平面問(wèn)題有限元

平面問(wèn)題有限元第1頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3-1 有限單元法的計(jì)算步驟3-2 平面問(wèn)題的常應(yīng)變(三角形)單元3-3 單元?jiǎng)偠染仃?-4 單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x及其性質(zhì)3-5 平面問(wèn)題的矩形單元3-6 六節(jié)點(diǎn)三角形單元3-7 單元載荷移置3-8 整體分析3-9 整體剛度矩陣的形成3-10 整體剛度矩陣的特點(diǎn)3-11 支承條件的處理3-12 應(yīng)力計(jì)算4/29/2023第2頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一彈性力學(xué)平面問(wèn)題的有限單元法包括五個(gè)主要步驟：

1、所分析問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模2、離散化3、單元分析4、整體分析與求解5、結(jié)果分析4/29/2023圖3-1第3頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

有限單元法的基礎(chǔ)是用所謂有限個(gè)單元的集合體來(lái)代替原來(lái)的連續(xù)體，因而必須將連續(xù)體簡(jiǎn)化為由有限個(gè)單元組成的離散體。 對(duì)于平面問(wèn)題，最簡(jiǎn)單，因而最常用的單元是三角形單元。 因平面問(wèn)題的變形主要為平面變形，故平面上所有的節(jié)點(diǎn)都可視為平面鉸，即每個(gè)節(jié)點(diǎn)有兩個(gè)自由度。單元與單元在節(jié)點(diǎn)處用鉸相連，作用在連續(xù)體荷載也移置到節(jié)點(diǎn)上，成為節(jié)點(diǎn)荷載。如節(jié)點(diǎn)位移或其某一分量可以不計(jì)之處，就在該節(jié)點(diǎn)上安置一個(gè)鉸支座或相應(yīng)的連桿支座。如圖3-14/29/2023第4頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4/29/20231、位移函數(shù)如果彈性體的位移分量是坐標(biāo)的已知函數(shù)，則可用幾何方程求應(yīng)變分量，再?gòu)奈锢矸匠糖髴?yīng)力分量。但對(duì)一個(gè)連續(xù)體，內(nèi)部各點(diǎn)的位移變化情況很難用一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)來(lái)描繪。有限單元法的基本原理是分塊近似，即將彈性體劃分成若干細(xì)小網(wǎng)格，在每一個(gè)單元范圍內(nèi)，內(nèi)部各點(diǎn)的位移變化情況可近似地用簡(jiǎn)單函數(shù)來(lái)描繪。對(duì)每個(gè)單元，可以假定一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)，用它近似表示該單元的位移。這個(gè)函數(shù)稱為位移函數(shù)，或稱為位移模式、位移模型、位移場(chǎng)。對(duì)于平面問(wèn)題，單元位移函數(shù)可以用多項(xiàng)式表示，多項(xiàng)式中包含的項(xiàng)數(shù)越多，就越接近實(shí)際的位移分布，越精確。但選取多少項(xiàng)數(shù)，要受單元型式的限制。第5頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

三結(jié)點(diǎn)三角形單元六個(gè)節(jié)點(diǎn)位移只能確定六個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)，所以平面問(wèn)題的3節(jié)點(diǎn)三角形單元的位移函數(shù)如下，該位移函數(shù)，將單元內(nèi)部任一點(diǎn)的位移設(shè)定為坐標(biāo)的線性函數(shù)，該位移模式很簡(jiǎn)單。其中為廣義坐標(biāo)或待定系數(shù)，可據(jù)節(jié)點(diǎn)i、j、m的位移值和坐標(biāo)值求出。位移函數(shù)寫成矩陣形式為：第6頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4/29/2023最終確定六個(gè)待定系數(shù)其中為2A第1行各個(gè)元素的代數(shù)余子式，a(i,j,m),b(i,j,m),c(i,j,m)只是記號(hào)，表示此方陣僅與x(i,j,m),y(i,j,m)有關(guān)。

