基本支撐體系數(shù)學(xué)資料競賽指導(dǎo)初中數(shù)學(xué)競賽與課外活動(dòng)指導(dǎo)專題一等獎(jiǎng)

質(zhì)數(shù)合數(shù)一、賽點(diǎn)要求：質(zhì)數(shù)一個(gè)大于1的正整數(shù)a，如果僅有1與a這兩個(gè)正約數(shù)，那么a叫做質(zhì)數(shù)，也叫素?cái)?shù)．合數(shù)如果一個(gè)正整數(shù)a除了1與a這兩個(gè)正約數(shù)外還有其他正約數(shù)，那么a叫做合數(shù)．質(zhì)因數(shù)如果一個(gè)正整數(shù)a的一個(gè)約數(shù)p是質(zhì)數(shù)，則p叫做a的質(zhì)因數(shù)，也可稱為質(zhì)約數(shù)．值得指出的是，質(zhì)數(shù)與合數(shù)都是大于1的正整數(shù)．1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)．如果說單數(shù)和雙數(shù)是正整數(shù)集的一種分類的話，那么正整數(shù)集的另一種分類方式就是將全體正整數(shù)分成1、質(zhì)數(shù)和合數(shù)三類．所有正的偶數(shù)中除了2是質(zhì)數(shù)外，其他均為合數(shù)．2是最小的質(zhì)數(shù)．質(zhì)數(shù)只有1和本身兩個(gè)正約數(shù)，質(zhì)數(shù)中只有一個(gè)偶數(shù)2如果兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和或差是奇數(shù)那么其中必有一個(gè)是2，如果兩個(gè)質(zhì)數(shù)的積是偶數(shù)那么其中也必有一個(gè)是2，3任何合數(shù)都可以分解為幾個(gè)質(zhì)數(shù)的積。能寫成幾個(gè)質(zhì)數(shù)的積的正整數(shù)就是合數(shù)。正整數(shù)的一種分類：二、類型分解：例1定理證明：定理1設(shè)a是一個(gè)大于1的正整數(shù)，則a的大于1的最小正約數(shù)p一定是質(zhì)數(shù)．證若p不是質(zhì)數(shù)，因p>1，由定義知，p有不同于1與其本身的正約數(shù)q，即1<q<p，且q｜p，于是q｜a，這與p是a的大于1的最小正約數(shù)矛盾．評(píng)點(diǎn)：凡大于1的整數(shù)至少有一個(gè)質(zhì)因數(shù)．定理2若p是質(zhì)數(shù)，則對(duì)于任一整數(shù)a，或者p｜a，或者(p，a)=1．證因(p，a)｜p，(p，a)≥1，而p是質(zhì)數(shù)，因此，或者(p，a)=1，或者(p，a)=p，即p｜a．推論設(shè)a1，a2，…，an(n≥2)都是整數(shù),p為質(zhì)數(shù)，若p｜a1a2…an，則存在k(1≤k≤n)使得p｜ak．證若a1，a2，…，an都不能被p整除，則(p，ai)=1(i=1，2，…，n)，于是由互質(zhì)的性質(zhì)有(p，a1a2…an)=1．另一方面，p｜a1a2…an，故(p，a1a2…an)=p，從而有p=1．矛盾．定理3質(zhì)數(shù)有無窮多個(gè)．證設(shè)p是任一質(zhì)數(shù)，令a=p!+1，由定理1，a有一個(gè)質(zhì)因數(shù)q，即q｜p!+1，且q>1。又因?yàn)?p!，p!+1)=1，所以，qp!，從而q>p，即對(duì)任意的質(zhì)數(shù)p，存在比p更大的質(zhì)數(shù)q，證畢．評(píng)點(diǎn)：此三個(gè)定理已被證明，今后可以直接應(yīng)用。例2兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和等于奇數(shù)a(a≥5)。求這兩個(gè)數(shù)解：∵兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和等于奇數(shù)∴必有一個(gè)是2所求的兩個(gè)質(zhì)數(shù)是2和a－2。例3己知兩個(gè)整數(shù)的積等于質(zhì)數(shù)m,求這兩個(gè)數(shù)解：∵質(zhì)數(shù)m只含兩個(gè)正約數(shù)1和m,又∵（－1）（－m）=m∴所求的兩個(gè)整數(shù)是1和m或者－1和－m.例4己知三個(gè)質(zhì)數(shù)a,b,c它們的積等于30求適合條件的a,b,c的值解：分解質(zhì)因數(shù)：30＝2×3×5適合條件的值共有：應(yīng)注意上述六組值的書寫排列順序，本題如果改為4個(gè)質(zhì)數(shù)a,b,c,d它們的積等于210,即abcd=2×3×5×7那么適合條件的a，b，c，d值共有24組，試把它寫出來。