2023屆青海省海北市數(shù)學(xué)高二下期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，則的值()A．都大于1 B．都小于1C．至多有一個(gè)不小于1 D．至少有一個(gè)不小于12．已知、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線右支上的點(diǎn)，且，若坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離等于實(shí)半軸長(zhǎng)，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．3．歐拉公式（i為虛數(shù)單位）是由著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的，他將指數(shù)函數(shù)定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，根據(jù)歐拉公式，若將表示的復(fù)數(shù)記為z，則的值為（）A． B． C． D．4．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A． B． C． D．5．參數(shù)方程（為參數(shù)）對(duì)應(yīng)的普通方程為（）A． B．C． D．6．將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式為（）A． B．C． D．7．現(xiàn)有張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各張.從中任取張，要求這張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多張.不同取法的種數(shù)為A． B． C． D．8．我市擬向新疆哈密地區(qū)的三所中學(xué)派出5名教師支教，要求每所中學(xué)至少派遣一名教師，則不同的派出方法有（）A．300種 B．150種 C．120種 D．90種9．某單位為了落實(shí)“綠水青山就是金山銀山”理念,制定節(jié)能減排的目標(biāo),先調(diào)查了用電量y(單位:千瓦·時(shí))與氣溫x(單位:oC)之間的關(guān)系,隨機(jī)選取了4天的用電量與當(dāng)天氣溫,x（單位：oC171410-1y（單位：千瓦?時(shí)）24343864由表中數(shù)據(jù)得線性回歸方程:y=-2x+a,則由此估計(jì):當(dāng)某天氣溫為12oC時(shí),A．56千瓦?時(shí) B．36千瓦?時(shí) C．34千瓦?時(shí) D．38千瓦?時(shí)10．x+1A．第5項(xiàng) B．第5項(xiàng)或第6項(xiàng) C．第6項(xiàng) D．不存在11．已知回歸方程，而試驗(yàn)得到一組數(shù)據(jù)是，，，則殘差平方和是（）A．0.01 B．0.02 C．0.03 D．0.0412．己知一組樣本數(shù)據(jù)恰好構(gòu)成公差為5的等差數(shù)列，則這組數(shù)據(jù)的方差為A．25 B．50 C．125 D．250二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若隨機(jī)變量的分布列如表所示，則______.01Pa14．若復(fù)數(shù),其中是虛數(shù)單位,則__________.15．如果，且為第四象限角，那么的值是____.16．若雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，焦距為，且過(guò)點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)f(x)＝ex,g(x)＝lnx.(1)設(shè)f(x)在x1處的切線為l1,g(x)在x2處的切線為l2,若l1//l2,求x1＋g(x2)的值;(2)若方程af2(x)－f(x)－x＝0有兩個(gè)實(shí)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)設(shè)h(x)＝f(x)(g(x)－b),若h(x)在[ln2,ln3]內(nèi)單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).19．（12分）已知，.（1）證明：.（2）證明：.20．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）是否存在，使得在區(qū)間的最小值為且最大值為1？若存在，求出的所有值；若不存在，說(shuō)明理由.21．（12分）某小組10名學(xué)生參加的一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽的成績(jī)分別為：92、77、75、90、63、84、99、60、79、85，求總體平均數(shù)μ、中位數(shù)m、方差σ2和標(biāo)準(zhǔn)差σ；(列式并計(jì)算，結(jié)果精確到0.1)22．（10分）已知函數(shù).證明：；已知，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

先假設(shè)，這樣可以排除A，B.再令，排除C.用反證法證明選項(xiàng)D是正確的.【詳解】解:令，則，排除A，B.令，則，排除C.對(duì)于D，假設(shè)，則，相加得，矛盾，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了反證法的應(yīng)用，應(yīng)用特例排除法是解題的關(guān)鍵.2、B【解析】

利用題設(shè)條件和雙曲線性質(zhì)在三角形中尋找等量關(guān)系，得出a與c之間的等量關(guān)系，進(jìn)而求出雙曲線的離心率.【詳解】如圖，，，依題意，，

且，可知三角形是一個(gè)等腰直角三角形，

，，

在中，由余弦定理可得：

，

化簡(jiǎn)得，

該雙曲線的離心率為．

故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理，雙曲線的定義、簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，突出了對(duì)計(jì)算能力和綜合運(yùn)用知識(shí)能力的考查，屬中檔題．3、A【解析】

根據(jù)歐拉公式求出，再計(jì)算的值.【詳解】∵，∴.故選：A.【點(diǎn)睛】此題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，關(guān)鍵在于根據(jù)題意求出z.4、D【解析】

先求出函數(shù)的定義域，確定內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得出答案．【詳解】由題可得，即，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋趾瘮?shù)在上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和應(yīng)用、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．5、C【解析】

