zhuǎn)截舊面系數(shù)(3)誓受扭圓錯(cuò)軸橫截愚面上的與剪應(yīng)力端計(jì)算公窮式:實(shí)心圓棉截面空心圓截咐面P1=14k版W,P2=P3=P1/2=翼7k討Wn1=n2=1霉20r短/mi駱nn3=n1

z3z1=1203612=360r/min例題已知：P1＝14k耀W,n1=n2=12及0r/m垃in,z1=36際,z3=12;d1=70賠mm,d2=50m肝m,d3=35m奸m.P2＝p3＝p1／2。求:蹦各軸橫截面開(kāi)上的最芝大切應(yīng)畢力。解：第四章催扭柜轉(zhuǎn)/三公圓軸靈扭轉(zhuǎn)時(shí)爭(zhēng)的強(qiáng)度噴計(jì)算max(H)==22.69MPam2Wp2max(C)==21.98MPam3Wp3max(E)=m1Wp1=16.54MPa第四章稈扭轉(zhuǎn)/百三圓軸碼扭轉(zhuǎn)時(shí)的山強(qiáng)度計(jì)算2受扭呀圓軸任意逗斜截面上虎的應(yīng)力分壘析第四章瘋扭歡轉(zhuǎn)/三晨圓軸宋扭轉(zhuǎn)時(shí)禽的強(qiáng)度組計(jì)算鑄鐵低碳鋼鑄鐵試伏件受扭路為什么剩沿45翼o螺旋辯面斷開(kāi)語(yǔ)？低碳鋼試惹件受扭為足什么沿橫脹截面斷開(kāi)狗？mmAτττAτefef第四章亂扭漸轉(zhuǎn)/三些圓軸報(bào)扭轉(zhuǎn)時(shí)帆的強(qiáng)度程計(jì)算討論:τττσmaxσminτ第四章白扭轉(zhuǎn)/柏三圓軸艙扭轉(zhuǎn)時(shí)的意強(qiáng)度計(jì)算第四章架扭釣轉(zhuǎn)/三辟圓軸餐扭轉(zhuǎn)時(shí)牧的強(qiáng)度勺計(jì)算3圓軸撇扭轉(zhuǎn)時(shí)的涼強(qiáng)度條件為保證圓盤(pán)軸安全工揮作，要求摧軸內(nèi)的最收大工作切狼應(yīng)力不超筆過(guò)材料的騙許用切應(yīng)尾力，即：

式中的許用扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力,是根據(jù)扭轉(zhuǎn)試驗(yàn),并考慮適當(dāng)?shù)墓ぷ靼踩禂?shù)確定的.第四章購(gòu)扭轉(zhuǎn)四圓腳軸扭轉(zhuǎn)欠時(shí)的剛應(yīng)度計(jì)算第四章威扭裙轉(zhuǎn)/四菊?qǐng)A軸旗扭轉(zhuǎn)時(shí)喚的剛度殲計(jì)算1扭轉(zhuǎn)圖角副與剪切角mm第四章團(tuán)扭尖轉(zhuǎn)/四甘圓軸岡扭轉(zhuǎn)時(shí)強(qiáng)的剛度莊計(jì)算2圓軸魚(yú)扭轉(zhuǎn)時(shí)的狠變形計(jì)算如圖所路示階梯犯軸。外瘋力偶矩m1＝0.學(xué)8KN剖·m，m2＝2.3負(fù)KN·m蓮，m3＝1.家5KN群·m，汗AB段嘴的直徑卷d1＝4cm捉，BC段刑的直徑d2＝7c坡m。已速知材料螺的剪切峰彈性模世量G＝鉤80G軌Pa，潛試計(jì)算訂φAB和φAC。0.8k為N·m1.5萍kN·千m0.8m1.0mABC例題圖示一空宵心傳動(dòng)軸諸，輪1為懶主動(dòng)輪，渴力偶矩m1＝9K督N·m賭，輪2雀、輪3妙、輪4胸為從動(dòng)膠輪,力勇偶矩分樹(shù)別為m2＝4K系N·m時(shí)，m3＝3.掘5KN上·m，m4＝1.5基KN·m幼。已知空而心軸內(nèi)外松徑之比d判/D＝1釣/2，試知設(shè)計(jì)此軸坦的外徑D免，并求出荷全軸兩端裕的相對(duì)扭仙轉(zhuǎn)角φ24。G＝8姿0GPa淘，［τ］＝60M騰Pa。5kN1.5渴kN4kN500500500例題已知鉆探無(wú)機(jī)桿的外射徑D=6蹄0mm，多內(nèi)徑d=夕50mm過(guò)，功率P蜜=7.3呆5kW，翠轉(zhuǎn)速n=測(cè)180r盛/min馳，鉆桿入仗土深度L剃=40m肯，G=8棵0GPa煮，[τ]刺=40M漁Pa。設(shè)惹土壤對(duì)鉆朗桿的阻力讓是沿長(zhǎng)度丟均勻分布屢的，試求完：（1）如單位長(zhǎng)度束上土壤對(duì)是鉆桿的阻匆力矩m；（2）映作鉆桿的暴扭矩圖，方并進(jìn)行強(qiáng)石度校核；叨（3）求吩A、B兩恨截面相對(duì)命扭轉(zhuǎn)角。單位長(zhǎng)度括阻力矩例題一內(nèi)徑為世d、外徑練為D=2承d的空心今圓管與一扇直徑為d塘的實(shí)心圓林桿結(jié)合成巨一組合圓巷軸，共同每承受轉(zhuǎn)矩部Me。圓管與滑圓桿的材伍料不同，功其切變模紛量分別為錘G1和G2，且G1=G2/2，假始設(shè)兩桿扭營(yíng)轉(zhuǎn)變形時(shí)昨無(wú)相對(duì)轉(zhuǎn)傭動(dòng)，且均撕處于線彈泰性范圍。謎試問(wèn)兩桿遼橫截面上股的最大切職應(yīng)力之比鑼?duì)?/τ2為多大？隔并畫(huà)出沿共半徑方向爪的切應(yīng)力彩變化規(guī)律坊。因兩桿扭熔轉(zhuǎn)變形時(shí)密無(wú)相對(duì)轉(zhuǎn)叼動(dòng)例題第四章綱扭轉(zhuǎn)/抹四圓軸找扭轉(zhuǎn)時(shí)的購(gòu)剛度計(jì)算3圓軸唐扭轉(zhuǎn)時(shí)的肯剛度條件要求單位齡長(zhǎng)度的扭企轉(zhuǎn)角不超餓過(guò)某一許漁用值,即返:試分別按關(guān)實(shí)心圓軸忘和空心圓鉤軸選擇其錫直徑，并菠比較二種景截面軸之束重量。解：1.計(jì)算外力偶矩畫(huà)扭矩圖。例1：鋼制傳動(dòng)軸已知：n＝300（r.p.n），d／D＝1／2，輸入功率:NA＝360kW，輸出功率:NB＝NC＝110kW，ND＝140kW；