第7頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4/29/2023令（下標(biāo)i，j，m輪換）簡(jiǎn)寫為[I]是單位矩陣，[N]稱為形函數(shù)矩陣，Ni只與單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)，稱為單元的形狀函數(shù)第8頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一據(jù)彈性力學(xué)幾何方程得單元的應(yīng)變分量由于三節(jié)點(diǎn)三角形單元的位移函數(shù)為線性函數(shù)，則單元的應(yīng)變分量均為常量，故這類三角形單元稱為常應(yīng)變單元（位移在單元內(nèi)和邊界上為線性變化，應(yīng)變?yōu)槌Ａ浚?/29/2023第9頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2、形函數(shù)的特點(diǎn)及性質(zhì)1)形函數(shù)Ni為x、y坐標(biāo)的函數(shù)，與位移函數(shù)有相同的階次。2)形函數(shù)Ni在i節(jié)點(diǎn)處的值等于1，而在其他節(jié)點(diǎn)上的值為0。即4/29/20233)單元內(nèi)任一點(diǎn)的三個(gè)形函數(shù)之和恒等于1。4)形函數(shù)的值在0—1間變化。第10頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4/29/20233、收斂性分析選擇單元位移函數(shù)時(shí)，應(yīng)當(dāng)保證有限元法解答的收斂性，即當(dāng)網(wǎng)格逐漸加密時(shí)，有限元法的解答應(yīng)當(dāng)收斂于問(wèn)題的正確解答。因此，選用的位移模式應(yīng)當(dāng)滿足下列條件：位移函數(shù)必須含單元常量應(yīng)變。單元必須能反映單元的剛體位移（即單元應(yīng)變?yōu)?時(shí)的位移）。前面位移函數(shù)改寫為（注意：為0）則單元?jiǎng)傮w位移為顯然，位移函數(shù)包含了單元的剛體位移（平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)）第11頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一(3)位移函數(shù)在單元內(nèi)部必須連續(xù)位移。因?yàn)榫€性函數(shù)，內(nèi)部連續(xù)(4)位移函數(shù)必須保證相鄰單元在公共邊界處的位移協(xié)調(diào)（即在公共邊界上位移值相同）。如右圖設(shè)公共邊界直線方程為y=Ax+B，代入位移函數(shù)可得：邊界上位移為 顯然，u,v仍為線性函數(shù)，即公共邊界上位移連續(xù)協(xié)調(diào)。 綜上所述，常應(yīng)變?nèi)切螁卧奈灰坪瘮?shù)滿足解的收斂性條件，稱此單元為協(xié)調(diào)單元4/29/2023y=Ax+B邊界不協(xié)調(diào)產(chǎn)生裂縫邊界不協(xié)調(diào)產(chǎn)生重迭第12頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4/29/2023例題：圖示等腰三角形單元，求其形函數(shù)矩陣[N]。第13頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

由三角形的面積把上步求得的a(i,j,m),b(i,j,m),c(i,j,m)代入第14頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4、應(yīng)力、應(yīng)變矩陣將位移函數(shù)代入平面問(wèn)題幾何方程，得應(yīng)變矩陣：4/29/2023第15頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一應(yīng)力矩陣由平面問(wèn)題物理方程得：應(yīng)變矩陣[B]反映了單元內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)變與節(jié)點(diǎn)位移間的關(guān)系應(yīng)力矩陣[S]反映了單元內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力與節(jié)點(diǎn)位移間的關(guān)系顯然，常應(yīng)變?nèi)切螁卧膽?yīng)變矩陣[B]為常量矩陣，說(shuō)明在該單元上的應(yīng)力和應(yīng)變?yōu)槌Ｖ怠Ｓ纱丝梢?，在相鄰單元的邊界處，?yīng)變及應(yīng)力不連續(xù)，有突變。4/29/2023第16頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4/29/2023yiFixmFxjFxiFymFyjFmj*yiFi*xmF*xjF*xiF*ymF*yjFmjys*xy*y*xgeexytxs(a)節(jié)點(diǎn)力、內(nèi)部應(yīng)力(b)虛位移、虛應(yīng)變