將參數(shù)方程消參后，可得普通方程，結(jié)合三角函數(shù)值域即可判斷定義域.【詳解】參數(shù)方程（為參數(shù)），消參后可得，因?yàn)樗约垂蔬x：C.【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，注意自變量取值范圍，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】分析：依據(jù)題的條件，根據(jù)函數(shù)的圖像變換規(guī)律，得到相應(yīng)的函數(shù)解析式，利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，可得結(jié)果.詳解：根據(jù)題意，將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變)，得到的函數(shù)圖像對(duì)應(yīng)的解析式為，再將所得圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的函數(shù)圖像對(duì)應(yīng)的解析式為，故選D.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)函數(shù)圖像的變換問(wèn)題，在求解的過(guò)程中，需要明確伸縮變換和左右平移對(duì)應(yīng)的規(guī)律，影響函數(shù)解析式中哪一個(gè)參數(shù)，最后結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可得結(jié)果.7、C【解析】試題分析：3張卡片不能是同一種顏色，有兩種情形：三種顏色或者兩種顏色，如果是三種顏色，取法數(shù)為，如果是兩種顏色，取法數(shù)為，所以取法總數(shù)為，故選C．考點(diǎn)：分類(lèi)加法原理與分步乘法原理．【名師點(diǎn)晴】（1）對(duì)于一些比較復(fù)雜的既要運(yùn)用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理又要運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理的問(wèn)題，我們可以恰當(dāng)?shù)禺?huà)出示意圖或列出表格，使問(wèn)題更加直觀、清晰．（2）當(dāng)兩個(gè)原理混合使用時(shí)，一般是先分類(lèi)，在每類(lèi)方法里再分步．8、B【解析】分析：根據(jù)題意，先選后排.①先選，將5名教師分成三組，有兩種方式，即1，1，3與1，2，2，注意去除重復(fù)部分；②后排，將分好的三組全排列，即可得到答案.詳解：根據(jù)題意：分兩步計(jì)算（1）將5名教師分成三組，有兩種方式即1，1，3與1，2，2；①分成1，1，3三組的方法有②分成1，2，2三組的方法有一共有種的分組方法；（2）將分好的三組全排列有種方法.則不同的派出方法有種.故選B.點(diǎn)睛：對(duì)于排列組合混合問(wèn)題，可先選出元素，再排列。9、B【解析】

計(jì)算出x和y的值，將點(diǎn)x,y的坐標(biāo)代入回歸直線方程，得出a的值，再將x=12代入可得出【詳解】由題意可得x=17+14+10-14由于回歸直線過(guò)樣本的中心點(diǎn)x,y，則-2×10+a回歸直線方程為y=-2x+60，當(dāng)x=12時(shí)，y=-2×12+60=36（千瓦·【點(diǎn)睛】本題考查回歸直線方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于利用回歸直線過(guò)樣本中心點(diǎn)x,10、C【解析】

根據(jù)題意，寫(xiě)出(x+1x)10展開(kāi)式中的通項(xiàng)為T(mén)r+1，令x【詳解】解：根據(jù)題意，(x+1x)令10-2r=0，可得r=5；則其常數(shù)項(xiàng)為第5+1=6項(xiàng)；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確應(yīng)用二項(xiàng)式定理，寫(xiě)出二項(xiàng)式展開(kāi)式，其次注意項(xiàng)數(shù)值與r的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題．11、C【解析】

因?yàn)闅埐?，所以殘差的平方和為?.1－5）2＋（6.9－7）2＋（9.1－9）2＝0.03.故選C.考點(diǎn)：殘差的有關(guān)計(jì)算.12、B【解析】

先計(jì)算數(shù)據(jù)平均值，再利用方差公式得到答案.【詳解】數(shù)據(jù)恰好構(gòu)成公差為5的等差數(shù)列故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)據(jù)的方差的計(jì)算，將平均值表示為是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先由分布列，根據(jù)概率的性質(zhì)求出，再求出期望，根據(jù)方差的計(jì)算公式，即可得出結(jié)果.【詳解】由分布列可得：，解得，所以，因此，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查求離散型隨機(jī)變量的方差，熟記計(jì)算公式即可，屬于?？碱}型.14、6【解析】

由可得，代入，利用復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算法則求解即可.【詳解】∵,∴.∴，故答案為6.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算法則以及共軛復(fù)數(shù)的定義，意在考查綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，屬于簡(jiǎn)單題.15、【解析】