BCADmBmCmAmD＋70044456－xoT/N.m3502－＋T／N.mx350270044456危險(xiǎn)截面普：AC段貢。2.選擇實(shí)心圓軸直徑按強(qiáng)度條件按剛度條件2.選擇空心圓軸直徑按強(qiáng)度條件按剛度條件由此應(yīng)選餓直徑貼D=道11.6鹽cm，d槍＝D／2恨＝5.8贏cm3.重量比由此應(yīng)選直徑解：由傳動(dòng)軸稻的尺寸計(jì)白算抗扭截且面模量：軸的最大洋剪應(yīng)力例題2某汽車傳動(dòng)軸，用45號(hào)鋼無(wú)縫鋼管制成，其外徑D=90mm,壁厚t=2.5mm，使用時(shí)最大扭矩為Mx=1500N.m,試校核此軸的強(qiáng)度。已知[]=60MPa。若此軸改為實(shí)心軸，并要求強(qiáng)度仍與原空心軸相當(dāng)，則實(shí)心軸的直徑為？所以此漿軸安全打。若此軸照改為實(shí)年心軸，而式中解得：實(shí)心軸榨的橫截庸面面積廚為空心軸露的橫截絡(luò)面面積空心軸與羽實(shí)心軸的背重量之比渡：因此在郵承載能鍵力相同隙的條件糧下，使獲用空心倡軸比較霞節(jié)約材料避、比較祥經(jīng)濟(jì)。采用空心療軸可有效魂地減輕軸盲的重量，撓節(jié)約材料攻。因?yàn)棰俑鶕?jù)應(yīng)力乘分布規(guī)律鮮，軸心附讀近處的客應(yīng)力很錄小，對(duì)盡實(shí)心軸成而言，敵軸心附近艙處的材叔料沒(méi)有愿較好地脂發(fā)揮其慢作用；②從截面的催幾何性質(zhì)定分析，橫截面珠面積相孫同的條各件下，另空心軸撓材料分布遠(yuǎn)離很軸心，其語(yǔ)極慣性矩Ip必大于實(shí)倆心軸，扭簽轉(zhuǎn)截面系硬數(shù)Wp也比較大，坦強(qiáng)度和量剛度均裝可提高推；③通常所擋講保持強(qiáng)意度不變，趴即指最大中切應(yīng)力值單不變；保掀持剛度不示變，即指畢截面圖形編極慣性矩緩保持不變員。④對(duì)于彩軸的強(qiáng)畜度或剛拌度，采跨用空心源軸比實(shí)虜心軸都燒較為合舒理。例題3圖示等截面圓軸，已知d=90mm,l=50cm,,。軸的材料為鋼，G=80GPa,求（1）軸的最大剪應(yīng)力；（2）截面B和截面C的扭轉(zhuǎn)角；（3）若要求BC段的單位扭轉(zhuǎn)角與AB段的相等，則在BC段鉆孔的孔徑d′應(yīng)為多大？AllBCd1122AllBCd（+）（-）扭矩圖解：(1)軸正的最大剪斬應(yīng)力作扭矩圖件：2211因此AllBCd（2）扭沒(méi)轉(zhuǎn)角截面B扎：截面CAllBCd（3）B疼C段孔徑偉d’由得解得：AllBCd例題4圖示圓截起面桿AB重左端固定補(bǔ)，承受一治集度為t廊的均布力略偶矩作用塑。試導(dǎo)出撇計(jì)算截面置B的扭轉(zhuǎn)兆角公式。Lt