討論單元內(nèi)部的應(yīng)力與單元的節(jié)點(diǎn)力的關(guān)系，導(dǎo)出用節(jié)點(diǎn)位移表示節(jié)點(diǎn)力的表達(dá)式。由應(yīng)力推算節(jié)點(diǎn)力，需要利用平衡方程。采用虛功方程表示出平衡方程，即外力在虛位移上所作的虛功等于應(yīng)力在虛應(yīng)變上作的虛應(yīng)變功。第17頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

考慮上圖三角形單元的實(shí)際受力，節(jié)點(diǎn)力和內(nèi)部應(yīng)力為：

任意虛設(shè)位移，節(jié)點(diǎn)位移與內(nèi)部應(yīng)變?yōu)榈?8頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

令實(shí)際受力狀態(tài)在虛設(shè)位移上作虛功，外力虛功為第19頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

計(jì)算內(nèi)力虛功時(shí)，從彈性體中截取微小矩形，邊長(zhǎng)為dx和dy，厚度為t，圖示微小矩形的實(shí)際應(yīng)力和虛設(shè)變形。第20頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

微小矩形的內(nèi)力虛功為整個(gè)彈性體的內(nèi)力虛功為第21頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

根據(jù)虛功原理，得這就是彈性平面問(wèn)題的虛功方程，實(shí)質(zhì)是外力與應(yīng)力之間的平衡方程。虛應(yīng)變可以由節(jié)點(diǎn)虛位移求出：代入虛功方程第22頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

接上式，將應(yīng)力用節(jié)點(diǎn)位移表示出有令實(shí)際上，單元?jiǎng)偠汝嚨囊话愀袷娇杀硎緸?/p>

則建立了單元的節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系，稱為單元?jiǎng)偠染仃嚒Ｋ?*6矩陣，其元素表示該單元的各節(jié)點(diǎn)沿坐標(biāo)方向發(fā)生單位位移時(shí)引起的節(jié)點(diǎn)力，它決定于該單元的形狀、大小、方位和彈性常數(shù)，而與單元的位置無(wú)關(guān)，即不隨單元或坐標(biāo)軸的平行移動(dòng)而改變。第23頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

由于[D]中元素是常量，而在線性位移模式下，[B]中的元素也是常量，且因此可以進(jìn)一步得出平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題中的單元?jiǎng)偠染仃嚒５?4頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一單元?jiǎng)偠染仃嚳捎洖榉謮K矩陣形式將應(yīng)變矩陣[B]的分塊陣代入單元?jiǎng)偠染仃?，可得其子塊計(jì)算式：對(duì)于常應(yīng)變?nèi)切螁卧?，考慮平面應(yīng)力問(wèn)題彈性矩陣[D]，可得4/29/2023第25頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

上述推導(dǎo)單元?jiǎng)偠染仃嚨倪^(guò)程可歸納為單元?jiǎng)傟嘯K]的物理意義是單元受節(jié)點(diǎn)力作用后抗變形的能力。其元素的意義為：當(dāng)?shù)趈個(gè)自由度發(fā)生單位位移，而其他自由度的位移為0時(shí)，在第i個(gè)自由度上所施加的力。若按節(jié)點(diǎn)來(lái)說(shuō)明，則剛陣中每個(gè)子塊表示：當(dāng)節(jié)點(diǎn)j處發(fā)生單位位移，而其他節(jié)點(diǎn)固定時(shí)，在節(jié)點(diǎn)i上所施加的力。{}s[]tABT[]tA]B][D[]B[KTe={}ed{}e{}eF[]D[]B[]]B][D[S=(6)(3)(3)(6╳3)(3╳3)(3╳6)(3╳6)(6╳6)第26頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系：(以簡(jiǎn)單平面桁架為例)平面問(wèn)題中，離散化的單元組合體極為相似，單元組合體在節(jié)點(diǎn)載荷的作用下，節(jié)點(diǎn)對(duì)單元、單元對(duì)節(jié)點(diǎn)都有作用力與反作用力存在，大小相等方向相反，統(tǒng)稱為節(jié)點(diǎn)力。節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系前面已經(jīng)求出：第27頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x：將寫成分塊矩陣寫成普通方程其中表示節(jié)點(diǎn)S(S=i,j,m)產(chǎn)生單位位移時(shí)，在節(jié)點(diǎn)r(r=i,j,m)上所需要施加的節(jié)點(diǎn)力的大小。第28頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x：將節(jié)點(diǎn)力列矩陣與節(jié)點(diǎn)位移列矩陣均展開成(6*1)階列矩陣，單元?jiǎng)偠染仃囅鄳?yīng)地展開成(6*6)階方陣：元素K的腳碼，標(biāo)有“-”的表示水平方向，沒有標(biāo)“-”的表示垂直方向。第29頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x：

