數(shù)學(xué)建模之穩(wěn)定性模型

第六章穩(wěn)定性模型(móxíng)捕魚業(yè)的持續(xù)(chíxù)收獲軍備競賽種群的相互競爭種群的相互依存種群的弱肉強食第一頁，共47頁。穩(wěn)定性模型(móxíng)對象仍是動態(tài)過程，而建模目的是研究(yánjiū)時間充分長以后過程的變化趨勢——平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定。不求解微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)，而是用微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)穩(wěn)定性理論研究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。第二頁，共47頁。捕魚業(yè)的持續(xù)(chíxù)收獲再生資源〔漁業(yè)、林業(yè)(línyè)等〕與非再生資源〔礦業(yè)等〕再生資源應(yīng)適度開發(fā)——在持續(xù)(chíxù)穩(wěn)產(chǎn)前提下實現(xiàn)最大產(chǎn)量或最正確效益。問題及分析在魚量穩(wěn)定的條件下，如何控制捕撈使產(chǎn)量最大或效益最正確。如果使捕撈量等于自然增長量，漁場魚量將保持不變，那么捕撈量穩(wěn)定。背景第三頁，共47頁。產(chǎn)量(chǎnliàng)模型假設(shè)(jiǎshè)無捕撈時魚的自然(zìrán)增長服從Logistic規(guī)律單位時間捕撈量與漁場魚量成正比建模捕撈情況下漁場魚量滿足不需要求解x(t),只需知道x(t)穩(wěn)定的條件r~固有增長率,N~最大魚量h(x)=Ex,E~捕撈強度x(t)~漁場魚量第四頁，共47頁。一階微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)的平衡點及其穩(wěn)定性一階非線性〔自治(zìzhì)〕方程F(x)=0的根x0~微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)的平衡點設(shè)x(t)是方程的解，若從x0某鄰域的任一初值出發(fā)，都有稱x0是方程(1)的穩(wěn)定平衡點不求x(t),判斷x0穩(wěn)定性的方法——直接法(1)的近似線性方程第五頁，共47頁。產(chǎn)量(chǎnliàng)模型平衡點穩(wěn)定性判斷(pànduàn)x0穩(wěn)定(wěndìng),可得到穩(wěn)定(wěndìng)產(chǎn)量x1穩(wěn)定,漁場枯槁E~捕撈強度r~固有增長率第六頁，共47頁。產(chǎn)量(chǎnliàng)模型在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制(kòngzhì)捕撈強度使產(chǎn)量最大圖解法P的橫坐標(biāo)x0~平衡點y=rxhPx0y0y=h(x)=ExxNy=f(x)P的縱坐標(biāo)h~產(chǎn)量(chǎnliàng)產(chǎn)量最大f與h交點Phmx0*=N/2P*y=E*x控制漁場魚量為最大魚量的一半第七頁，共47頁。效益(xiàoyì)模型假設(shè)(jiǎshè)魚銷售價格p單位(dānwèi)捕撈強度費用c單位時間利潤在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強度使效益最大.穩(wěn)定平衡點求E使R(E)最大漁場魚量收入T=ph(x)=pEx支出S=cE第八頁，共47頁。EsS(E)T(E)0rE捕撈(bǔlāo)過度封閉式捕撈追求(zhuīqiú)利潤R(E)最大開放式捕撈(bǔlāo)只求利潤R(E)>0R(E)=0時的捕撈強度(臨界強度)Es=2ER臨界強度下的漁場魚量捕撈過度ERE*令=0第九頁，共47頁。軍備競賽描述(miáoshù)雙方(國家或國家集團)軍備競賽過程解釋(jiěshì)(預(yù)測)雙方軍備競賽的結(jié)局假設(shè)(jiǎshè)1〕由于相互不信任，一方軍備越大，另一方軍備增加越快；2〕由于經(jīng)濟實力限制，一方軍備越大，對自己軍備增長的制約越大；3〕由于相互敵視或領(lǐng)土爭端，每一方都存在增加軍備的潛力。進一步假設(shè)1〕2〕的作用為線性；3〕的作用為常數(shù)目的第十頁，共47頁。