《應(yīng)用一元一次方程-追趕小明》示范公開課教學(xué)設(shè)計(jì)【北師大版七年級數(shù)學(xué)上冊】

第五章一元一次方程5.6應(yīng)用一元一次方程——追趕小明教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)目標(biāo)1.借助“線段圖”分析復(fù)雜問題中的數(shù)量關(guān)系，從而建立方程解決實(shí)際問題．2.使學(xué)生進(jìn)一步領(lǐng)會采用代數(shù)方法解應(yīng)用題的優(yōu)越性．3.培養(yǎng)學(xué)生實(shí)事求是的態(tài)度及與人合作交流的能力，逐步樹立克服困難的信心、意志力，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和良好的人格品質(zhì)．二、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)重點(diǎn)：找等量關(guān)系，列出方程，解決實(shí)際問題．難點(diǎn)：確定方程時(shí)找等量關(guān)系．三、教學(xué)準(zhǔn)備多媒體課件四、相關(guān)資源微課《列一元一次方程解決“行程問題”》，動畫《追及問題》等五、教學(xué)過程【問題情境】情境引入小明每天早上要在7：50之前趕到距家1000米的學(xué)校上學(xué)．一天，小明以80米/分鐘的速度出發(fā)，5分鐘后，小明的媽媽發(fā)現(xiàn)他忘了帶語文書．于是媽媽以180米/分鐘的速度去追小明．問題1：媽媽能追上小明嗎？問題2：媽媽追上小明用了多長時(shí)間？問題3：追上小明時(shí)，距離學(xué)校還有多遠(yuǎn)？請讓我們一起學(xué)習(xí)本節(jié)，解決這些疑惑．師生活動：出示主題故事時(shí)，問題1、2、3事先沒有直接給出，而是先問學(xué)生聽到這個(gè)故事后想知道什么．絕大部分學(xué)生會關(guān)注爸爸能不能追上小明、媽媽追上小明用了多長時(shí)間、在距離學(xué)校多遠(yuǎn)的地方追上小明等等．根據(jù)學(xué)生關(guān)注點(diǎn)提供質(zhì)疑的時(shí)機(jī)，喚起學(xué)生“主角”意識．設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生感受生活中我們常常會遇到類似的問題，從學(xué)生熟悉的生活經(jīng)歷出發(fā)，選擇學(xué)生身邊的、感興趣的“追趕小明”這一事件，激發(fā)學(xué)生的好奇心，進(jìn)而輕松地引入本節(jié)所要探討的主要問題，便于引起每位同學(xué)的興趣．【新知講解】探究一：追趕問題1．這是行程問題中的追趕問題，我們請兩位同學(xué)分別扮演小明和媽媽來演示一下追趕的過程．設(shè)計(jì)意圖：列方程解一些實(shí)際問題的過程是一個(gè)數(shù)學(xué)建模的過程，及時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生通過親身體驗(yàn)、觀察、分析找出其中的等量關(guān)系，并嘗試用文字語言表述出來，通過畫線段圖讓學(xué)生明白了數(shù)形結(jié)合的好處，教學(xué)中可以適當(dāng)對文字語言、圖形語言、符號語言的互相轉(zhuǎn)換加以滲透，既提高了學(xué)生的語言表達(dá)能力，又培養(yǎng)學(xué)生對三種語言進(jìn)行轉(zhuǎn)換的能力．2．根據(jù)剛才的演示，你發(fā)現(xiàn)了哪些等量關(guān)系？（1）媽媽要追上小明，媽媽的速度與小明的速度關(guān)系怎樣？（2）媽媽從家出發(fā)到追上小明時(shí)，兩人所用的時(shí)間有何關(guān)系？（3）兩人所行的總路程有何關(guān)系？3．如下圖，你能用簡單的“線段圖”表示演示的追趕過程嗎？4．路程、速度和時(shí)間三者之間有何關(guān)系呢？“線段圖”反映了怎樣的等量關(guān)系？解：（1）設(shè)媽媽追上小明用了x分鐘．根據(jù)題意，得80×5＋80x＝180x．解得x＝4．因此，媽媽追上小明用了4分鐘．（2）因?yàn)?80×4＝720（米），1000－720＝280（米）．所以，追上小明時(shí)，距離學(xué)校還有280米．