單元?jiǎng)偠染仃嚨拿恳粋€(gè)元素都有明顯的物理意義。表示節(jié)點(diǎn)S(S=i,j,m)在水平方向、垂直方向產(chǎn)生單位位移時(shí)，在節(jié)點(diǎn)r(r=i,j,m)上分別所要施加的水平節(jié)點(diǎn)力和垂直節(jié)點(diǎn)力的大小。例如表示節(jié)點(diǎn)j在垂直方向產(chǎn)生單位位移時(shí)，在節(jié)點(diǎn)i所需要施加的水平節(jié)點(diǎn)力的大小。第30頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1）單元?jiǎng)偠染仃囀菍?duì)稱陣，(只要證明)2）單元?jiǎng)傟囍鲗?duì)角線元素恒為正值；因?yàn)橹鲗?duì)角元素表示力的方向和位移方向一致，故功總為正值。3）單元?jiǎng)傟囀瞧娈愱?，即|K|=0，這是因?yàn)橛?jì)算單元?jiǎng)傟嚂r(shí)沒有對(duì)單元的節(jié)點(diǎn)加以約束，雖然，單元處于平衡狀態(tài)，但容許單元產(chǎn)生剛體位移，故從單元?jiǎng)偠绕胶夥匠滩豢赡艿玫轿ㄒ晃灰平?，只能得到唯一的?jié)點(diǎn)力解。4）單元?jiǎng)傟囁衅鏀?shù)行的對(duì)應(yīng)元素之和為零，所有偶數(shù)行的對(duì)應(yīng)元素之和也為零。由此可見，單元?jiǎng)傟嚫髁性氐目偤蜑榱?。由?duì)稱性可知，各行元素的總和也為零。4/29/2023第31頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

例題：求下圖所示單元的剛度矩陣，設(shè)4/29/20231、求[B]2、求[D]3、求[S]4、求第32頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一幾點(diǎn)說(shuō)明：1）單元?jiǎng)偠确匠淌菨M足節(jié)點(diǎn)力平衡條件而建立的，即有限元方程是一組節(jié)點(diǎn)力平衡方程組。2）單元內(nèi)任一點(diǎn)位置的平衡條件往往不滿足，即微分平衡方程可能不滿足。對(duì)于非線性單元，位移函數(shù)常不滿足以位移為未知量的平衡方程，對(duì)線性單元，因位移函數(shù)為線性的，應(yīng)變、應(yīng)力為常量，可以滿足單元內(nèi)平衡。3）單元之間的平衡條件一般得不到滿足，線性單元的應(yīng)力為常量，單元間應(yīng)力有突變，明顯不滿足平衡條件。4/29/2023第33頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一利用節(jié)點(diǎn)位移，可待定系數(shù)4/29/2023xyi(1,-1)j(1,1)l(-1,1)m(-1,-1)