建模軍備競賽的結(jié)局(jiéjú)微分方程的平衡點及其穩(wěn)定性x(t)~甲方軍備(jūnbèi)數(shù)量，y(t)~乙方軍備(jūnbèi)數(shù)量,~本方經(jīng)濟實力的制約；k,l~對方軍備數(shù)量(shùliàng)的刺激；g,h~本方軍備競賽的潛力。t時的x(t)，y(t)第十一頁，共47頁。線性常系數(shù)微分方程組的平衡點及其穩(wěn)定性平衡點P0(x0,y0)=(0,0)~代數(shù)方程的根若從P0某鄰域的任一初值出發(fā)，都有稱P0是微分方程的穩(wěn)定平衡點記系數(shù)矩陣特征方程特征根第十二頁，共47頁。線性常系數(shù)微分方程組的平衡點及其穩(wěn)定性特征根平衡點P0(0,0)微分方程一般解形式平衡點P0(0,0)穩(wěn)定平衡點P0(0,0)不穩(wěn)定1,2為負數(shù)(fùshù)或有負實部p>0且q>0p<0或q<0第十三頁，共47頁。平衡點穩(wěn)定性判斷(pànduàn)系數(shù)矩陣平衡點(x0,y0)穩(wěn)定的條件模型軍備競賽第十四頁，共47頁。模型(móxíng)的定性解釋雙方軍備穩(wěn)定(時間充分長后趨向(qūxiàng)有限值)的條件雙方經(jīng)濟制約(zhìyuē)大于雙方軍備刺激時，軍備競賽才會穩(wěn)定，否那么軍備將無限擴張。平衡點2)假設(shè)g=h=0,那么x0=y0=0,在>kl下x(t),y(t)0,即友好鄰國通過裁軍可到達永久和平。模型,~本方經(jīng)濟實力的制約；k,l~對方軍備數(shù)量的刺激；g,h~本方軍備競賽的潛力。第十五頁，共47頁。3）若g,h不為零，即便雙方一時和解，使某時x(t),y(t)很小，但因，也會重整軍備。4）即使某時一方(由于戰(zhàn)敗或協(xié)議)軍備大減,如x(t)=0，也會因使該方重整軍備，即存在互不信任()或固有爭端()的單方面裁軍不會持久。模型的定性(dìngxìng)解釋,~本方經(jīng)濟實力的制約；k,l~對方軍備數(shù)量(shùliàng)的刺激；g,h~本方軍備競賽的潛力。模型第十六頁，共47頁。種群(zhǒnɡqún)的相互競爭一個自然環(huán)境中有兩個種群生存，它們(tāmen)之間的關(guān)系：相互競爭；相互依存；弱肉強食。當(dāng)兩個種群為爭奪食物來源和生存空間相互競爭時，常見的結(jié)局是，競爭力弱的滅絕，競爭力強的到達(dàodá)環(huán)境容許的最大容量。建立數(shù)學(xué)模型描述兩個種群相互競爭的過程，分析產(chǎn)生這種結(jié)局的條件。第十七頁，共47頁。模型(móxíng)假設(shè)有甲乙兩個(liǎnɡɡè)種群，它們單獨生存時數(shù)量變化均服從Logistic規(guī)律;兩種群在一起生存時，乙對甲增長(zēngzhǎng)的阻滯作用與乙的數(shù)量成正比;甲對乙有同樣的作用。對于消耗甲的資源而言，乙(相對于N2)是甲(相對于N1)的1倍。對甲增長的阻滯作用，乙大于甲乙的競爭力強模型第十八頁，共47頁。模型(móxíng)分析(平衡點及其穩(wěn)定性)(二階)非線性(自治)方程的平衡點及其穩(wěn)定性平衡點P0(x10,x20)~代數(shù)方程的根若從P0某鄰域的任一初值出發(fā)，都有稱P0是微分方程的穩(wěn)定平衡點模型(móxíng)第十九頁，共47頁。判斷(pànduàn)P0(x10,x20)穩(wěn)定性的方法——直接法(1)的近似(jìnsì)線性方程平衡點P0穩(wěn)定(對2,1)p>0且q>0平衡點P0不穩(wěn)定(對2,1)p<0或q<0第二十頁，共47頁。僅當(dāng)1,2<1或1,2>1時，P3才有意義(yìyì)模型(móxíng)第二十一頁，共47頁。平衡點穩(wěn)定性分析(fēnxī)平衡點Pi穩(wěn)定(wěndìng)條件：p>0且q>0第二十二頁，共47頁。種群競爭(jìngzhēng)模型的平衡點及穩(wěn)定性不穩(wěn)定(wěndìng)平衡點2>1,1>1,P1,P2是一個種群(zhǒnɡqún)存活而另一滅絕的平衡點P3是兩種群共存的平衡點1<1,2<1P1穩(wěn)定的條件1<1?1<12<1穩(wěn)定條件第二十三頁，共47頁。0S1S2S3平衡點穩(wěn)定性的相軌線分析(fēnxī)從任意(rènyì)點出發(fā)(t=0)的相軌線都趨向P1(N1,0)(t)P1(N1,0)是穩(wěn)定(wěndìng)平衡點(1)2>1,