例5試寫出4個(gè)連續(xù)正整數(shù)，使它們個(gè)個(gè)都是合數(shù)。解：（本題答案不是唯一的）設(shè)N是不大于5的所有質(zhì)數(shù)的積，即N＝2×3×5那么N＋2，N＋3，N＋4，N＋5就是適合條件的四個(gè)合數(shù)即32，33，34，35就是所求的一組數(shù)。本題可推廣到n個(gè)。令N等于不大于n+1的所有質(zhì)數(shù)的積，那么N＋2，N＋3，N＋4，……N＋（n+1）就是所求的合數(shù)。三、專題訓(xùn)練：1、小于100的質(zhì)數(shù)共___個(gè)，它們是_________________________2、己知質(zhì)數(shù)P與奇數(shù)Q的和是11，則P＝＿＿，Q＝＿＿3、己知兩個(gè)素?cái)?shù)的差是41，那么它們分別是＿＿＿＿＿4、如果兩個(gè)自然數(shù)的積等于19，那么這兩個(gè)數(shù)是＿＿＿如果兩個(gè)整數(shù)的積等于73，那么它們是＿＿＿＿如果兩個(gè)質(zhì)數(shù)的積等于15，則它們是＿＿＿＿＿5、兩個(gè)質(zhì)數(shù)x和y，己知xy=91,那么x=__,y=__,或x=__,y=__.6、三個(gè)質(zhì)數(shù)a,b,c它們的積等于1990.那么7、能整除311＋513的最小質(zhì)數(shù)是＿＿8、己知兩個(gè)質(zhì)數(shù)A和B適合等式A＋B＝99，AB＝M。求M及＋的值9、試寫出6個(gè)連續(xù)正整數(shù)，使它們個(gè)個(gè)都是合數(shù)。10、具備什么條件的最簡正分?jǐn)?shù)可化為有限小數(shù)？11、求適合下列三個(gè)條件的最小整數(shù)：大于1②沒有小于10的質(zhì)因數(shù)③不是質(zhì)數(shù)12、某質(zhì)數(shù)加上6或減去6都仍是質(zhì)數(shù)，且這三個(gè)質(zhì)數(shù)均在30到50之間，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)是＿＿＿13、一個(gè)質(zhì)數(shù)加上10或減去14都仍是質(zhì)數(shù)，這個(gè)質(zhì)數(shù)是＿＿。專題訓(xùn)練答案：1.25個(gè)2.2，93.2，434.1，19；1，73或－1，－7356.1900＝2×5×199有6組7.28.9.令N＝2×3×5×7＝210，所求合數(shù)為N＋2，N＋3，……10.分母只含2和5的質(zhì)因數(shù)11.11×1112.3713.3四、同步測試：1.試寫出10個(gè)連續(xù)自然數(shù)，個(gè)個(gè)都是合數(shù).2.已知質(zhì)數(shù)a，與奇數(shù)b的和等于11，那么a=___,b=___.3.兩個(gè)互質(zhì)數(shù)的最小公倍數(shù)是72，若這兩個(gè)數(shù)都是合數(shù)，那么它們分別等于____，____.4.寫出10個(gè)連續(xù)正奇數(shù)，個(gè)個(gè)都是合數(shù)，可設(shè)m=(10+1)×2，m!=22!，那么所求的合數(shù)是22!+3，_____,____,____,……5.寫出10個(gè)連續(xù)自然數(shù)，個(gè)個(gè)都是合數(shù)，還可令N=2×3×5×7×11.(這里11=10+1，即N是不大于11的質(zhì)數(shù)的積).那么N+2，N+3，N+4，……N+11就是所求的合數(shù).這是為什么？如果要寫15個(gè)呢？6.已知：x,m,n都是正整數(shù).求證：24m+2+x4n是合數(shù).同步測試答案：1.答案不是唯一的，其中的一種解法是：令A(yù)=1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11那么A+2，A+3，A+4，A+5，A+6，A+7，A+8，A+9，A+10，A+11就是10個(gè)連續(xù)數(shù)，且個(gè)個(gè)都是合數(shù).一般地，要寫出n個(gè)連續(xù)自然數(shù)，個(gè)個(gè)是合數(shù)，可用令m=n+1,那么m!+2,m!+3,m!+4,+……+m!+n+1就是所求的合數(shù).∵m!+i(2≤i≤n+1)有公約數(shù)i.2.2，9.3.8，9.4.22!+3，22!+5，