利用先求得,再利用求解即可,注意利用角的范圍確定三角函數(shù)值的符號(hào).【詳解】由題,因?yàn)?且,則或,因?yàn)闉榈谒南笙藿?所以,則,所以,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查利用同角的三角函數(shù)關(guān)系求三角函數(shù)值,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，利用雙曲線的定義求出的值，結(jié)合焦距求出的值，從而可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意知，該雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，由雙曲線的定義可得，，則，因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查過(guò)點(diǎn)求雙曲線的方程，在雙曲線的焦點(diǎn)已知的前提下，可以利用定義來(lái)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，也可以利用待定系數(shù)法求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)0.(2)0<a<1.(3)b≥ln2＋.【解析】分析：（1）求導(dǎo)，利用l1//l2時(shí)k值相等，即可求出答案；（2）參變分離，利用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及數(shù)形結(jié)合即可得到答案；（3）由題意h(x)＝f(x)(g(x)－b)＝ex(lnx－b),求導(dǎo)，因?yàn)閔(x)在[ln2,ln3]內(nèi)單調(diào)遞減，所以在[ln2,ln3]上恒成立，再參變分離，分析討論即可.詳解：(1)f′(x)＝ex,g′(x)＝由題意知：＝故x1＋g(x2)＝x1－ln＝0.(2)方程af2(x)－f(x)－x＝0，ae2x－ex－x＝0，a＝令φ(x)＝,則φ′(x)＝－當(dāng)x<0時(shí)，ex<1,ex－1<0,所以ex＋2x－1<0，所以φ′(x)>0，故φ(x)單調(diào)增；當(dāng)x>0時(shí)，ex>1,ex－1>0,所以ex＋2x－1>0，所以φ′(x)<0，故φ(x)單調(diào)減.從而φ(x)max＝φ(0)＝1又，當(dāng)x>0時(shí)，φ(x)＝>0原方程有兩個(gè)實(shí)根等價(jià)于直線y＝a與φ(x)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，故0<a<1.(3)由題意h(x)＝f(x)(g(x)－b)＝ex(lnx－b),得h′(x)＝ex(lnx＋－b)因?yàn)閔(x)在[ln2,ln3]內(nèi)單調(diào)遞減，所以h′(x)＝ex(lnx＋－b)≤0在[ln2,ln3]內(nèi)恒成立由于ex>0，故只需lnx＋－b≤0在[ln2,ln3]內(nèi)恒成立即b≥lnx＋在[ln2,ln3]內(nèi)恒成立令t(x)＝lnx＋,t′(x)＝－＝當(dāng)ln2≤x<1時(shí)，t′(x)<0，故t(x)單調(diào)減；當(dāng)1≤x≤ln3時(shí)，t′(x)>0，故t(x)單調(diào)增.下面只要比較t(ln2)與t(ln3)的大小.思路：[詳細(xì)過(guò)程略]先證明：x1+x2>2又，ln2+ln3=ln6<2故當(dāng)x1=ln2時(shí)，ln3<x2即t(ln3)<t(ln2)所以t(x)max＝t(ln2)＝ln2＋所以b≥ln2＋.點(diǎn)睛：由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法(1)可導(dǎo)函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)，實(shí)際上就是在該區(qū)間上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(f′(x)在該區(qū)間的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0)恒成立，然后分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，從而獲得參數(shù)的取值范圍；(2)可導(dǎo)函數(shù)在某一區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間，實(shí)際上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在該區(qū)間上存在解集，這樣就把函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了不等式問(wèn)題；(3)若已知f(x)在區(qū)間I上的單調(diào)性，區(qū)間I中含有參數(shù)時(shí)，可先求出f(x)的單調(diào)區(qū)間，令I(lǐng)是其單調(diào)區(qū)間的子集，從而可求出參數(shù)的取值范圍．18、(1)詳見(jiàn)解析;(2)詳見(jiàn)解析.【解析】

試題分析：（1）求導(dǎo)數(shù)得，又，所以，由此可得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求得極值；（2）由，得．因此分和兩種情況判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)零點(diǎn)存在定理判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．試題解析：（1）∵，∴，因?yàn)?，所以，?dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表：100遞增極大值遞減極小值遞增由表可得當(dāng)時(shí)，有極大值，且極大值為，當(dāng)時(shí)，有極小值，且極小值為.（2）由（1）得．∵，∴.①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上遞減又因?yàn)樗栽冢?,1）和（1,2）上各有一個(gè)零點(diǎn)，所以上有兩個(gè)零點(diǎn)．②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上遞減，在上遞增，又因?yàn)樗栽谏嫌星抑挥幸粋€(gè)零點(diǎn)，在上沒(méi)有零點(diǎn)，所以在上有且只有只有一個(gè)零點(diǎn).綜上：當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究方程根（函數(shù)零點(diǎn)）的方法研究方程根（函數(shù)零點(diǎn)）的情況，可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢(shì)等，根據(jù)題目要求，畫(huà)出函數(shù)圖象的走勢(shì)規(guī)律，標(biāo)明函數(shù)極(最)值的位置，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想去分析問(wèn)題，可以使得問(wèn)題的求解有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn)．19、（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）不等式左右都大于0，兩邊同時(shí)平方，整理即要證明，再平方，且，，即得證；（2）證明即可，提公因式整理得證?！驹斀狻孔C明：（1）欲證明，只需證明，即證，兩邊平方，得，因?yàn)椋燥@然成立，得證.（2）因?yàn)?，所?【點(diǎn)睛】本題考查證明不等式，（1）用兩邊同時(shí)平方的方法，（2）用做差法來(lái)證明，注意（1）可以平方的條件是不等式兩邊都大于零。20、(1)見(jiàn)詳解；(2)或.【解析】

(1)先求的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)的范圍分情況討論函數(shù)單調(diào)性；(2)根據(jù)的各種范圍，利用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行最大值和最小值的判斷，最終得出,的值.【詳解】(1)對(duì)求導(dǎo)得.所以有當(dāng)時(shí)，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增.(2)若在區(qū)間有最大值1和最小值-1，所以若，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增；此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，代入解得，，與矛盾，所以不成