1<1tx1,x2tx1,x2tx1,x2第二十四頁，共47頁。P1P2有相軌線趨向(qūxiàng)P1有相軌線趨向(qūxiàng)P2P1穩(wěn)定的條件(tiáojiàn)：直接法2>1P1,P2都不(局部)穩(wěn)定0(3)1<1,2<10(2)1>1,2<10(4)1>1,2>1加上與(4)相區(qū)別的1<1

P2穩(wěn)定

P3穩(wěn)定P1全局穩(wěn)定第二十五頁，共47頁。結(jié)果(jiēguǒ)解釋對于消耗(xiāohào)甲的資源而言，乙(相對于N2)是甲(相對于N1)的1倍。對甲增長的阻滯作用，乙小于甲乙的競爭力弱P1穩(wěn)定(wěndìng)的條件：1<1,2>12>1甲的競爭力強甲到達最大容量，乙滅絕

P2穩(wěn)定的條件：1>1,2<1

P3穩(wěn)定的條件：1<1,2<1通常11/2，P3穩(wěn)定條件不滿足第二十六頁，共47頁。種群(zhǒnɡqún)的相互依存甲乙兩種群的相互依存有三種(sānzhǒnɡ)形式1)甲可以單獨生存，乙不能單獨生存；甲乙一起生存時相互提供食物(shíwù)、促進增長。2)甲乙均可以單獨生存；甲乙一起生存時相互提供食物、促進增長。3)甲乙均不能單獨生存；甲乙一起生存時相互提供食物、促進增長。第二十七頁，共47頁。模型(móxíng)假設(shè)甲可以單獨生存，數(shù)量變化服從Logistic規(guī)律(guīlǜ);甲乙一起生存時乙為甲提供食物、促進增長。乙不能單獨生存；甲乙一起生存時甲為乙提供食物、促進(cùjìn)增長；乙的增長又受到本身的阻滯作用(服從Logistic規(guī)律)。模型乙為甲提供食物是甲消耗的1倍甲為乙提供食物是乙消耗的2倍第二十八頁，共47頁。種群依存(yīcún)模型的平衡點及穩(wěn)定性P2是甲乙(jiǎyǐ)相互依存而共生的平衡點穩(wěn)定條件不穩(wěn)定平衡點第二十九頁，共47頁。平衡點P2穩(wěn)定性的相軌線0

1<1,2>1,12<1P2穩(wěn)定(wěndìng)第三十頁，共47頁。12<1~2>1前提(qiántí)下P2存在的必要條件結(jié)果(jiēguǒ)解釋2>1~甲必須(bìxū)為乙提供足夠的食物——甲為乙提供的食物是乙消耗的2倍1<1~2>1,12<1的需要，且1必須足夠小，才能在2>1條件下使12<1成立