設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生親身體驗(yàn)追趕過程的基礎(chǔ)上，比較容易畫出“線段圖”，可以讓他們獨(dú)立完成，教師可以適當(dāng)幫助一些有問題的學(xué)生．充分利用生活實(shí)踐自己去提出問題并解決問題，這樣更有利于擴(kuò)展學(xué)生的思考空間，親身體會數(shù)學(xué)變式問題的趣味性，感受到數(shù)學(xué)的實(shí)用性．三種語言的轉(zhuǎn)換在教師點(diǎn)撥引導(dǎo)、學(xué)生探究分析過程中自然滲透、自然轉(zhuǎn)換，讓學(xué)生體會各種表達(dá)方式的優(yōu)越性．另外，求爸爸追上小明時(shí)離學(xué)校還有多遠(yuǎn)，由于學(xué)生的思路不同，學(xué)生的解決方法就不同，有“總路程減去小明走過的路程＝剩余路程”，即1000－80×（4＋5）＝280（米），也有“總路程減去爸爸走過的路程＝剩余路程”，即1000－180×4＝280（米），出現(xiàn)這些不同的見解，教師就因勢利導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的思維的靈活性，拓寬學(xué)生思路．探究二：拓展提升拓展1：如果媽媽要趕在小明進(jìn)校門之前把書送到，那么小明媽媽的速度最少應(yīng)為多少？師生活動：學(xué)生了解題意，畫出線段圖，建議教師讓學(xué)生板演“線段圖”，通過展示不同學(xué)生的“線段圖”進(jìn)行比較、分析，取長補(bǔ)短，讓學(xué)生去體會怎樣畫“線段圖”等量關(guān)系表示的更清楚，同時(shí)，提示學(xué)生體會提出的問題，邊解決問題，邊在圖上標(biāo)注一些相關(guān)的點(diǎn)，為了說明方便，也可借助字母表示點(diǎn)，這樣經(jīng)過再次補(bǔ)充，充實(shí)自己的線段圖，結(jié)合線段圖找出等量關(guān)系，同時(shí)豐富了畫“線段圖”的體驗(yàn)及畫圖技巧．解：如圖，設(shè)小明媽媽的速度最少應(yīng)為x米/分鐘．根據(jù)題意，得x＝1000．化簡，得7.5x＝1000．x＝．因此，小明媽媽的速度最少應(yīng)為米/分鐘．設(shè)計(jì)意圖：改變引例情境，學(xué)生通過展開討論，動手畫出線段圖，在進(jìn)行圖形語言、符號語言與文字語言的相互轉(zhuǎn)化中，理解題中的等量關(guān)系，不同的思路就會出現(xiàn)等量關(guān)系的不同表現(xiàn)形式，從而列出不同的式子．兩個(gè)拓展題目有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，凸顯“線段圖”的直觀演示，是建立方程的有利工具．拓展2：若當(dāng)小明到校后發(fā)現(xiàn)忘帶英語書，打電話通知媽媽送來．媽媽立即以180米/分鐘的速度從家出發(fā)，同時(shí)小明以100米/分鐘的速度從學(xué)校返回，兩人幾分鐘后相遇？師生活動：情境由追擊變成了相遇，解決這個(gè)問題時(shí)，有的同學(xué)一下找不著思路．教學(xué)時(shí)讓學(xué)生親身體驗(yàn)相遇過程，同時(shí)把這個(gè)問題分解成幾個(gè)小問題，邊引導(dǎo)邊提問，逐一解決，降低難度，幫助學(xué)生理出思路，解決問題．解：如圖，設(shè)兩人x分鐘后相遇．根據(jù)題意，得180x＋100x＝1000．化簡，得280x＝1000．x＝．因此，兩人分鐘后相遇．設(shè)計(jì)意圖：及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生借助“線段圖”對追擊問題和相遇問題的基本等量關(guān)系進(jìn)行總結(jié)．【典型例題】例1.A，B兩站相距300千米，一列快車從A站開出，行駛速度是每小時(shí)60千米，一列慢車從B站開出，行駛速度是每小時(shí)40千米，問：（1）兩車同時(shí)開出，相向而行，幾小時(shí)后相遇？（2）快車先開15分鐘，兩車相向而行，快車開出幾小時(shí)后兩車相遇？（3）兩車同時(shí)同向開出，慢車在前，出發(fā)后多長時(shí)間快車追上慢車？（4）慢車先開30分鐘，兩車同向而行，慢車在前，快車出發(fā)后多長時(shí)間追上慢車？此時(shí)慢車行駛了多少千米？分析：（1）（2）兩問都屬于相遇問題；（3）（4）兩問屬于追及問題．可借助線段圖分析，找出等量關(guān)系列方程．