矩形單元是平面問(wèn)題常用的一種單元，尤其是邊界比較規(guī)則的平面結(jié)構(gòu)，如圖2a*2b的4節(jié)點(diǎn)8自由度矩形單元。位移函數(shù)取無(wú)量綱坐標(biāo)，得矩陣表示第34頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一代入系數(shù)至位移函數(shù)，并整理成位移插值函數(shù)Ni為形函數(shù)，仍具有前述的形函數(shù)的基本性質(zhì)記為矩陣形式，I為單位矩陣可以證明該位移函數(shù)滿足收斂性條件，單元為協(xié)調(diào)元4/29/2023第35頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一應(yīng)變矩陣4/29/2023應(yīng)變矩陣[B]的元素是x，y的函數(shù)，所以，矩形單元中的應(yīng)變不是常量，而是隨x或y線性變化的，顯然，應(yīng)力也是隨x或y線性變化的。較常應(yīng)變單元有更高的計(jì)算精度第36頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一將剛陣記為分塊形式其子塊的計(jì)算為（雖然該計(jì)算式是從三角形推導(dǎo)的，但它是一般格式，適用于所有單元）4/29/2023第37頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一面積坐標(biāo)稱為p點(diǎn)的面積坐標(biāo)，顯然三個(gè)面積坐標(biāo)不完全獨(dú)立，有如下關(guān)系實(shí)際為三角形的高與高的比，即平行jm線的直線上的所有點(diǎn)有相同的。同時(shí)，易得4/29/2023ijmp第38頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一將三角形頂點(diǎn)ijm坐標(biāo)與p點(diǎn)坐標(biāo)代入面積坐標(biāo)，則得面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)xoy的關(guān)系式比較與常應(yīng)變?nèi)切蔚男魏瘮?shù)可知，兩者相同4/29/2023第39頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一如圖六節(jié)點(diǎn)12自由度三角形單元位移函數(shù)：?jiǎn)卧獌?nèi)任意一點(diǎn)的位移位移函數(shù)用6個(gè)節(jié)點(diǎn)位移與相應(yīng)的形函數(shù)來(lái)表示4/29/2023i(1,0,0)j(0,1,0)m(0,0,1)1(1/2,1/2,0)2(0,1/2,/2)3(1/2,0,1/2)第40頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一應(yīng)變矩陣4/29/2023從上可知：位移為面積坐標(biāo)或直角坐標(biāo)的二次函數(shù)，應(yīng)變或應(yīng)力為面積坐標(biāo)或直角坐標(biāo)的一次式，即在單元內(nèi)位移為二次變化，應(yīng)變或應(yīng)力為線性變化第41頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一將剛陣記為分塊形式4/29/2023其子塊的計(jì)算為(雖然該計(jì)算式是從三角形推導(dǎo)的，但它是一般格式，適用于所有單元)第42頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

連續(xù)彈性體離散為單元組合體時(shí)，為簡(jiǎn)化受力情況，需把彈性體承受的任意分布的載荷都向節(jié)點(diǎn)移置(分解)，而成為節(jié)點(diǎn)載荷。如果彈性體承受的載荷全都是集中力，則將所有集中力的作用點(diǎn)取為節(jié)點(diǎn)，就不存在移置的問(wèn)題，集中力就是節(jié)點(diǎn)載荷。但實(shí)際問(wèn)題往往受有分布的面力和體力，都不可能只作用在節(jié)點(diǎn)上。因此，必須進(jìn)行載荷移置。如果集中力的作用點(diǎn)未被取為節(jié)點(diǎn)，該集中力也要向節(jié)點(diǎn)移置。將載荷移置到節(jié)點(diǎn)上，必須遵循靜力等效的原則。靜力等效是指原載荷與節(jié)點(diǎn)載荷在任意虛位移上做的虛功相等。在一定的位移模式下，移置結(jié)果是唯一的，且總能符合靜力等效原則。第43頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一載荷移置的原則：能量等效，即單元的實(shí)際載荷與移置后的節(jié)點(diǎn)載荷在相應(yīng)的虛位移上所做的虛功相等載荷移置的條件：圣維南原理載荷移置的方法：

1）直接法（靜力等效法，虛功移置法）

2）普遍公式法4/29/20230.5ql0.5ql0.5ql0.5qlMM靜力等效第44頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

虛功移置：在線性位移模式下，對(duì)于常見的一些載荷，可以通過(guò)簡(jiǎn)單的虛功計(jì)算得節(jié)點(diǎn)載荷。即移置前后虛功相等。如均質(zhì)等厚度的三角形單元所受的重力，把1/3的重力移到每個(gè)節(jié)點(diǎn)，即yjcbxiwlmmyiYjYyjcbxiwlmmxiXjX1/3第45頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