P2穩(wěn)定條件：1<1,2>1,12<1甲可以獨自生存乙不能獨立生存第三十一頁，共47頁。種群(zhǒnɡqún)的弱肉強食(食餌-捕食者模型)種群甲靠豐富的天然資源生存，種群乙靠捕食甲為生，形成(xíngchéng)食餌-捕食者系統(tǒng)，如食用魚和鯊魚，美洲兔和山貓，害蟲和益蟲。模型的歷史背景——一次世界大戰(zhàn)期間(qījiān)地中海漁業(yè)的捕撈量下降(食用魚和鯊魚同時捕撈)，但是其中鯊魚的比例卻增加，為什么？第三十二頁，共47頁。食餌(shíěr)〔甲〕數(shù)量x(t),捕食者〔乙〕數(shù)量y(t)甲獨立(dúlì)生存的增長率r乙使甲的增長率減小，減小量與y成正比乙獨立(dúlì)生存的死亡率d甲使乙的死亡率減小，減小量與x成正比方程(1),(2)無解析解食餌-捕食者模型(Volterra)a~捕食者掠取食餌能力b~食餌供養(yǎng)捕食者能力第三十三頁，共47頁。Volterra模型(móxíng)的平衡點及其穩(wěn)定性平衡點穩(wěn)定性分析(fēnxī)P點穩(wěn)定性不能用近似線性方程(xiànxìnɡfānɡchénɡ)分析p=0,q>0P:臨界狀態(tài)q<0P′不穩(wěn)定第三十四頁，共47頁。tx(t)y(t)020.00004.00000.100021.24063.96510.200022.56493.94050.300023.97633.9269………5.10009.616216.72355.20009.017316.2064………9.500018.47504.04479.600019.61363.99689.700020.83113.9587用數(shù)學(xué)(shùxué)軟件MATLAB求微分方程數(shù)值解x~y面上的相軌線第三十五頁，共47頁。計算結(jié)果〔數(shù)值(shùzí)，圖形〕x(t),y(t)是周期函數(shù)，相圖(xiānɡtú)(x,y)是封閉曲線觀察，猜測x(t),y(t)xmax65.5,xmin6,ymax20.5,ymin用數(shù)值積分可算出x(t),y(t)一周期(zhōuqī)的平均值：x(t)的平均值約為25,y(t)的平均值約為10。食餌-捕食者模型(Volterra)第三十六頁，共47頁。消去dt用相軌線分析點穩(wěn)定性c由初始條件確定(quèdìng)取指數(shù)第三十七頁，共47頁。x0fmf(x)x0g(y)gmy0y0在相平面(píngmiàn)上討論相軌線的圖形用相軌線分析點穩(wěn)定性相軌線時無相軌線以下設(shè)第三十八頁，共47頁。y2y1xQ3Q4qy1y2x1x2pyy0xx0P0x1x2Q1Q2Q1(x1,y0),Q2(x2,y0)Q3(x,y1),Q4(x,y2)相軌線退化為P點

存在x1<x0<x2,使f(x1)=f(x2)=p存在y1<y0<y2,使g(y1)=g(y2)=q相軌線是封閉曲線族xQ3Q4f(x)xx0fm0g(y)gmy0y0相軌線P~中心(zhōngxīn)第三十九頁，共47頁。相軌線是封閉(fēngbì)曲線x(t),y(t)是周期函數(shù)(周期記T)求x(t),y(t)在一周期的平均值軌線中心用相軌線分析點穩(wěn)定性第四十頁，共47頁。?T2T3T4T1PT1

T2

T3

T4x(t)的“相位(xiàngwèi)〞領(lǐng)先y(t)模型(móxíng)解釋初值相軌線的方向(fāngxiàng)第四十一頁，共47頁。模型(móxíng)解釋r~食餌(shíěr)增長率d~捕食者死亡率b~食餌供養(yǎng)(gōngyǎng)捕食者能力捕食者數(shù)量食餌數(shù)量Pr/a