xdx解：取微段謀作為研城究對(duì)象拿。Mx(x)Mx(x)

L-xtMx(x)根據(jù)平查衡條件伙求得橫插截面上形的扭矩為：微段兩端動(dòng)截面的相悶對(duì)扭轉(zhuǎn)角賢為AB因此LtAB第四章扛扭轉(zhuǎn)五扭遺轉(zhuǎn)超靜陷定問(wèn)題扭轉(zhuǎn)超墨靜定問(wèn)難題的解鑼法：（1）陡建立靜忠力平衡奸方程；（2）殼由變形噴協(xié)調(diào)條誤件建立森變形協(xié)爺調(diào)方程況；（3）應(yīng)用扭矩與相對(duì)扭轉(zhuǎn)角之間的物理關(guān)系：，代入變形協(xié)調(diào)方程，得到補(bǔ)充方程；（4）補(bǔ)末充方程與峽靜力平衡據(jù)方程聯(lián)立抽，求解所吩有的未知昨反力偶或悟扭矩。例題6一兩端耐固定的釀圓截面喘桿AB迅受力偶弊矩作用澇如圖。牛要求：1）作扭矩竭圖；2）巨若m=1最0KN.軋m,材料血的[]=6耀0MP奔a，試概選擇此見(jiàn)等直圓壤截面桿揭直徑。MABClMDll例題7一組合桿綿由實(shí)心桿束1和空心擊管2結(jié)合育在一起所淚組成，桿賺和管的材咐料相同。其剪切模量段為G,試原求組合桿后承受外力隱偶矩m以后，巾?xiàng)U和管膨內(nèi)的最流大剪應(yīng)尚力，并膨繪出橫扎截面上沉應(yīng)力分胳布的規(guī)篩律。如袍果桿和欲管的材句料不相錦同，結(jié)兩果又怎急樣？12Mn12解：（1）靜猶力學(xué)關(guān)系（2）變過(guò)形協(xié)調(diào)條藥件（3）物睛理關(guān)系：代入變鴉形協(xié)調(diào)就方程，午得補(bǔ)充犧方程（4）書(shū)補(bǔ)充方跳程與靜行力平衡劇方程聯(lián)許立，解平得（5）最即大剪應(yīng)力桿1：管2：第四章導(dǎo)扭和轉(zhuǎn)六矩形學(xué)截面桿的設(shè)自由扭轉(zhuǎn)自由扭轉(zhuǎn)酷：非圓截售面軸扭劣轉(zhuǎn)時(shí)，對(duì)橫截面誓不再保賺持平面集而發(fā)生述翹曲。約束扭轉(zhuǎn)裙：橫截面可漢以自由翹殿曲。橫截面堆的翹曲嫌受到限頑制。橫截面上票只有切應(yīng)老力而無(wú)正寬應(yīng)力橫截面糧上既有貝切應(yīng)力春又有正號(hào)應(yīng)力矩形截面袍軸扭轉(zhuǎn)時(shí)陽(yáng)切應(yīng)力的粒分布特點(diǎn)角點(diǎn)切愉應(yīng)力等牧于零邊緣各點(diǎn)柄切應(yīng)力沿窮切線方向最大切限應(yīng)力挽發(fā)生在長(zhǎng)邊中點(diǎn)T分別計(jì)放算兩種壯截面桿題最大切即應(yīng)力圓桿：矩形桿魂：查表：β朽＝0.8未01分別計(jì)嶺算兩桿謠截面面辜積圓桿：矩形桿蓋：矩形截面染面積與圓就形面積相源近，但是朗最大切應(yīng)零力卻增大俊了近一倍停，因此工變程中應(yīng)盡館量避免使長(zhǎng)用矩形截聽(tīng)面桿作扭插轉(zhuǎn)桿件。例題半一圓形任截面桿筋