例：總載荷的2/3移置到節(jié)點(diǎn)i，1/3移置到節(jié)點(diǎn)j，與原載荷同向yxmjip=0.5qLiX=2/3pjX=1/3pjL=2/3LiL=1/3LyxmjiqL第46頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

普遍公式法集中力的移置體力的移置分布面力的移置在線性位移模式下，用直接計(jì)算法簡(jiǎn)單；非線性模式下，要用普遍公式計(jì)算。第47頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4/29/2023圖示結(jié)構(gòu)的網(wǎng)格共有四個(gè)單元和六個(gè)節(jié)點(diǎn)。在節(jié)點(diǎn)1、4、6共有四個(gè)支桿支承。結(jié)構(gòu)的載荷已經(jīng)轉(zhuǎn)移為結(jié)點(diǎn)載荷。整體分析的四個(gè)步驟：1、建立整體剛度矩陣；2、根據(jù)支承條件修改整體剛度矩陣；3、解方程組，求節(jié)點(diǎn)位移；4、根據(jù)節(jié)點(diǎn)位移求出應(yīng)力。單元分析得出單元?jiǎng)偠染仃?，下面，將各單元組合成結(jié)構(gòu)，進(jìn)行整體分析。第48頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4/29/20231、建立整體剛度矩陣(也叫作結(jié)構(gòu)剛度矩陣)

上圖中的結(jié)構(gòu)有六個(gè)節(jié)點(diǎn)，共有12個(gè)節(jié)點(diǎn)位移分量和12個(gè)節(jié)點(diǎn)力分量。由結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移向量求結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)力向量時(shí)，轉(zhuǎn)換關(guān)系為：分塊形式為：其中子向量和都是二階向量，子矩陣是二行二列矩陣，整體剛度矩陣[K]是12*12階矩陣。第49頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4/29/20232、根據(jù)支承條件修改整體剛度矩陣建立整體剛度矩陣時(shí)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移當(dāng)作未知量看待，沒有考慮具體的支承情況，因此進(jìn)行整體分析時(shí)還要針對(duì)支承條件加以處理。在上圖的結(jié)構(gòu)中，支承條件共有四個(gè)，即在節(jié)點(diǎn)1、4、6的四個(gè)支桿處相應(yīng)位移已知為零：建立節(jié)點(diǎn)平衡方程時(shí)，應(yīng)根據(jù)上述邊界條件進(jìn)行處理。3、解方程組，求出節(jié)點(diǎn)位移。通常采用消元法和迭代法兩種方法。4、根據(jù)節(jié)點(diǎn)位移求出應(yīng)力。第50頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

整體剛度矩陣是單元?jiǎng)偠染仃嚨募伞?、剛度集成法的物理概念：剛度矩陣中的元素，即由節(jié)點(diǎn)作單位位移時(shí)引起的節(jié)點(diǎn)力。在單元?jiǎng)傟囍?，表示j節(jié)點(diǎn)單位位移，其他節(jié)點(diǎn)位移為零時(shí)，單元e在i節(jié)點(diǎn)引起的節(jié)點(diǎn)力；類似，在整體剛陣中，表示j節(jié)點(diǎn)單位位移，其他節(jié)點(diǎn)位移為零時(shí)，整體結(jié)構(gòu)在i節(jié)點(diǎn)引起的節(jié)點(diǎn)力(由于結(jié)構(gòu)已被離散為一系列單元，即所有與i、j節(jié)點(diǎn)相關(guān)的單元在i節(jié)點(diǎn)引起的節(jié)點(diǎn)力之和)。如上圖結(jié)構(gòu)，計(jì)算時(shí)，與節(jié)點(diǎn)2和3相關(guān)的單元有單元①和③，當(dāng)節(jié)點(diǎn)3發(fā)生單位位移時(shí)，相關(guān)單元①和③同時(shí)在節(jié)點(diǎn)2引起節(jié)點(diǎn)力，將相關(guān)單元在節(jié)點(diǎn)2的節(jié)點(diǎn)力相加，就得出結(jié)構(gòu)在節(jié)點(diǎn)2的節(jié)點(diǎn)力。由此看出，結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)是相關(guān)單元的剛度系數(shù)的集成，結(jié)構(gòu)剛度矩陣中的子塊是相關(guān)單元的對(duì)應(yīng)子塊的集成。第51頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4/29/20232、剛度矩陣的集成方法：1）在整體離散結(jié)構(gòu)變形后，應(yīng)保證各單元在節(jié)點(diǎn)處仍然協(xié)調(diào)地相互連接，即在該節(jié)點(diǎn)處所有單元在該節(jié)點(diǎn)上有相同位移，2）整體離散結(jié)構(gòu)各節(jié)點(diǎn)應(yīng)滿足平衡條件。即環(huán)繞每個(gè)節(jié)點(diǎn)的所有單元作用其上的節(jié)點(diǎn)力之和應(yīng)等于作用于該節(jié)點(diǎn)上的節(jié)點(diǎn)載荷Ri，12i