如圖所示．解：（1）設(shè)兩車行駛x小時(shí)后相遇．依題意得60x＋40x＝300，解得x＝3．所以兩車同時(shí)開出3小時(shí)后相遇．（2）設(shè)快車開出x小時(shí)后兩車相遇，則慢車行駛了小時(shí)．依題意得60x＋40＝300，解得x＝3.1．所以快車開出3.1小時(shí)后兩車相遇．（3）設(shè)兩車出發(fā)x小時(shí)后快車追上慢車．依題意，得60x＝300＋40x．解得x＝15．所以兩車出發(fā)15小時(shí)后快車追上慢車．（4）設(shè)快車出發(fā)x小時(shí)后追上慢車．依題意，得60x＝300＋40×＋40x，解得x＝16．40×＋40x＝20＋40×16＝660（千米）．所以快車出發(fā)16小時(shí)后追上慢車，此時(shí)慢車行駛了660千米．例2．A、B兩地相距112千米，甲、乙兩人駕車同時(shí)從A、B兩地相向而行，甲比乙每小時(shí)多行4千米，經(jīng)過兩小時(shí)后兩人相遇，求甲、乙兩人每小時(shí)各行多少千米？分析：甲速＝乙速＋4．甲行程＋乙行程＝A、B兩地距離112千米．解：設(shè)乙每小時(shí)行x千米，則甲每小時(shí)行（x＋4）千米，根據(jù)題意，得2（x＋4）＋2x＝112，解這個(gè)方程，得x＝26．當(dāng)x＝26時(shí)，x＋4＝30．答：甲每小時(shí)行30千米，乙每小時(shí)行26千米．例3．甲、乙兩車自南向北行駛，甲車的速度是每小時(shí)48千米，乙車的速度是每小時(shí)72千米，甲車開出25分鐘后，乙車開出，問幾小時(shí)后乙車追上甲車？解：設(shè)x小時(shí)后乙車追上甲車，根據(jù)題意，得48＝72x，解這個(gè)方程，得x＝．答：小時(shí)后，乙車追上甲車．例4．小彬和小明每天早晨堅(jiān)持跑步，小彬每秒跑4米，小明每秒跑6米．（1）如果他們站在百米跑道的兩端同時(shí)相向起跑，那么幾秒后兩人相遇？（2）如果小明站在百米跑道的起點(diǎn)處，小彬站在他前面的10米處，兩人同時(shí)同向起跑，幾秒后小明能追上小彬？分析：第（1）問是相遇問題．等量關(guān)系是：小彬行程＋小明行程＝兩人間距離100米．第（2）問是追及問題．等量關(guān)系是：小明行程＝小彬行程＋兩人間的距離10米．解：（1）設(shè)x秒后兩人相遇．根據(jù)題意，得4x＋6x＝100，解這個(gè)方程，得x＝10．答：10秒后兩人相遇．（2）設(shè)x秒后小明能追上小彬．根據(jù)題意，得6x＝4x＋10，解這個(gè)方程，得x＝5．答：小明5秒后追上小彬．設(shè)計(jì)意圖：在行程問題中，畫線段圖，利用線段間的和差關(guān)系，可以幫助我們分析題意，找出題目中的等量關(guān)系．【隨堂練習(xí)】1.（1）某人上山的速度為v，后又沿原路下山，速度是上山時(shí)速度的2倍，那么這個(gè)人上、下山的平均速度是（C）．A． B． C． D．（2）某船順流航行的速度為20km/h，逆流航行的速度為16km/h，則水流速度為（單位：km/h）（A）．A．2 B．4 C．18 D．36（3）一個(gè)旅客乘坐火車甲，他看見迎面來了一列火車乙從他身邊駛過，當(dāng)火車乙完全從他身邊離開時(shí)則有（B）．A．甲、乙火車所走路程之和＝甲車車身長B．甲、乙火車所走路程之和＝乙車車身長C．甲、乙火車所走路程之和＝甲、乙兩車車身之和D．甲、乙火車所走路程之和＝甲、乙兩車車身之差2．甲、乙兩同學(xué)從學(xué)校去縣城，甲每小時(shí)走4千米，乙每小時(shí)走6千米，甲先出發(fā)1小時(shí)，結(jié)果乙還比甲早到1小時(shí)，若設(shè)學(xué)校距縣城為x千米，則根據(jù)題意列方程得__________．3．A，B兩站相距300千米，一列快車從A站開出，行駛速度是每小時(shí)60千米，一列慢車從B站開出，行駛速度是每小時(shí)40千米，問：（1）兩車同時(shí)開出，相向而行，幾小時(shí)后相遇？（2）慢車先開30分鐘，兩車同向而行，慢車在前，快車出發(fā)后多長時(shí)間追上慢車？此時(shí)慢車行駛了多少千米？解：（1）設(shè)兩車行駛x小時(shí)后相遇，依題意，得60x＋40x＝300，解得x＝3，答：兩車同時(shí)開出3小時(shí)后相遇．（2）設(shè)快車出發(fā)x小時(shí)后追上慢車，依題意，得，解得x＝16．所以40×＋40x＝20＋40×16＝6