3412i

Ri34第52頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2、整體剛度矩陣的集成方法具體集成方法是：先對(duì)每個(gè)單元求出單元?jiǎng)偠染仃?，然后將其中的每個(gè)子塊送到結(jié)構(gòu)剛度矩陣中的對(duì)應(yīng)位置上去，進(jìn)行迭加之后即得出結(jié)構(gòu)剛度矩陣[K]的子塊，從而得出結(jié)構(gòu)剛度矩陣[K]。關(guān)鍵是如何找出中的子塊在[K]中的對(duì)應(yīng)位置。這需要了解單元中的節(jié)點(diǎn)編碼與結(jié)構(gòu)中的節(jié)點(diǎn)編碼之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。4/29/2023第53頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4/29/2023結(jié)構(gòu)中的節(jié)點(diǎn)編碼稱為節(jié)點(diǎn)的總碼，各個(gè)單元的三個(gè)節(jié)點(diǎn)又按逆時(shí)針方向編為i,j,m,稱為節(jié)點(diǎn)的局部碼。單元?jiǎng)偠染仃囍械淖訅K是按節(jié)點(diǎn)的局部碼排列的，而結(jié)構(gòu)剛度矩陣中的子塊是按節(jié)點(diǎn)的總碼排列的。因此，在單元?jiǎng)偠染仃囍校压?jié)點(diǎn)的局部碼換成總碼，并把其中的子塊按照總碼次序重新排列。第54頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4/29/2023以單元②為例，局部碼i,j,m對(duì)應(yīng)于總碼5,2,4，因此子塊按照總碼重新排列后，得出擴(kuò)大矩陣為：而相應(yīng)的單元?jiǎng)偠确匠虨椋ɑ蚬?jié)點(diǎn)力表達(dá)式）：第55頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一用同樣的方法可得出其他單元的擴(kuò)大的單元?jiǎng)偠确匠?4/29/2023據(jù)節(jié)點(diǎn)力平衡，各個(gè)單元相應(yīng)節(jié)點(diǎn)力疊加：整理可得，整體平衡方程：第56頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4/29/2023整體平衡方程：

1）其中[K]為將各單元的擴(kuò)大矩陣迭加所得出的結(jié)構(gòu)剛度矩陣：集成包含搬家和迭加兩個(gè)環(huán)節(jié)：

A、將單元?jiǎng)偠染仃囍械淖訅K搬家，得出單元的擴(kuò)大剛度矩陣。

B、將各單元的擴(kuò)大剛度矩陣迭加，得出結(jié)構(gòu)剛度矩陣[K]。2）為節(jié)點(diǎn)載荷向量，為節(jié)點(diǎn)位移向量。第57頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4/29/2023第58頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4/29/2023在有限元法中，整體剛度矩陣的階數(shù)通常是很高的，在解算時(shí)常遇到矩陣階數(shù)高和存貯容量有限的矛盾。找到整體剛度矩陣的特性達(dá)到節(jié)省存貯容量的途徑。

1、對(duì)稱性。只存貯矩陣的上三角部分，節(jié)省近一半的存貯容量。

2、稀疏性。矩陣的絕大多數(shù)元素都是零，非零元素只占一小部分。第59頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4/29/20232、稀疏性。矩陣的絕大多數(shù)元素都是零，非零元素只占一小部分。

節(jié)點(diǎn)5只與周圍的六個(gè)節(jié)點(diǎn)(2、3、4、6、8、9)用三角形單元相連，它們是5的相關(guān)節(jié)點(diǎn)。只有當(dāng)這七個(gè)相關(guān)節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生位移時(shí)，才使該節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生節(jié)點(diǎn)力，其余節(jié)點(diǎn)發(fā)生位移時(shí)并不在該節(jié)點(diǎn)處引起節(jié)點(diǎn)力。因此，在矩陣[K]中，第5行的非零子塊只有七個(gè)(即與相關(guān)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的七個(gè)子塊)。第60頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4/29/20232、稀疏性一般，一個(gè)節(jié)點(diǎn)的相關(guān)結(jié)點(diǎn)不會(huì)超過(guò)九個(gè)，如果網(wǎng)格中有200個(gè)節(jié)點(diǎn)，則一行中非零子塊的個(gè)數(shù)與該行的子塊總數(shù)相比不大于9/200，即在5%以下，如果網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)越多，則剛度矩陣的稀疏性就越突出。利用矩陣[K]的稀疏性，可設(shè)法只存貯非零元素，從而可大量地節(jié)省存貯容量。第61頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

3、帶形分布規(guī)律。上圖中，矩陣[K]的非零元素分布在以對(duì)角線為中心的帶形區(qū)域內(nèi)，稱為帶形矩陣。在半個(gè)帶形區(qū)域中(包括對(duì)角線元素在內(nèi))，每行具有的元素個(gè)數(shù)叫做半帶寬，用d表示。半帶寬的一般計(jì)算公式是：半帶寬d=(相鄰結(jié)點(diǎn)碼的最大差值+1)*2

上圖中相鄰節(jié)點(diǎn)碼的最大差值為4，故d=(4+1)*2=10

利用帶形矩陣的特點(diǎn)并利用對(duì)稱性，可只存貯上半帶的元素，叫半帶存貯。

第62頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4/29/2023圖(a)中的矩陣[K]為n行n列矩陣，半帶寬為d。半帶存貯時(shí)從[K]中取出上半帶元素，按圖(b)中的矩陣的排列方式進(jìn)行存貯，即將上半部斜帶換成豎帶。存貯量n*d，存貯量與[K]中元素總數(shù)之比為d/n，d值越小，則存貯量約省。矩陣[K]矩陣對(duì)角線第1列

r行r行

r列45度斜線r行s列r行s-r+1列元素元素第63頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4/29/2023同一網(wǎng)格中，如果采用不同的節(jié)點(diǎn)編碼，則相應(yīng)的半帶寬d也可能不同。如圖，是同一網(wǎng)格的三種節(jié)點(diǎn)編碼，相鄰節(jié)點(diǎn)碼的最大差值分別為4、6、8，半帶寬分別為10、14、18。因此，應(yīng)當(dāng)采用合理的節(jié)點(diǎn)編碼方式，以便得到最小的半帶寬，從而節(jié)省存貯容量。第64頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一無(wú)約束結(jié)構(gòu)的整體剛陣是奇異的，即整體平衡方程的解不唯一，所以，必須引入幾何約束，才能求得唯一解。位移約束常分為：節(jié)點(diǎn)固定和給定節(jié)點(diǎn)位移兩種約束。由于引入位移約束條件通常在整體剛陣及節(jié)點(diǎn)載荷形成后進(jìn)行，即此時(shí)[K]、{R}中的元素均已按一定順序分別儲(chǔ)存于相應(yīng)的數(shù)組，故引入位移約束時(shí)，要求盡量不要打亂[K]、{R}的儲(chǔ)存順序。引入約束的方法常有：1）降階法2）對(duì)角元素置1法3）對(duì)角元素乘大數(shù)法4/29/2023第65頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1）降階法：此法將打亂[K]{R}的儲(chǔ)存順序，僅用于方法說(shuō)明。設(shè)節(jié)點(diǎn)位移中，